`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "площадь треугольника можно найти по формуле $S = \\dfrac{1}{2} a h_a$;"],
["б", "диагонали равнобедренной трапеции равны между собой;"],
["в", "$\\operatorname{ctg} 45^{\\circ} = 1$;"],
["г", "окружность, описанная около четырёхугольника, касается всех его сторон?"],
],
sol: `
г) «Описанная окружность касается всех сторон» — НЕВЕРНО. Описанная окружность проходит через вершины (а касается сторон вписанная).
Ответ: г)
`
},
{
text: `Упростите выражение $\\dfrac{x^2-a^2}{x+a} - (3x-a)$
и найдите его значение при $x = 12$.`,
sol: `Раскладываем числитель по формуле разности квадратов ($x\\neq -a$):
$$\\dfrac{x^2-a^2}{x+a} - (3x-a) = \\dfrac{(x-a)(x+a)}{x+a} - (3x-a) = (x-a)-(3x-a)$$
$$= x - a - 3x + a = -2x$$
При $x=12$: $-2\\cdot12 = -24$.
Ответ: $-2x$; при $x=12$ значение равно $-24$
`
},
{
text: `При каком значении $x$ числа $x+1$, $2x-3$, $6x+6$
являются последовательными членами арифметической прогрессии?`,
sol: `Характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый член (начиная со второго) равен среднему арифметическому соседних. Если $a$, $b$, $c$ — три подряд идущих члена АП, то $b = \\dfrac{a+c}{2}$, или равносильно $2b = a + c$.
Шаг 1. Применим свойство к трём данным числам $a = x+1$, $b = 2x-3$, $c = 6x+6$:
$$2(2x - 3) = (x + 1) + (6x + 6).$$
Шаг 2. Раскроем скобки и приведём подобные:
$$4x - 6 = 7x + 7.$$
Шаг 3. Перенесём $x$-ы в одну сторону, числа в другую:
$$4x - 7x = 7 + 6,$$
$$-3x = 13.$$
Шаг 4. Разделим на $-3$:
$$x = -\\dfrac{13}{3}.$$
Проверка. При $x = -\\dfrac{13}{3}$ члены прогрессии: $x+1 = -\\dfrac{10}{3}$, $2x-3 = -\\dfrac{35}{3}$, $6x+6 = -\\dfrac{60}{3} = -20$. Разности: $-\\dfrac{35}{3} - \\left(-\\dfrac{10}{3}\\right) = -\\dfrac{25}{3}$ и $-\\dfrac{60}{3} - \\left(-\\dfrac{35}{3}\\right) = -\\dfrac{25}{3}$ — разности равны, прогрессия ✓.
Ответ: $x = -\\dfrac{13}{3}$
`
},
{
text: `Найдите площадь треугольника $ABC$, если размеры одной клетки $1$ см $\\times$ $1$ см.`,
figure: ``,
sol: `Формула площади треугольника по координатам вершин (формула «шнурков»):
$$S = \\dfrac{1}{2}\\bigl|x_{A}(y_{B}-y_{C}) + x_{B}(y_{C}-y_{A}) + x_{C}(y_{A}-y_{B})\\bigr|.$$
Альтернатива — метод «описанного прямоугольника»: описать вокруг треугольника прямоугольник со сторонами по линиям сетки, его площадь подсчитать по клеткам, а затем вычесть площади трёх прямоугольных треугольников по углам.
Шаг 1. По рисунку определить координаты вершин $A$, $B$, $C$ в клетках.
Шаг 2. Подставить координаты в формулу или применить метод описанного прямоугольника.
Шаг 3. Получить ответ в см² (так как одна клетка — $1$ см $\\times$ $1$ см, площадь клетки $= 1$ см²).
Ответ: определяется по рисунку
`
},
{
text: `Из всех учащихся, выполнявших контрольную работу, на «$10$» выполнили $2$ учащихся,
на «$9$» — $3$, на «$8$» — $5$, на «$7$» — $6$, на «$6$» — $3$, на «$5$» — $1$.
Какой процент всех учащихся составляют учащиеся, получившие оценки не меньше «$7$»?`,
sol: `Формула вычисления процентного отношения: чтобы найти, какой процент составляет число $a$ от числа $b$, надо отношение $\\dfrac{a}{b}$ умножить на $100\\%$.
Шаг 1. Найдём общее число учащихся, сложив количество получивших каждую оценку:
$$N = 2 + 3 + 5 + 6 + 3 + 1 = 20.$$
Шаг 2. Найдём число учащихся с оценками не меньше «$7$». Это оценки $7$, $8$, $9$, $10$ — соответственно $6$, $5$, $3$, $2$ учащихся:
$$N_{\\geq 7} = 6 + 5 + 3 + 2 = 16.$$
Шаг 3. Найдём процентное отношение:
$$\\dfrac{N_{\\geq 7}}{N}\\cdot 100\\% = \\dfrac{16}{20}\\cdot 100\\% = 0{,}8\\cdot 100\\% = 80\\%.$$
Ответ: $80\\%$
`
},
{
text: `Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы
$y = 2x^2 + 3$ и прямой $y = 2x + 7$.`,
sol: `Метод поиска точек пересечения графиков: в точках пересечения значения функций совпадают, поэтому приравниваем правые части и получаем уравнение относительно $x$.
Теорема Виета (обратная): если $x_{1}+x_{2}=-p$ и $x_{1}\\cdot x_{2}=q$, то $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни уравнения $x^{2}+px+q=0$.
Шаг 1. Приравняем правые части уравнений:
$$2x^2 + 3 = 2x + 7.$$
Шаг 2. Перенесём всё в левую часть:
$$2x^2 - 2x - 4 = 0.$$
Разделим обе части на $2$:
$$x^2 - x - 2 = 0.$$
Шаг 3. По теореме Виета ищем два числа, у которых сумма $1$, а произведение $-2$. Подходят $2$ и $-1$. Значит, $(x-2)(x+1) = 0$, откуда $x_{1} = 2$, $x_{2} = -1$.
Шаг 4. Найдём ординаты точек пересечения, подставив корни в более простое уравнение прямой $y = 2x + 7$:
$$\\text{при } x = 2:\\;\\; y = 2\\cdot 2 + 7 = 11;$$
$$\\text{при } x = -1:\\;\\; y = 2\\cdot(-1) + 7 = 5.$$
Ответ: $(2;\\,11)$ и $(-1;\\,5)$
`
},
{
text: `В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 3$ см, $AD = 4$ см. В треугольники $ABC$ и $ADC$
вписаны окружности, которые касаются диагонали $AC$ в точках $M$ и $K$.
Найдите длину отрезка $MK$.`,
figure: ``,
sol: `Диагональ $AC = \\sqrt{AB^2+BC^2} = \\sqrt{9+16} = 5$ см.
Оба треугольника $ABC$ и $ACD$ прямоугольные с катетами $3$ и $4$, гипотенузой $5$.
Шаг 1. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:
$$r = \\dfrac{a+b-c}{2} = \\dfrac{3+4-5}{2} = 1\\text{ см}$$
Шаг 2. Точка касания $M$ на $AC$ в $\\triangle ABC$.
Касательная из $A$: $s - BC = \\dfrac{3+4+5}{2} - 4 = 2$. Значит $AM = 2$ см.
Шаг 3. Точка касания $K$ на $AC$ в $\\triangle ACD$.
Касательная из $A$: $s - CD = \\dfrac{4+3+5}{2} - 3 = 3$. Значит $AK = 3$ см.
$$MK = AK - AM = 3 - 2 = 1\\text{ см}$$
Ответ: $MK = 1$ см
`
},
{
text: `Упростите выражение $\\dfrac{|x-2| + |x+4| - |x|}{|x+2|}$ при $x < -4$.`,
sol: `Определение модуля: $|a| = a$ при $a \\geq 0$ и $|a| = -a$ при $a \\lt 0$.
Метод раскрытия модулей: определяем знак подмодульного выражения при заданном условии на $x$, после чего знак модуля убираем (если выражение отрицательно — с противоположным знаком).
Шаг 1. Определим знаки подмодульных выражений при $x \\lt -4$. Так как $x \\lt -4$, то:
`,
sol: `Формула площади треугольника по координатам вершин (формула «шнурков»):
$$S = \\dfrac{1}{2}\\bigl|x_{A}(y_{B}-y_{C}) + x_{B}(y_{C}-y_{A}) + x_{C}(y_{A}-y_{B})\\bigr|.$$
Альтернатива — метод «описанного прямоугольника»: описать вокруг треугольника прямоугольник со сторонами по линиям сетки, его площадь подсчитать по клеткам, а затем вычесть площади трёх прямоугольных треугольников по углам.
`,
sol: `Диагональ $AC = \\sqrt{AB^2+BC^2} = \\sqrt{9+16} = 5$ см.