`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ находится по формуле $r = \\dfrac{a+b-c}{2}$;"],
["б", "площадь прямоугольника со сторонами $a$, $b$ находится по формуле $S = ab$;"],
["в", "из данной точки, не лежащей на данной прямой, к данной прямой можно провести только один перпендикуляр;"],
["г", "если в треугольнике $ABC$ сторона $AC$ — наибольшая, то угол $A$ — наибольший?"],
],
sol: `
а) $r=\\dfrac{a+b-c}{2}$ — верно
б) $S=ab$ для прямоугольника — верно
в) один перпендикуляр — верно
г) $AC$ напротив $\\angle B$ — наибольший $\\angle B$, не $\\angle A$ — НЕВЕРНО
Ответ: г)
`
},
{
text: `График функции $y = kx + 5$ проходит через точку $K\\!\\left(-\\dfrac{1}{5};\\; 25\\right)$.
Найдите коэффициент $k$.`,
sol: `Подставляем $K\\!\\left(-\\dfrac{1}{5};\\;25\\right)$: $25=k\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{5}\\right)+5 \\implies 20=-\\dfrac{k}{5} \\implies k=-100$.
Ответ: $k = -100$
`
},
{
text: `Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$,
площадь треугольника $COD$ равна $12$ см².
Высота, проведённая из вершины $C$ к $AB$, равна $8$ см.
Найдите длину стороны $CD$ параллелограмма.`,
sol: `Свойство диагоналей параллелограмма: диагонали параллелограмма делят его на $4$ треугольника равной площади (равновеликие треугольники).
Шаг 1. По этому свойству:
$$S_{ABCD} = 4\\cdot S_{COD} = 4\\cdot 12 = 48\\text{ см}^2$$
Шаг 2.Формула площади параллелограмма: $S = a\\cdot h$, где $a$ — сторона, $h$ — высота, проведённая к этой стороне.
Высота, проведённая из $C$ к $AB$, и есть высота параллелограмма к стороне $AB$:
$$S_{ABCD} = AB\\cdot h \\implies 48 = AB\\cdot 8 \\implies AB = 6\\text{ см}$$
Шаг 3. По свойству параллелограмма противоположные стороны равны:
$$CD = AB = 6\\text{ см}$$
Ответ: $CD = 6$ см
`
},
{
text: `Определите, при каких значениях переменной разность дробей
$\\dfrac{2b-5}{4}$ и $\\dfrac{4b-3}{6}$ неположительна.
В ответ запишите наименьшее целое значение переменной.`,
sol: `Метод решения линейного неравенства с дробями: приводим дроби к общему знаменателю, затем избавляемся от знаменателя (если он положителен — знак сохраняется).
Шаг 1. По условию разность дробей неположительна:
$$\\dfrac{2b-5}{4} - \\dfrac{4b-3}{6} \\leq 0$$
Шаг 2. Приводим к общему знаменателю $12$:
$$\\dfrac{3(2b-5) - 2(4b-3)}{12} \\leq 0$$
Шаг 3. Раскрываем скобки:
$$3(2b - 5) = 6b - 15, \\quad 2(4b - 3) = 8b - 6$$
$$6b - 15 - (8b - 6) = 6b - 15 - 8b + 6 = -2b - 9$$
Неравенство принимает вид:
$$\\dfrac{-2b - 9}{12} \\leq 0$$
Шаг 4. Так как $12 \\gt 0$, умножим обе части на $12$ без смены знака:
$$-2b - 9 \\leq 0 \\implies -2b \\leq 9$$
Делим на $-2$ (отрицательное число — знак неравенства меняется):
$$b \\geq -\\dfrac{9}{2} = -4{,}5$$
Шаг 5. Среди целых чисел условию $b \\geq -4{,}5$ удовлетворяют $-4, -3, -2, \\ldots$. Наименьшее целое — это $b = -4$.
Ответ: $-4$
`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$\\left(\\dfrac{7}{3-\\sqrt{2}}\\right)^{\\!2} - \\left(\\dfrac{3-4\\sqrt{3}}{4-\\sqrt{3}}\\right)^{\\!2}$.
В ответ запишите число, противоположное найденному.`,
sol: `Метод рационализации знаменателя: чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе вида $a - \\sqrt{b}$, умножаем на сопряжённое $a + \\sqrt{b}$ и применяем формулу разности квадратов: $(a-\\sqrt{b})(a+\\sqrt{b}) = a^2 - b$.
Шаг 1. Упростим первую дробь $\\dfrac{7}{3 - \\sqrt{2}}$:
$$\\dfrac{7}{3-\\sqrt{2}} = \\dfrac{7(3+\\sqrt{2})}{(3-\\sqrt{2})(3+\\sqrt{2})} = \\dfrac{7(3+\\sqrt{2})}{9 - 2} = \\dfrac{7(3+\\sqrt{2})}{7} = 3 + \\sqrt{2}$$
Шаг 2. Упростим вторую дробь $\\dfrac{3 - 4\\sqrt{3}}{4 - \\sqrt{3}}$, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое $4 + \\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{(3 - 4\\sqrt{3})(4 + \\sqrt{3})}{(4 - \\sqrt{3})(4 + \\sqrt{3})} = \\dfrac{12 + 3\\sqrt{3} - 16\\sqrt{3} - 4\\cdot 3}{16 - 3}$$
В числителе: $12 - 12 + (3 - 16)\\sqrt{3} = -13\\sqrt{3}$. В знаменателе: $13$. Получаем:
$$\\dfrac{-13\\sqrt{3}}{13} = -\\sqrt{3}$$
Шаг 3. Подставим в исходное выражение, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$$(3 + \\sqrt{2})^2 - (-\\sqrt{3})^2 = (9 + 6\\sqrt{2} + 2) - 3 = 11 + 6\\sqrt{2} - 3 = 8 + 6\\sqrt{2}$$
Шаг 4. По условию надо записать число, противоположное найденному. Противоположное к $8 + 6\\sqrt{2}$ — это $-(8 + 6\\sqrt{2})$.
Ответ: $-(8+6\\sqrt{2})$
`
},
{
text: `В ботаническом саду ландшафтный дизайнер решил разместить кусты пионов так,
чтобы в каждом ряду было одинаковое количество кустов,
при этом рядов — на $7$ меньше, чем кустов в каждом ряду.
Определите, можно ли на клумбе посадить $60$ кустов пионов. Ответ обоснуйте.`,
sol: `Метод введения переменной и составления квадратного уравнения. Шаг 1. Пусть $x$ — количество кустов в каждом ряду ($x$ — натуральное число). По условию рядов на $7$ меньше, значит число рядов равно $x - 7$ (это должно быть положительно, то есть $x \\gt 7$).
Шаг 2. Общее число кустов = (число в одном ряду) $\\times$ (число рядов). По условию оно равно $60$, значит:
$$x(x - 7) = 60 \\implies x^2 - 7x - 60 = 0$$
Шаг 3. Решаем по формуле дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$$D = (-7)^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-60) = 49 + 240 = 289 = 17^2$$
$$x = \\dfrac{7 \\pm 17}{2} \\implies x_1 = 12, \\quad x_2 = -5$$
Шаг 4. Корень $x_2 = -5$ не подходит, так как $x$ должно быть натуральным. Остаётся $x = 12$.
Шаг 5. Проверка: $12$ кустов в каждом ряду, рядов $12 - 7 = 5$, всего кустов $12\\cdot 5 = 60$ $\\checkmark$.
Ответ: да, можно — $12$ кустов в ряду и $5$ рядов
`
},
{
text: `Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $13$ см, радиус вписанной окружности — $2$ см.
Найдите площадь треугольника.`,
sol: `Формула радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника: с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$:
$$r = \\dfrac{a + b - c}{2}$$
Формула площади через вписанную окружность: $S = r\\cdot s$, где $s = \\dfrac{a + b + c}{2}$ — полупериметр.
Шаг 1. Из формулы радиуса находим сумму катетов:
$$2 = \\dfrac{a + b - 13}{2} \\implies a + b - 13 = 4 \\implies a + b = 17$$
Шаг 2. Считаем полупериметр:
$$s = \\dfrac{a + b + c}{2} = \\dfrac{17 + 13}{2} = 15\\text{ см}$$
Шаг 3. Находим площадь:
$$S = r\\cdot s = 2\\cdot 15 = 30\\text{ см}^2$$
Проверка: по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = 169$. Из $(a + b)^2 = 17^2 = 289$ получаем $a^2 + 2ab + b^2 = 289$, значит $2ab = 289 - 169 = 120$, то есть $ab = 60$. Площадь прямоугольного треугольника $= \\dfrac{ab}{2} = 30$ ✓
Ответ: $30$ см²
`
},
{
text: `Решите уравнение $x(x-1)(x-2)(x-3) = 24$.
В ответ запишите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $|x| < 4$.`,
sol: `Идея решения: в уравнении вида $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = k$ группируем множители так, чтобы суммы корней внутри пар были одинаковы.
Шаг 1. Сгруппируем: $\\{0,\\,3\\}$ и $\\{1,\\,2\\}$ — обе пары имеют сумму $3$.
$$[x(x - 3)]\\cdot[(x - 1)(x - 2)] = 24$$
Раскрываем скобки в каждой паре:
$$x(x - 3) = x^2 - 3x$$
$$(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$$
Уравнение принимает вид:
$$(x^2 - 3x)(x^2 - 3x + 2) = 24$$
Шаг 2. Замена переменной. Пусть $t = x^2 - 3x$:
$$t(t + 2) = 24 \\implies t^2 + 2t - 24 = 0$$
Шаг 3. Решаем по формуле дискриминанта:
$$D = 2^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$$
$$t = \\dfrac{-2 \\pm 10}{2} \\implies t_1 = 4, \\quad t_2 = -6$$
Шаг 4. Случай $t = 4$: $x^2 - 3x = 4 \\implies x^2 - 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета (сумма $3$, произведение $-4$): корни $4$ и $-1$.
$$(x - 4)(x + 1) = 0 \\implies x = 4 \\text{ или } x = -1$$
Шаг 5. Случай $t = -6$: $x^2 - 3x = -6 \\implies x^2 - 3x + 6 = 0$.
$$D = 9 - 24 = -15 \\lt 0$$
Дискриминант отрицателен — вещественных корней нет.
Шаг 6. Проверка условия $|x| \\lt 4$: