VARIANTS[52] = { label: "Вариант 52", tasks: [ { text: `Сумма корней квадратного уравнения $x^2 + 7x - 13 = 0$ равна:`, opts: [ ["а", "$-13$"], ["б", "$-7$"], ["в", "$7$"], ["г", "$13$"], ["д", "$20$"], ], sol: `По теореме Виета для уравнения $x^2 + px + q = 0$: сумма корней равна $-p$.
Здесь $p = 7$, поэтому $x_1 + x_2 = -7$.
Ответ: б) $-7$.
` }, { text: `Запись выражения $27 : 3^3 \\cdot 3^7$ в виде степени с основанием $3$ имеет вид:`, opts: [ ["а", "$3^9$"], ["б", "$3^8$"], ["в", "$3^7$"], ["г", "$3^6$"], ["д", "$3^1$"], ], sol: `Заменим $27 = 3^3$:
$27 : 3^3 \\cdot 3^7 = \\dfrac{3^3}{3^3} \\cdot 3^7 = 1 \\cdot 3^7 = 3^7.$
Ответ: в) $3^7$.
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "диагонали любого прямоугольника перпендикулярны;"], ["б", "площадь квадрата равна квадрату его стороны;"], ["в", "радиусы одной окружности равны между собой;"], ["г", "если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны?"], ], sol: `Проверим утверждения:
Ответ: а).
` }, { text: `Найдите частное от деления наименьшего общего кратного на наибольший общий делитель чисел $64$ и $288$.`, sol: `Разложим числа на простые множители:
$64 = 2^{6},\\quad 288 = 2^{5}\\cdot 3^{2}.$
НОД$(64,\\,288) = 2^{5} = 32.$
НОК$(64,\\,288) = 2^{6}\\cdot 3^{2} = 576.$
$\\dfrac{\\text{НОК}}{\\text{НОД}} = \\dfrac{576}{32} = 18.$
Ответ: $18$.
` }, { text: `Сократите дробь $\\dfrac{a - 9}{a - 6\\sqrt{a} + 9}$.`, sol: `Формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Формула квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Шаг 1. Преобразуем числитель.
Запишем $a = (\\sqrt{a})^2$ и $9 = 3^2$, тогда числитель — разность квадратов: $$a - 9 = (\\sqrt{a})^2 - 3^2 = (\\sqrt{a} - 3)(\\sqrt{a} + 3).$$ Шаг 2. Преобразуем знаменатель.
$a - 6\\sqrt{a} + 9 = (\\sqrt{a})^2 - 2 \\cdot \\sqrt{a} \\cdot 3 + 3^2$ — полный квадрат: $$a - 6\\sqrt{a} + 9 = (\\sqrt{a} - 3)^2.$$ Шаг 3. Сокращаем дробь.
Общий множитель — $(\\sqrt{a} - 3)$: $$\\dfrac{(\\sqrt{a} - 3)(\\sqrt{a} + 3)}{(\\sqrt{a} - 3)^2} = \\dfrac{\\sqrt{a} + 3}{\\sqrt{a} - 3},\\quad a \\geq 0,\\; a \\neq 9.$$
Ответ: $\\dfrac{\\sqrt{a}+3}{\\sqrt{a}-3}$.
` }, { text: `Высота $BH$ ромба $ABCD$ делит сторону $AD$ на отрезки $AH = 5$ см и $HD = 8$ см. Найдите площадь ромба.`, sol: ` A B C D H AH=5 HD=8 BH
Свойство ромба: все стороны равны.
Теорема Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза.
Формула площади ромба через высоту: $S = a \\cdot h$.
Шаг 1. Находим сторону ромба.
Точка $H$ лежит на $AD$, поэтому $$AD = AH + HD = 5 + 8 = 13\\text{ см}.$$ Все стороны ромба равны, значит $AB = AD = 13$ см.
Шаг 2. Находим высоту $BH$ по теореме Пифагора.
$BH$ — высота, $\\triangle ABH$ прямоугольный с прямым углом в $H$. Гипотенуза $AB = 13$, катет $AH = 5$: $$BH = \\sqrt{AB^2 - AH^2} = \\sqrt{169 - 25} = \\sqrt{144} = 12\\text{ см}.$$ Шаг 3. Находим площадь. $$S = AD \\cdot BH = 13 \\cdot 12 = 156\\text{ см}^2.$$
Ответ: $156$ см$^2$.
` }, { text: `Найдите наименьшее целое значение аргумента, принадлежащее области определения функции $y = \\dfrac{\\sqrt{x+12}}{x^2 - 2x - 120}$.`, sol: `Правила нахождения ОДЗ: Шаг 1. Условие подкоренного выражения.
$$x + 12 \\geq 0 \\implies x \\geq -12.$$ Шаг 2. Условие знаменателя.
Раскладываем $x^2 - 2x - 120$ на множители (по теореме Виета подбираем числа $-12$ и $10$: $-12 \\cdot 10 = -120$, $-12 + 10 = -2$): $$x^2 - 2x - 120 = (x - 12)(x + 10) \\neq 0 \\implies x \\neq 12,\\; x \\neq -10.$$ Шаг 3. Объединяем условия.
$x \\geq -12$, $x \\neq -10$, $x \\neq 12$.
Шаг 4. Проверяем $x = -12$.
Подкоренное: $-12 + 12 = 0 \\geq 0$ — допустимо.
Знаменатель: $144 - 2 \\cdot (-12) - 120 = 144 + 24 - 120 = 48 \\neq 0$ — допустимо.
Шаг 5. Значит наименьшее целое значение $x = -12$.
Ответ: $-12$.
` }, { text: `Семья Петровых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на $50\\%$, общая сумма платежа увеличилась бы на $35\\%$. Если бы электричество подорожало на $50\\%$, общая сумма платежа увеличилась бы на $10\\%$. Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?`, sol: `Метод введения переменных и составления уравнений по условию задачи.
Шаг 1. Вводим переменные: пусть $У$ — плата за коммунальные услуги, $Т$ — за телефон, $Э$ — за электричество. Общая сумма платежа $$S = У + Т + Э.$$ Шаг 2. Используем первое условие. Подорожание услуг на $50\\%$ — это прибавка $0{,}5\\,У$, и она равна $35\\%$ от общей суммы: $$0{,}5\\,У = 0{,}35\\,S \\implies У = 0{,}7\\,S,$$ то есть на коммунальные услуги приходится $70\\%$ суммы.
Шаг 3. Используем второе условие. Подорожание электричества на $50\\%$ — это прибавка $0{,}5\\,Э$, и она равна $10\\%$ от общей суммы: $$0{,}5\\,Э = 0{,}10\\,S \\implies Э = 0{,}2\\,S,$$ значит на электричество приходится $20\\%$ суммы.
Шаг 4. Доля телефона: $$Т = S - У - Э = S - 0{,}7\\,S - 0{,}2\\,S = 0{,}1\\,S = 10\\%\\,S.$$
Ответ: $10\\%$.
` }, { text: `Определите количество целых решений неравенства $\\dfrac{2x^2 + 3x - 2}{(2-x)^2(9-x^2)} > 0$.`, sol: `Числитель: $2x^2 + 3x - 2 = (2x-1)(x+2),$ корни $x = \\tfrac{1}{2}$ и $x = -2.$
Знаменатель: $(2-x)^2(9-x^2) = (2-x)^2(3-x)(3+x).$
Множитель $(2-x)^2 \\ge 0$, обращается в $0$ при $x=2$ (исключается); на знак не влияет. Корни знаменателя: $x = -3,\\; x = 2,\\; x = 3.$
Метод интервалов (критические точки $-3,\\,-2,\\,\\tfrac{1}{2},\\,2,\\,3$):
Интервал Знак
$x<-3$$-$
$(-3;-2)$$+$
$(-2;\\,\\tfrac{1}{2})$$-$
$(\\tfrac{1}{2};\\,2)$$+$
$(2;\\,3)$$-$
$x>3$$-$
Решение: $x \\in (-3;\\,-2) \\cup \\left(\\tfrac{1}{2};\\,2\\right).$
Целые в этих интервалах: в $(-3;-2)$ — нет; в $(\\tfrac{1}{2};\\,2)$ — это $1.$ Всего $1$ целое решение.
Ответ: $1$.
` }, { text: `В прямоугольную трапецию с основаниями $6$ см и $12$ см вписана окружность. Найдите площадь трапеции.`, sol: ` A B C D 6 12 h=8 10 r=4 Свойство описанного четырёхугольника: суммы противоположных сторон равны.
Значит, $6 + 12 = h + b$, где $h$ — перпендикулярная боковая (высота), $b$ — наклонная боковая.
Из прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $12 - 6 = 6$, гипотенузой $b$:
$b = \\sqrt{h^2 + 36}.$
Подставляем: $h + \\sqrt{h^2 + 36} = 18 \\implies \\sqrt{h^2 + 36} = 18 - h$
$\\implies h^2 + 36 = 324 - 36h + h^2 \\implies 36h = 288 \\implies h = 8$ см.
Площадь: $S = \\dfrac{6 + 12}{2} \\cdot 8 = 9 \\cdot 8 = 72$ см$^2.$
Ответ: $72$ см$^2$.
` }, ] };