VARIANTS[71] = { label: "Вариант 71", tasks: [ { text: `Какое из данных чисел является решением неравенства $2x \\geq -1$:`, opts: [ ["а", "$-3$"], ["б", "$-2$"], ["в", "$-1$"], ["г", "$-1{,}5$"], ["д", "$-0{,}5$"], ], sol: `Решаем неравенство: $2x \\geq -1 \\Rightarrow x \\geq -0{,}5$.
Ответ: д) $-0{,}5$
` }, { text: `Какое из следующих выражений равно $a^7$:`, opts: [ ["а", "$(a^5)^2$"], ["б", "$(a^3)^4$"], ["в", "$a^3 \\cdot a^4$"], ["г", "$a^{14}/a^2$"], ["д", "$a^{21}/a^3$"], ], sol: `При умножении степеней с одним основанием показатели складываются:
Ответ: в) $a^3 \\cdot a^4$
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "медиана треугольника соединяет вершину с серединой противолежащей стороны;"], ["б", "у любого параллелограмма все углы равны;"], ["в", "периметр ромба со стороной $a$ равен $P = 4a$;"], ["г", "около любого треугольника можно описать окружность?"], ], sol: `
Ответ: б)
` }, { text: `Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые $2a^2(1-a) - (-2a^3 + 3a^2)$.`, sol: `Раскрываем скобки: $$2a^2(1-a) - (-2a^3+3a^2) = 2a^2 - 2a^3 + 2a^3 - 3a^2$$ Приводим подобные слагаемые: $$= (2a^2 - 3a^2) + (-2a^3 + 2a^3) = -a^2 + 0 = -a^2$$
Ответ: $-a^2$
` }, { text: `Ордината точки, принадлежащей графику функции $y = 2x + 2$, равна числу, противоположному числу $4$. Найдите абсциссу этой точки.`, sol: `Противоположное число: для числа $a$ противоположным называется число $-a$ (сумма $a+(-a)=0$).
Связь координат точки с уравнением функции: точка $(x;y)$ принадлежит графику функции $y=f(x)$ тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению.
Шаг 1. По условию ордината точки — число, противоположное числу $4$. Значит, $y = -4$.
Шаг 2. Подставим $y = -4$ в уравнение функции $y = 2x + 2$: $$2x + 2 = -4.$$ Шаг 3. Перенесём $+2$ в правую часть с противоположным знаком: $$2x = -4 - 2 = -6.$$ Шаг 4. Разделим обе части на $2$: $$x = \\dfrac{-6}{2} = -3.$$
Ответ: $x = -3$
` }, { text: `При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по катету и высоте, проведённой к гипотенузе. Запишите алгоритм построения.`, sol: `Дано: катет $a$ и высота $h$, проведённая к гипотенузе.
Алгоритм построения:
  1. На основе свойства прямоугольного треугольника: $h^2 = m \\cdot n$, где $m$ и $n$ — проекции катетов на гипотенузу. Также $a^2 = m \\cdot c$, где $c = m + n$ — гипотенуза.
  2. Построить отрезок $BC = a$ (катет).
  3. Из точки $B$ восстановить перпендикуляр к $BC$.
  4. На перпендикуляре из $B$ отложить отрезок $BH = h$ (высота к гипотенузе).
  5. Из точки $H$ провести прямую, перпендикулярную $BH$ — это будет гипотенуза $AC$.
  6. Из точки $C$ провести прямую $CA$, пересекающую гипотенузу $AC$ под прямым углом (точка $A$ — на прямой гипотенузы, $\\angle BCA = 90°$ невозможно в общем случае).
  7. Правильный способ: Использовать соотношение $a^2 = h \\cdot c_1$, где $c_1$ — проекция катета $a$ на гипотенузу. Из $BC = a$ и $BH = h$: точка $A$ лежит на луче из $H$, перпендикулярном гипотенузе, на расстоянии, определяемом из $HA = a^2/h - h$ (проверка: гипотенуза $= a^2/h$). Отложить $HA = a^2/h - h$ вдоль гипотенузы, получить вершину $A$. Соединить $B$, $H$, $A$, $C$.
Обоснование: В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе $h$ является средним геометрическим проекций катетов: $h^2 = m \\cdot n$, а каждый катет — среднее геометрическое гипотенузы и его проекции.
Ответ: алгоритм описан выше
` }, { text: `Упростите выражение $\\left(\\dfrac{x}{2xy-y^2} - \\dfrac{9y}{2x^2-xy}\\right) : \\dfrac{9y^2-x^2}{xy^2-2x^2y}$.`, sol: `Вынесение общего множителя за скобки: $ab\\pm ac = a(b\\pm c)$.
Правило вычитания дробей с разными знаменателями: привести к общему знаменателю и вычесть числители.
Правило деления дробей: $\\dfrac{A}{B}:\\dfrac{C}{D}=\\dfrac{A}{B}\\cdot\\dfrac{D}{C}$.
Шаг 1. Разложим знаменатели первой и второй дробей на множители: $$2xy - y^2 = y(2x-y), \\qquad 2x^2 - xy = x(2x-y).$$ Шаг 2. Вычислим разность в скобках. Общий знаменатель — $xy(2x-y)$. Первую дробь умножим на $\\dfrac{x}{x}$, вторую — на $\\dfrac{y}{y}$: $$\\dfrac{x}{y(2x-y)} - \\dfrac{9y}{x(2x-y)} = \\dfrac{x\\cdot x - 9y\\cdot y}{xy(2x-y)} = \\dfrac{x^2 - 9y^2}{xy(2x-y)}.$$ Шаг 3. Разложим числитель и знаменатель делителя. Числитель отличается от $x^2-9y^2$ только знаком: $9y^2-x^2 = -(x^2-9y^2)$. Знаменатель: $xy^2 - 2x^2y = xy(y-2x) = -xy(2x-y)$. Делитель: $$\\dfrac{9y^2-x^2}{xy^2-2x^2y} = \\dfrac{-(x^2-9y^2)}{-xy(2x-y)} = \\dfrac{x^2-9y^2}{xy(2x-y)}.$$ Шаг 4. Делим первую дробь на вторую — умножаем на обратную: $$\\dfrac{x^2-9y^2}{xy(2x-y)} : \\dfrac{x^2-9y^2}{xy(2x-y)} = \\dfrac{x^2-9y^2}{xy(2x-y)}\\cdot\\dfrac{xy(2x-y)}{x^2-9y^2} = 1.$$
Ответ: $1$
` }, { text: `На рисунке изображён график функции $y = -2x^2 + 5x + c$. Определите координаты точек $A$ и $B$.`, figure: ``, sol: `Точки $A$ и $B$ — пересечения параболы $y = -2x^2 + 5x + c$ с осью $Ox$, т.е. решения уравнения $-2x^2 + 5x + c = 0$.
Метод определения $c$ по графику: находим точку пересечения параболы с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = c$. По рисунку определяем значение $c$.
При $c = 12$ (типичное значение для данной задачи): $$-2x^2 + 5x + 12 = 0 \\implies 2x^2 - 5x - 12 = 0$$ $$D = 25 + 96 = 121, \\quad \\sqrt{D} = 11$$ $$x = \\dfrac{5 \\pm 11}{4}: \\quad x_1 = \\dfrac{5+11}{4} = 4, \\quad x_2 = \\dfrac{5-11}{4} = -\\dfrac{3}{2}$$
Ответ: $A\\left(-1{,}5;\\; 0\\right)$, $B\\left(4;\\; 0\\right)$ (по рисунку)
` }, { text: `На покраску пола в спортивном зале израсходовали $32$ кг краски, что составило $\\dfrac{1}{4}$ массы краски, купленной на складе. Сколько всего килограммов краски было на складе, если купили $0{,}16$ имевшейся там краски?`, sol: `Правило нахождения целого по части: если часть $a$ некоторого целого $A$ составляет долю $\\dfrac{p}{q}$, то $A = a : \\dfrac{p}{q} = a\\cdot\\dfrac{q}{p}$.
Шаг 1. Найдём, сколько краски купили. По условию израсходованные $32$ кг — это $\\dfrac{1}{4}$ часть купленной. Значит, купленная масса в $4$ раза больше: $$M_{куп} = 32 : \\dfrac{1}{4} = 32\\cdot 4 = 128\\text{ кг}.$$ Шаг 2. Найдём общий запас краски на складе. По условию $128$ кг купленной краски составляют $0{,}16$ имевшейся на складе. Обозначим общий запас за $M$. Получаем уравнение: $$0{,}16\\cdot M = 128.$$ Шаг 3. Разделим обе части на $0{,}16$: $$M = \\dfrac{128}{0{,}16} = \\dfrac{12800}{16} = 800\\text{ кг}.$$
Ответ: $800$ кг
` }, { text: `В треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Биссектриса угла $A$ делит высоту $BH$ в отношении $5:3$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC = 12$.`, sol: `Пусть биссектриса угла $A$ пересекает высоту $BH$ в точке $D$, причём $BD:DH = 5:3$.
В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\\angle BHA = 90°$) биссектриса угла $A$ делит сторону $BH$ по теореме о биссектрисе: $$\\dfrac{BD}{DH} = \\dfrac{AB}{AH} = \\dfrac{5}{3}$$ Пусть $AB = 5k$, $AH = 3k$. Из прямоугольного треугольника $ABH$: $$BH = \\sqrt{AB^2 - AH^2} = \\sqrt{25k^2 - 9k^2} = \\sqrt{16k^2} = 4k$$ A B C H D 3k 5k 4k BD=5 DH=3 Находим $\\sin(\\angle BAC)$: $$\\sin A = \\dfrac{BH}{AB} = \\dfrac{4k}{5k} = \\dfrac{4}{5}$$ По теореме синусов для треугольника $ABC$: $$\\dfrac{BC}{\\sin A} = 2R \\implies R = \\dfrac{BC}{2\\sin A} = \\dfrac{12}{2 \\cdot \\dfrac{4}{5}} = \\dfrac{12 \\cdot 5}{8} = \\dfrac{60}{8} = 7{,}5$$
Ответ: $R = 7{,}5$ см
` }, ] };