`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "медианы треугольника пересекаются в одной точке;"],
["б", "радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле $r = S/p$;"],
["в", "в треугольнике против большей стороны лежит больший угол;"],
["г", "в любой параллелограмм можно вписать окружность?"],
],
sol: `
а) Медианы треугольника пересекаются в одной точке — верно
б) $r = S/p$ (где $p$ — полупериметр) — верно
в) Против большей стороны лежит больший угол — верно
г) В любой параллелограмм можно вписать окружность — НЕВЕРНО
Для вписанной окружности нужно: $AB+CD = BC+AD$. В параллелограмме $AB=CD$ и $BC=AD$, поэтому условие даёт $AB=BC$ — это ромб. Обычный параллелограмм (не ромб) вписанной окружности не имеет.
Ответ: г)
`
},
{
text: `Найдите все целые решения неравенства $-23 \\leq 10x \\leq 13$.`,
sol: `Делим все части на $10$:
$$-2{,}3 \\leq x \\leq 1{,}3$$
Целые числа на отрезке $[-2{,}3;\\; 1{,}3]$: это $-2,\\; -1,\\; 0,\\; 1$.
Ответ: $-2,\\; -1,\\; 0,\\; 1$
`
},
{
text: `Найдите четвёртый член геометрической прогрессии, если её первый член равен $5$,
а знаменатель прогрессии равен $2$.`,
sol: `Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$, где $a_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.
Шаг 1. По условию $a_1 = 5$, $q = 2$, нужно найти $a_4$. Подставляем $n = 4$:
$$a_4 = a_1 \\cdot q^{4-1} = 5 \\cdot 2^{3}.$$
Шаг 2. Вычислим $2^3 = 8$ и подставим:
$$a_4 = 5 \\cdot 8 = 40.$$
Ответ: $40$
`
},
{
text: `Найдите синус угла $BAC$, изображённого на клетчатой бумаге.`,
figure: ``,
sol: `Определение синуса в прямоугольном треугольнике: $\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.
Теорема Пифагора: для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ верно $c^2 = a^2 + b^2$.
Шаг 1. По рисунку достроим прямоугольный треугольник так, чтобы $\\angle BAC$ стал острым углом этого треугольника, а катеты шли по линиям клеток.
Шаг 2. Посчитаем длины катетов по клеткам.
Шаг 3. По теореме Пифагора находим гипотенузу.
Шаг 4. Применяем формулу синуса: делим длину противолежащего катета на длину гипотенузы.
`
},
{
text: `Упростите выражение
$\\dfrac{(2x^2+1)(4x^4+1)(16x^8+1)(2x^2-1)}{256x^{16}-1}$.`,
sol: `Формула разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, или, наоборот, $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Шаг 1. Воспользуемся переместительным свойством умножения и поставим $(2x^2-1)$ рядом с $(2x^2+1)$. Применим формулу разности квадратов:
$$(2x^2-1)(2x^2+1) = (2x^2)^2 - 1^2 = 4x^4 - 1.$$
Шаг 2. Теперь рядом с $(4x^4+1)$ стоит множитель $(4x^4-1)$. Снова применим формулу разности квадратов:
$$(4x^4-1)(4x^4+1) = (4x^4)^2 - 1 = 16x^8 - 1.$$
Шаг 3. Аналогично умножим на $(16x^8+1)$:
$$(16x^8-1)(16x^8+1) = (16x^8)^2 - 1 = 256x^{16} - 1.$$
Шаг 4. Получили, что числитель равен $256x^{16}-1$ — это в точности совпадает со знаменателем. Значит, дробь равна единице:
$$\\dfrac{256x^{16}-1}{256x^{16}-1} = 1.$$
Ответ: $1$
`
},
{
text: `Брат и сестра вышли одновременно из дома в тренажёрный зал, находящийся на расстоянии
$1$ км $250$ м от дома. Дойдя до тренажёрного зала, брат вспомнил, что забыл абонемент,
и с той же скоростью отправился домой. На каком расстоянии от тренажёрного зала
брат встретит сестру, если скорость брата $5$ км/ч, а скорость сестры $3$ км/ч?`,
sol: `Расстояние $d = 1{,}25$ км. Скорость брата $5$ км/ч, сестры $3$ км/ч.
Шаг 1. Время брата до зала: $t_1 = \\dfrac{1{,}25}{5} = 0{,}25$ ч.
Шаг 2. За это время сестра прошла $3 \\cdot 0{,}25 = 0{,}75$ км. До зала осталось: $1{,}25 - 0{,}75 = 0{,}5$ км.
Шаг 3. Брат выходит из зала навстречу. Скорость сближения $5 + 3 = 8$ км/ч. Время: $t_2 = \\dfrac{0{,}5}{8} = \\dfrac{1}{16}$ ч.
Шаг 4. Брат прошёл от зала: $5 \\cdot \\dfrac{1}{16} = \\dfrac{5}{16}$ км $= 312{,}5$ м.
Ответ: $312{,}5$ м от тренажёрного зала
`
},
{
text: `В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ перпендикулярна биссектрисе $BK$.
Найдите длину стороны $AB$, если $AM = BK = 20$.`,
sol: `
Шаг 1. Ключевые отрезки. Пусть $P$ — точка пересечения $AM$ и $BK$. Поскольку $AM\\perp BK$ и $AM=BK=20$, из свойств медианы и биссектрисы в таком треугольнике можно показать, что:
$$AP = PM = 10\\text{ (медиана делится пополам)}$$
$$BP = 15,\\quad PK = 5\\text{ (биссектриса делится в отношении 3:1)}$$
Шаг 2. Теорема Пифагора в $\\triangle APB$. $\\angle APB = 90°$ (медиана $\\perp$ биссектрисе), катеты $AP=10$ и $BP=15$:
$$AB = \\sqrt{AP^2 + BP^2} = \\sqrt{10^2 + 15^2} = \\sqrt{100 + 225} = \\sqrt{325} = 5\\sqrt{13}$$
`,
sol: `Определение синуса в прямоугольном треугольнике: $\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.