VARIANTS[50] = { label: "Вариант 50", tasks: [ { text: `Определите, какое из данных выражений НЕ является одночленом:`, opts: [ ["а", "$n^{12}$"], ["б", "$-\\dfrac{3}{8}b^3$"], ["в", "$\\dfrac{5}{z}$"], ["г", "$3abc$"], ["д", "$1$"], ], sol: `Определение: одночлен — произведение чисел и переменных в натуральных степенях.
Выражение $\\dfrac{5}{z}=5z^{-1}$ содержит переменную в знаменателе (отрицательная степень), поэтому одночленом не является.
Остальные варианты — корректные одночлены.
Ответ: в) $\\dfrac{5}{z}$.
` }, { text: `Уравнение окружности с центром в точке $(0;\\; 4)$ и радиусом $\\sqrt{5}$ имеет вид:`, opts: [ ["а", "$x^2 + (y+4)^2 = 5$"], ["б", "$x^2 + (y-4)^2 = 5$"], ["в", "$x^2 - (y+4)^2 = 5$"], ["г", "$x^2 - (y-4)^2 = 5$"], ["д", "$x^2 + (y-4)^2 = \\sqrt{5}$"], ], sol: `Уравнение окружности с центром $(a;\\,b)$ и радиусом $R$: $$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}.$$ Подставляем $a=0,\\;b=4,\\;R=\\sqrt{5},\\;R^{2}=5$: $$x^{2}+(y-4)^{2}=5.$$
Ответ: б) $x^{2}+(y-4)^{2}=5$.
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны;"], ["б", "$\\operatorname{ctg} 45^{\\circ} = 1$;"], ["в", "если угол между прямыми равен $90^{\\circ}$, то они перпендикулярны;"], ["г", "медиана любого треугольника перпендикулярна стороне, к которой проведена?"], ], sol: `Проверим утверждения:
Ответ: г).
` }, { text: `Найдите значение выражения $12^0 + \\sqrt{36} - \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-1} + \\sqrt{\\dfrac{1}{16}}$.`, sol: `Вычисляем по частям: Тогда $1+6-2+\\dfrac{1}{4}=5+\\dfrac{1}{4}=5{,}25.$
Ответ: $5{,}25$ (или $\\dfrac{21}{4}$).
` }, { text: `$ABCD$ — параллелограмм, $DC = 12$ см. Биссектриса угла $B$ пересекает сторону $AD$ в точке $M$, $MD = 4$ см. Найдите периметр параллелограмма.`, sol: ` A B C D M AM=12 MD=4 Свойство биссектрисы и параллельных прямых.
Шаг 1. Пусть $\\angle B = 2\\beta$. Так как $BM$ — биссектриса угла $B$, то $\\angle ABM = \\angle MBC = \\beta$.
Шаг 2. По свойству параллелограмма $AD \\parallel BC$. $BM$ — секущая, значит накрест лежащие углы равны: $$\\angle BMA = \\angle MBC = \\beta.$$ Шаг 3. В $\\triangle ABM$ два угла равны ($\\angle ABM = \\angle BMA = \\beta$), значит он равнобедренный, и стороны напротив равных углов равны: $$AB = AM.$$ Шаг 4. Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, $AB = DC = 12$ см. Значит $AM = 12$ см.
Шаг 5. Находим $AD$: точка $M$ лежит на стороне $AD$, поэтому $$AD = AM + MD = 12 + 4 = 16\\text{ см}.$$ А $BC = AD = 16$ см (противоположные стороны параллелограмма).
Шаг 6. Периметр параллелограмма: $$P = 2(AB + BC) = 2(12 + 16) = 56\\text{ см}.$$
Ответ: $56$ см.
` }, { text: `Упростите выражение $\\dfrac{y^2 + 14y + 49}{(y+3)^2 - 16}$.`, sol: `Формула квадрата суммы: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.
Формула разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Шаг 1. Раскладываем числитель по формуле квадрата суммы (так как $14y=2\\cdot y\\cdot 7$ и $49=7^2$): $$y^{2}+14y+49=(y+7)^{2}.$$ Шаг 2. Раскладываем знаменатель по формуле разности квадратов (так как $16=4^2$): $$(y+3)^{2}-16=(y+3-4)(y+3+4)=(y-1)(y+7).$$ Шаг 3. Подставляем разложения и сокращаем общий множитель $(y+7)$: $$\\dfrac{(y+7)^{2}}{(y-1)(y+7)}=\\dfrac{y+7}{y-1}.$$ Шаг 4. ОДЗ: знаменатели исходного и сокращённого выражений не должны быть равны нулю, значит $y\\ne 1$ и $y\\ne -7$.
Ответ: $\\dfrac{y+7}{y-1}$.
` }, { text: `Определите, сколько общих точек у прямой $y = -6$ и графика функции $y = -4x^2 + x - 1$. В ответ запишите координаты точек пересечения.`, sol: `Метод: в общей точке двух графиков ординаты совпадают. Поэтому приравниваем правые части и считаем количество корней.
Шаг 1. Приравниваем правые части уравнений: $$-6=-4x^{2}+x-1.$$ Шаг 2. Переносим в одну часть и приводим к стандартному виду: $$4x^{2}-x-5=0.$$ Шаг 3. Считаем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $$D=(-1)^{2}-4\\cdot 4\\cdot(-5)=1+80=81,\\quad \\sqrt{D}=9.$$ Шаг 4. Находим корни по формуле $x_{1,2}=\\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$: $$x_{1,2}=\\dfrac{1\\pm 9}{8}\\;\\implies\\;x_{1}=\\dfrac{5}{4},\\;x_{2}=-1.$$ Шаг 5. Уравнение имеет два корня, значит общих точек две. При обоих значениях $y=-6$ (так как точки лежат на прямой $y=-6$).
Ответ: $2$ точки: $\\left(\\dfrac{5}{4};\\,-6\\right)$ и $(-1;\\,-6)$.
` }, { text: `Бригада маляров красит фасад здания площадью $2700$ м², ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число квадратных метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила $360$ м² фасада. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь фасад.`, sol: `Формула суммы $n$ членов арифметической прогрессии: $$S_n = \\dfrac{(a_1 + a_n) \\cdot n}{2}.$$ Шаг 1. Так как ежедневные нормы увеличиваются на одно и то же число, они образуют арифметическую прогрессию $a_1, a_2, \\ldots, a_n$, где $n$ — искомое число дней.
Шаг 2. По условию $a_1 + a_n = 360$ м² и общая площадь $S_n = 2700$ м².
Шаг 3. Подставляем в формулу суммы: $$2700 = \\dfrac{360 \\cdot n}{2} = 180n.$$ Шаг 4. Находим $n$: $$n = \\dfrac{2700}{180} = 15.$$
Ответ: $15$ дней.
` }, { text: `Найдите сумму целых решений системы неравенств $$\\begin{cases} \\dfrac{x-3}{x+5} \\leq 0, \\\\[6pt] x^2 + 3x > -2. \\end{cases}$$`, sol: `Метод интервалов: решаем каждое неравенство и находим пересечение.
Шаг 1. Первое неравенство $\\dfrac{x-3}{x+5} \\leq 0$.
Нули числителя и знаменателя: $x = 3$ (входит, потому что $\\leq$) и $x = -5$ (выколота, нельзя делить на ноль).
Методом интервалов: $x \\in (-5;\\,3]$.
Шаг 2. Второе неравенство $x^2 + 3x \\gt -2$.
Переносим: $x^2 + 3x + 2 \\gt 0$, раскладываем: $(x+1)(x+2) \\gt 0$.
Парабола ветвями вверх, поэтому $$x \\in (-\\infty;\\,-2) \\cup (-1;\\,+\\infty).$$ Шаг 3. Пересечение: $$x \\in (-5;\\,-2) \\cup (-1;\\,3].$$ Шаг 4. Целые решения.
На $(-5;\\,-2)$ — это $-4$ и $-3$; на $(-1;\\,3]$ — это $0, 1, 2, 3$.
Шаг 5. Сумма: $(-4) + (-3) + 0 + 1 + 2 + 3 = -1$.
Ответ: $-1$.
` }, { text: `В треугольнике $ABC$ проведены отрезки $MK \\| AC$ и $KE \\| AB$, где точки $M$, $K$ и $E$ принадлежат сторонам $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Площадь треугольника $MBK$ равна $16$ см², треугольника $EKC$ — $25$ см². Найдите площадь четырёхугольника $AMKE$.`, sol: ` A B C M K E S=16 S=25 AMKE = ? Теорема: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Шаг 1. Подобие $\\triangle MBK \\sim \\triangle ABC$.
Так как $MK \\parallel AC$, треугольники подобны с коэффициентом $$k_1 = \\dfrac{BK}{BC}.$$ Шаг 2. Подобие $\\triangle KEC \\sim \\triangle ABC$.
Так как $KE \\parallel AB$, аналогично $$k_2 = \\dfrac{KC}{BC}.$$ Шаг 3. Так как $BK + KC = BC$, то $k_1 + k_2 = 1$.
Шаг 4. Выражаем коэффициенты через площади.
Пусть $S = S_{ABC}$. Тогда $$\\dfrac{S_{MBK}}{S} = k_1^2 \\implies k_1 = \\dfrac{4}{\\sqrt{S}}; \\quad \\dfrac{S_{EKC}}{S} = k_2^2 \\implies k_2 = \\dfrac{5}{\\sqrt{S}}.$$ Шаг 5. Находим $S$. $$\\dfrac{4}{\\sqrt{S}} + \\dfrac{5}{\\sqrt{S}} = 1 \\implies \\dfrac{9}{\\sqrt{S}} = 1 \\implies \\sqrt{S} = 9 \\implies S = 81.$$ Шаг 6. Площадь четырёхугольника $AMKE$. $$S_{AMKE} = S - S_{MBK} - S_{EKC} = 81 - 16 - 25 = 40\\text{ см}^2.$$
Ответ: $40$ см².
` }, ] };