VARIANTS[76] = { label: "Вариант 76", tasks: [ { text: `Определите, какое из данных чисел является решением неравенства $x < -6$:`, opts: [ ["а", "$-3$"], ["б", "$-2$"], ["в", "$-1$"], ["г", "$0$"], ["д", "$-8$"], ], sol: `Неравенство $x \\lt -6$ выполняется только для чисел, строго меньших $-6$.
Ответ: д) $-8$
` }, { text: `Разность каких двух чисел НЕ равна $4{,}5$:`, opts: [ ["а", "$-0{,}5$ и $-5$"], ["б", "$-2{,}5$ и $-7$"], ["в", "$6{,}5$ и $2$"], ["г", "$10$ и $5{,}5$"], ["д", "$-0{,}5$ и $4$"], ], sol: `Проверим разность в каждом варианте:
Ответ: д)
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "угол правильного шестиугольника равен $120^{\\circ}$;"], ["б", "$\\operatorname{tg} 45^{\\circ} = \\operatorname{ctg} 45^{\\circ}$;"], ["в", "центр окружности, вписанной в угол, равноудалён от сторон угла;"], ["г", "в равностороннем треугольнике есть только два равных угла?"], ], sol: `
Ответ: г)
` }, { text: `Разложите на множители многочлен $64x^2 - 81y^2 + 8x - 9y$.`, sol: `Первые два слагаемых — разность квадратов, последние два группируем: $$64x^2 - 81y^2 + 8x - 9y = (64x^2 - 81y^2) + (8x - 9y)$$ $$= (8x - 9y)(8x + 9y) + (8x - 9y)$$ Выносим общий множитель $(8x - 9y)$: $$= (8x - 9y)(8x + 9y + 1)$$
Ответ: $(8x - 9y)(8x + 9y + 1)$
` }, { text: `Найдите значение выражения $a^2 : b - ab$ при $a = -4$, $b = -1{,}6$.`, sol: `Порядок действий: сначала выполняем возведение в степень, затем умножение и деление, в конце сложение и вычитание.
Свойство квадрата: $(-a)^2 = a^2$ (квадрат отрицательного числа положителен).
Правило знаков: минус на минус даёт плюс.
Шаг 1. Подставим $a = -4$ и $b = -1{,}6$ в выражение, заменив деление на дробь: $$a^2 : b - ab = \\dfrac{a^2}{b} - ab.$$ Шаг 2. Вычислим $a^2 = (-4)^2 = 16$ и подставим значения: $$\\dfrac{16}{-1{,}6} - (-4)\\cdot(-1{,}6).$$ Шаг 3. Выполним деление: $$\\dfrac{16}{-1{,}6} = -10.$$ Шаг 4. Выполним умножение (минус на минус — плюс): $$(-4)\\cdot(-1{,}6) = 6{,}4.$$ Шаг 5. Соберём всё (минус перед скобкой меняет знак): $$-10 - 6{,}4 = -16{,}4.$$
Ответ: $-16{,}4$
` }, { text: `Четвёртый член геометрической прогрессии равен $4$, а знаменатель равен $2$. Найдите сумму четырёх первых членов этой прогрессии.`, sol: `Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$, откуда $a_1 = \\dfrac{a_n}{q^{n-1}}$.
Связь соседних членов: $a_{n+1} = a_n \\cdot q$.
Шаг 1. По условию $a_4 = 4$, $q = 2$. Найдём первый член из равенства $a_4 = a_1 \\cdot q^{3}$: $$a_1 = \\dfrac{a_4}{q^{3}} = \\dfrac{4}{2^{3}} = \\dfrac{4}{8} = \\dfrac{1}{2}.$$ Шаг 2. Найдём остальные члены, умножая каждый предыдущий на знаменатель $q = 2$: $$a_2 = a_1\\cdot q = \\dfrac{1}{2}\\cdot 2 = 1, \\quad a_3 = a_2\\cdot q = 1\\cdot 2 = 2, \\quad a_4 = 4.$$ Шаг 3. Сложим: $$S_{4} = \\dfrac{1}{2} + 1 + 2 + 4 = \\dfrac{15}{2} = 7{,}5.$$
Ответ: $7{,}5$
` }, { text: `В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = 5$ см, $AD = 8$ см, $CD = 2\\sqrt{6}$ см, $\\angle A = 60^{\\circ}$, $\\angle C = 90^{\\circ}$. Найдите длину стороны $BC$.`, sol: `Теорема косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma$.
Теорема Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$ для прямоугольного треугольника.
Значение: $\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$.
Шаг 1. Проведём диагональ $BD$. Четырёхугольник разобьётся на два треугольника: $ABD$ (с известным углом $\\angle A = 60^{\\circ}$) и $BCD$ (с прямым углом $\\angle C = 90^{\\circ}$).
Шаг 2. Найдём $BD$ из $\\triangle ABD$ по теореме косинусов. Известны $AB = 5$, $AD = 8$, $\\angle A = 60^{\\circ}$: $$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2\\cdot AB\\cdot AD\\cdot\\cos A = 5^2 + 8^2 - 2\\cdot 5\\cdot 8\\cdot\\dfrac{1}{2}.$$ Вычислим: $25 + 64 - 40 = 49$, значит $BD = \\sqrt{49} = 7$ см.
Шаг 3. Найдём $BC$ из $\\triangle BCD$ по теореме Пифагора. Так как $\\angle C = 90^{\\circ}$, $BD$ — гипотенуза, а $BC$ и $CD$ — катеты. Подставим $CD = 2\\sqrt{6}$, $CD^2 = 4\\cdot 6 = 24$: $$BC^2 = BD^2 - CD^2 = 49 - 24 = 25 \\implies BC = \\sqrt{25} = 5\\text{ см}.$$ A D B C 8 5 2√6 5 BD=7 60°
Ответ: $BC = 5$ см
` }, { text: `В первый день туристы прошли $0{,}3$ намеченного пути, а во второй — преодолели $0{,}4$ намеченного пути. В третий день им оставалось пройти последние $15$ км. Каков весь путь туристов за $3$ дня?`, sol: `Метод введения переменной: неизвестную величину обозначаем буквой и составляем уравнение.
Шаг 1. Введём переменную. Пусть $S$ — весь намеченный путь (в километрах).
Шаг 2. Выразим путь за два дня. В первый день туристы прошли $0{,}3\\cdot S$, во второй — $0{,}4\\cdot S$. Всего за два дня: $$0{,}3S + 0{,}4S = 0{,}7S.$$ Шаг 3. Выразим оставшийся путь. На третий день им осталось: $$S - 0{,}7S = 0{,}3S.$$ Шаг 4. Составим уравнение. По условию это $15$ км: $$0{,}3S = 15.$$ Шаг 5. Разделим обе части на $0{,}3$: $$S = \\dfrac{15}{0{,}3} = 50\\text{ км}.$$
Ответ: $50$ км
` }, { text: `При каком значении $a$ графики функций $y = (a+1)x + 6$ и $y = 3x - 2$ не имеют общих точек? Ответ обоснуйте.`, sol: `Условие параллельности прямых: две прямые $y = k_{1}x + b_{1}$ и $y = k_{2}x + b_{2}$ параллельны (и не имеют общих точек) тогда и только тогда, когда $k_{1} = k_{2}$ и $b_{1}\\neq b_{2}$.
Шаг 1. Запишем угловые коэффициенты данных прямых: $$k_{1} = a + 1\\quad\\text{(из первой формулы)},\\qquad k_{2} = 3\\quad\\text{(из второй)}.$$ Шаг 2. Графики не имеют общих точек, когда прямые параллельны. Приравняем угловые коэффициенты: $$a + 1 = 3 \\implies a = 2.$$ Шаг 3. Проверим, что свободные члены не совпали (иначе прямые совпадают, а не параллельны). При $a = 2$: $y = 3x + 6$ и $y = 3x - 2$. Свободные члены $6$ и $-2$ различны — значит, прямые параллельны и не имеют общих точек ✓.
Ответ: $a = 2$
` }, { text: `Одна из диагоналей ромба в $1\\dfrac{1}{3}$ раза больше другой, периметр ромба равен $100$ см. Найдите площадь круга, окружность которого вписана в ромб.`, sol: `Свойство диагоналей ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
Формула площади ромба: $S = \\dfrac{d_{1}\\cdot d_{2}}{2}$.
Формула радиуса вписанной окружности: $r = \\dfrac{S}{p}$ ($p$ — полупериметр).
Формула площади круга: $S_{\\text{кр}} = \\pi r^{2}$.
Шаг 1. Заметим, что $1\\dfrac{1}{3} = \\dfrac{4}{3}$. Пусть меньшая диагональ $d_{1}$, тогда большая $d_{2} = \\dfrac{4}{3}d_{1}$. Половины диагоналей — катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого — сторона ромба: $$\\dfrac{d_{1}}{2} \\quad\\text{и}\\quad \\dfrac{d_{2}}{2} = \\dfrac{4d_{1}}{6} = \\dfrac{2d_{1}}{3}.$$ По теореме Пифагора: $$a = \\sqrt{\\left(\\dfrac{d_{1}}{2}\\right)^{2} + \\left(\\dfrac{2d_{1}}{3}\\right)^{2}} = d_{1}\\sqrt{\\dfrac{1}{4} + \\dfrac{4}{9}} = d_{1}\\sqrt{\\dfrac{9 + 16}{36}} = d_{1}\\cdot\\dfrac{5}{6}.$$ Шаг 2. Из периметра $P = 4a = 100$ имеем $a = 25$ см. Тогда $d_{1}\\cdot\\dfrac{5}{6} = 25 \\implies d_{1} = 30$ см, $d_{2} = \\dfrac{4}{3}\\cdot 30 = 40$ см.
Шаг 3. Площадь ромба: $$S = \\dfrac{30\\cdot 40}{2} = 600\\text{ см}^{2}.$$ Шаг 4. Полупериметр $p = \\dfrac{P}{2} = 50$ см. Радиус вписанной окружности: $$r = \\dfrac{S}{p} = \\dfrac{600}{50} = 12\\text{ см}.$$ Шаг 5. Площадь круга: $$S_{\\text{кр}} = \\pi r^{2} = \\pi\\cdot 12^{2} = 144\\pi\\text{ см}^{2}.$$ r=12 15 15 20 20
Ответ: $144\\pi$ см²
` }, ] };