VARIANTS[77] = { label: "Вариант 77", tasks: [ { text: `Определите, решением какого из данных неравенств является числовой промежуток $(-\\infty;\\; -3]$:`, opts: [ ["а", "$x < -3$"], ["б", "$x > -3$"], ["в", "$x \\leq -3$"], ["г", "$x \\geq -3$"], ["д", "$x \\leq 3$"], ], sol: `Промежуток $(-\\infty;\\,-3]$ включает все числа, не превосходящие $-3$, то есть $x\\leq -3$.
Ответ: в)
` }, { text: `Произведение каких двух чисел НЕ равно $-5$:`, opts: [ ["а", "$1$ и $-5$"], ["б", "$-2$ и $2{,}5$"], ["в", "$-0{,}5$ и $10$"], ["г", "$1$ и $5$"], ["д", "$-1$ и $5$"], ], sol: `Проверяем каждую пару:
Ответ: г)
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "в равнобедренном треугольнике два угла равны;"], ["б", "площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $S = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}$;"], ["в", "около любого четырёхугольника можно описать окружность;"], ["г", "вертикальные углы равны между собой?"], ], sol: `
Ответ: в)
` }, { text: `Определите масштаб изображения, если расстояние на местности, равное $25$ км, изображено на карте отрезком в $2{,}5$ мм.`, sol: `Переведём расстояние на местности в миллиметры: $$25\\text{ км} = 25\\cdot1\\,000\\,000\\text{ мм} = 25\\,000\\,000\\text{ мм}$$ Масштаб — отношение длины на карте к длине на местности: $$M = \\dfrac{2{,}5\\text{ мм}}{25\\,000\\,000\\text{ мм}} = \\dfrac{1}{10\\,000\\,000}$$
Ответ: $1:10\\,000\\,000$
` }, { text: `Сумма градусных мер вписанного угла и дуги, на которую он опирается, равна $120^{\\circ}$. Найдите градусную меру вписанного угла.`, sol: `Теорема о вписанном угле: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга равна удвоенному вписанному углу.
Шаг 1. Обозначим вписанный угол через $\\alpha$ (в градусах). Тогда соответствующая дуга равна $2\\alpha$.
Шаг 2. По условию сумма градусной меры вписанного угла и дуги равна $120^\\circ$: $$\\alpha + 2\\alpha = 120^\\circ.$$ Шаг 3. Приведём подобные и найдём $\\alpha$: $$3\\alpha = 120^\\circ \\implies \\alpha = \\dfrac{120^\\circ}{3} = 40^\\circ.$$
Ответ: $40^\\circ$
` }, { text: `Найдите координаты точки графика линейной функции $y = 2x - 35$, абсцисса которой в $3$ раза больше ординаты.`, sol: `Метод подстановки: если переменные связаны равенством, одну из них выражаем через другую и подставляем в уравнение.
Координаты точки графика: абсцисса — это $x$, ордината — это $y$.
Шаг 1. Запишем условие задачи в виде равенства. «Абсцисса в $3$ раза больше ординаты» означает, что $x = 3y$.
Шаг 2. Подставим $x = 3y$ в уравнение функции $y = 2x - 35$: $$y = 2\\cdot 3y - 35 = 6y - 35.$$ Шаг 3. Перенесём $6y$ в левую часть, поменяв знак: $$y - 6y = -35 \\implies -5y = -35.$$ Шаг 4. Разделим обе части на $-5$: $$y = \\dfrac{-35}{-5} = 7.$$ Шаг 5. Найдём абсциссу из $x = 3y$: $$x = 3\\cdot 7 = 21.$$ Проверка. Подставим $x = 21$ в формулу функции: $y = 2\\cdot 21 - 35 = 42 - 35 = 7$ ✓. Условие $21 = 3\\cdot 7$ ✓.
Ответ: $(21;\\;7)$
` }, { text: `Известно, что функция $y = f(x)$ является чётной и $f(3) = -7$, $f(-4) = 5$. Найдите значение выражения $2f(-3) + 3f(4)$.`, sol: `Свойство чётной функции: $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения (график симметричен относительно оси $Oy$).
Шаг 1. Найдём $f(-3)$. По свойству чётности значение в точке $-3$ равно значению в точке $3$: $$f(-3) = f(3) = -7.$$ Шаг 2. Найдём $f(4)$. Аналогично, $f(4) = f(-4) = 5$ (значения в противоположных точках равны).
Шаг 3. Подставим найденные значения в выражение $2f(-3) + 3f(4)$: $$2f(-3) + 3f(4) = 2\\cdot(-7) + 3\\cdot 5 = -14 + 15 = 1.$$
Ответ: $1$
` }, { text: `Решите уравнение $\\dfrac{x^2 - 5x}{x - 5} = 2 - x^2$.`, sol: `Правило сокращения дроби: если в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель, его можно сократить (при условии, что он не равен нулю).
Формула корней квадратного уравнения: $x = \\dfrac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.
Шаг 1. ОДЗ. Знаменатель $x - 5 \\neq 0$, значит, $x \\neq 5$.
Шаг 2. Вынесем в числителе общий множитель $x$ и сократим дробь: $$\\dfrac{x^2 - 5x}{x - 5} = \\dfrac{x(x - 5)}{x - 5} = x.$$ Шаг 3. Уравнение принимает вид $x = 2 - x^2$. Перенесём всё в одну сторону: $$x^2 + x - 2 = 0.$$ Шаг 4. Найдём дискриминант ($a = 1$, $b = 1$, $c = -2$): $$D = 1^{2} - 4\\cdot 1\\cdot(-2) = 1 + 8 = 9.$$ Шаг 5. Найдём корни: $$x = \\dfrac{-1 \\pm \\sqrt{9}}{2} = \\dfrac{-1 \\pm 3}{2}.$$ Получаем $x_{1} = \\dfrac{-1+3}{2} = 1$ и $x_{2} = \\dfrac{-1-3}{2} = -2$.
Шаг 6. Проверим по ОДЗ: оба корня не равны $5$, значит, оба подходят.
Ответ: $x = 1,\\quad x = -2$
` }, { text: `В треугольнике $ABC$ проведены биссектриса $BK$ и медиана $AM$, которые пересекаются в точке $F$. Площадь треугольника $ABC$ равна $210$, $AB : BC = 3 : 4$. Найдите площадь четырёхугольника $KFMC$.`, sol: ` A B C M K F KFMC Шаг 1. По теореме о биссектрисе: $AK:KC = AB:BC = 3:4$. Из вершины $B$ проведём высоту к $AC$ — основание общее для $\\triangle ABK$ и $\\triangle CBK$: $$S(ABK) = \\dfrac{AK}{AC}\\cdot S(ABC) = \\dfrac{3}{7}\\cdot210 = 90,\\quad S(CBK) = 120$$ Шаг 2. $AM$ — медиана, $M$ — середина $BC$: $$S(ABM) = S(ACM) = \\dfrac{210}{2} = 105$$ Шаг 3. Находим $AF:FM$ через параллельную.
Проведём через $M$ прямую $MN \\parallel BK$, где $N$ — на $AC$. A B C M K F N KFMC AK=3/7 KN=2/7 По теореме о средней линии в $\\triangle BCK$ ($M$ — середина $BC$, $MN \\parallel BK$):
$N$ — середина $CK$, т.е. $KN = \\dfrac{1}{2}CK = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{4}{7}AC = \\dfrac{2}{7}AC$.
Таким образом: $AK = \\dfrac{3}{7}AC$, $KN = \\dfrac{2}{7}AC$.
По теореме Фалеса (две параллельные $BK$ и $MN$ пересекают две секущие $AM$ и $AC$ из точки $A$): $$\\dfrac{AF}{FM} = \\dfrac{AK}{KN} = \\dfrac{3/7}{2/7} = \\dfrac{3}{2} \\implies AF:FM = 3:2$$
Шаг 4. $$S(ABF) = \\dfrac{AF}{AM}\\cdot S(ABM) = \\dfrac{3}{5}\\cdot105 = 63$$ $$S(BFM) = S(ABM) - S(ABF) = 105 - 63 = 42$$ Шаг 5. $$S(ACF) = \\dfrac{AF}{AM}\\cdot S(ACM) = \\dfrac{3}{5}\\cdot105 = 63$$ $$S(AKF) = \\dfrac{AK}{AC}\\cdot S(ACF) = \\dfrac{3}{7}\\cdot63 = 27$$ Шаг 6. $$S(KFMC) = S(ABC) - S(ABF) - S(BFM) - S(AKF) = 210 - 63 - 42 - 27 = 78$$
Ответ: $78$
` }, { text: `В зрительном зале было $320$ мест, причём в каждом ряду их было одинаковое количество. Число рядов уменьшили на $2$, а в каждый ряд добавили $5$ мест. В результате в зале стало $350$ мест. Сколько рядов стало в зрительном зале?`, sol: `Метод введения двух переменных: вводим переменные для каждой неизвестной величины и составляем систему уравнений.
Формула корней квадратного уравнения: $x = \\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Шаг 1. Введём переменные. Пусть $r$ — первоначальное число рядов, $n$ — количество мест в одном ряду. Тогда всего мест: $$r\\cdot n = 320.\\qquad(1)$$ Шаг 2. Составим второе уравнение. После изменений число рядов стало $(r-2)$, мест в ряду — $(n+5)$, всего $350$ мест: $$(r - 2)(n + 5) = 350.$$ Шаг 3. Раскроем скобки: $$rn + 5r - 2n - 10 = 350.$$ Подставим $rn = 320$ из (1): $$320 + 5r - 2n - 10 = 350 \\implies 5r - 2n = 40.\\qquad(2)$$ Шаг 4. Решим систему. Из (1) выразим $n = \\dfrac{320}{r}$ и подставим в (2): $$5r - 2\\cdot\\dfrac{320}{r} = 40 \\implies 5r - \\dfrac{640}{r} = 40.$$ Шаг 5. Умножим обе части на $r$ (заметим, что $r\\neq 0$, так как число рядов положительное): $$5r^2 - 640 = 40r \\implies 5r^2 - 40r - 640 = 0.$$ Разделим на $5$: $$r^2 - 8r - 128 = 0.$$ Шаг 6. Найдём дискриминант ($a=1$, $b=-8$, $c=-128$): $$D = (-8)^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-128) = 64 + 512 = 576 = 24^2.$$ $$r = \\dfrac{8\\pm 24}{2}: \\quad r_{1} = \\dfrac{32}{2} = 16,\\quad r_{2} = \\dfrac{-16}{2} = -8.$$ По смыслу задачи $r \\gt 0$, поэтому $r = 16$.
Шаг 7. В вопросе спрашивается, сколько рядов стало: это $r - 2 = 16 - 2 = 14$.
Ответ: $14$ рядов
` }, ] };