`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;"],
["б", "сумма смежных углов равна $180^{\\circ}$;"],
["в", "у любого параллелограмма все стороны равны;"],
["г", "диагонали любого ромба перпендикулярны?"],
],
sol: `
а) Углы при основании равнобедренного треугольника равны — верно
б) Сумма смежных углов равна $180°$ — верно
в) У любого параллелограмма все стороны равны — НЕВЕРНО
г) Диагонали любого ромба перпендикулярны — верно
Все стороны равны лишь у ромба — частного случая параллелограмма; в общем параллелограмме противоположные стороны равны, но смежные стороны могут различаться.
Ответ: в)
`
},
{
text: `Определите наименьшее целое решение совокупности неравенств
$$\\left[\\begin{array}{l} x^2 - 4x \\leq 0, \\\\[4pt] x > -1{,}5. \\end{array}\\right.$$`,
sol: `Совокупность «$[\\,$» означает объединение: решение удовлетворяет хотя бы одному из неравенств.
Неравенство 1: $x^2-4x\\leq 0\\Rightarrow x(x-4)\\leq 0\\Rightarrow 0\\leq x\\leq 4$
Неравенство 2: $x>-1{,}5$
Объединение: $(0\\leq x\\leq 4)\\cup(x>-1{,}5) = x>-1{,}5$
Наименьшее целое число, большее $-1{,}5$: это $-1$.
Ответ: $-1$
`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{x^2 + x - 12}{x^2 + 8x + 16}$
и найдите значение полученной дроби при $x = -3$.`,
sol: `Теорема Виета (обратная): $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
Формула квадрата суммы: $(x+a)^2 = x^2+2ax+a^2$.
Шаг 1. Разложим числитель на множители. Ищем числа с суммой $-1$ и произведением $-12$. Подходят $-3$ и $4$:
$$x^2+x-12 = (x+4)(x-3)$$
Шаг 2. Разложим знаменатель. Это полный квадрат:
$$x^2+8x+16 = x^2+2\\cdot 4\\cdot x + 4^2 = (x+4)^2$$
Шаг 3. Сокращаем общий множитель $(x+4)$ (так как $x\\neq -4$, иначе знаменатель равен нулю):
$$\\dfrac{(x+4)(x-3)}{(x+4)^2} = \\dfrac{x-3}{x+4}$$
Шаг 4. Подставляем $x=-3$:
$$\\dfrac{-3-3}{-3+4} = \\dfrac{-6}{1} = -6$$
Ответ: $-6$
`
},
{
text: `Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AD = 8$ см.
Высота, проведённая из вершины $A$ к стороне $BC$, равна $4$ см.
Найдите площадь треугольника $AOD$.`,
sol: `Свойства параллелограмма: противоположные стороны равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам и разбивают параллелограмм на 4 равновеликих треугольника.
Формула площади параллелограмма: $S = a\\cdot h$, где $a$ — сторона, $h$ — высота к ней.
Шаг 1. Так как $AD$ и $BC$ — противоположные стороны параллелограмма, то $BC = AD = 8$ см.
Шаг 2. Высота из вершины $A$ к стороне $BC$ длиной $4$ см — это расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$.
Шаг 3. Находим площадь всего параллелограмма:
$$S_{ABCD} = AD\\cdot h = 8\\cdot 4 = 32\\text{ см}^2$$
Шаг 4. Точка $O$ — пересечение диагоналей. Диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника:
Шаг 5. Значит:
$$S_{AOD} = \\dfrac{S_{ABCD}}{4} = \\dfrac{32}{4} = 8\\text{ см}^2$$
Ответ: $8$ см²
`
},
{
text: `Отчисления в бюджет по фиксированной ставке с доходов физических лиц
в Беларуси составляют $13\\%$ от заработной платы. После удержания налога
на доходы сотрудник предприятия получил $1131$ р.
Сколько рублей составляет заработная плата сотрудника без вычета налога?`,
sol: `Метод уравнения для задачи на проценты: неизвестную величину обозначаем переменной и выражаем условие задачи как уравнение.
Свойство: если из величины удерживают $p\\%$, то остаётся $(100-p)\\%$.
Шаг 1. Обозначим за $x$ заработную плату сотрудника до удержания налога.
Шаг 2. По условию налог $= 13\\%$ от $x$. Значит, на руки сотрудник получает оставшиеся $100\\%-13\\%=87\\%$ от $x$:
$$0{,}87\\cdot x = 1131$$
Шаг 3. Делим обе части уравнения на $0{,}87$:
$$x = \\dfrac{1131}{0{,}87} = \\dfrac{1131\\cdot 100}{87} = \\dfrac{113100}{87}$$
Шаг 4. Выполняем деление: $113100:87 = 1300$.
$$x = 1300\\text{ р.}$$
Проверка: $13\\%$ от $1300$ — это $0{,}13\\cdot 1300=169$ р.; на руки $1300-169=1131$ р. ✓
Ответ: $1300$ р.
`
},
{
text: `Найдите значение выражения $x_1 \\cdot x_2 + y_1 \\cdot y_2$,
где $(x_1;\\, y_1)$, $(x_2;\\, y_2)$ — решения системы уравнений
$$\\begin{cases} x^2 - y = 16, \\\\[4pt] x + y = 4. \\end{cases}$$`,
sol: `Метод подстановки для системы уравнений: выражаем одну переменную через другую и подставляем.
Теорема Виета (обратная): для $x^2+px+q=0$ корни $x_1,x_2$ удовлетворяют $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
Шаг 1. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$$y = 4 - x$$
Шаг 2. Подставим в первое уравнение:
$$x^2 - (4-x) = 16$$
$$x^2 + x - 20 = 0$$
Шаг 3. По теореме Виета ищем корни: $x_1+x_2=-1$, $x_1\\cdot x_2=-20$. Подходят $-5$ и $4$:
$$(x+5)(x-4)=0 \\implies x_1=-5,\\; x_2=4$$
Шаг 4. По формуле $y = 4-x$ находим $y$ для каждого корня:
`
},
{
text: `Функция $y = f(x)$ нечётная и для $x > 0$ задаётся формулой
$f(x) = \\dfrac{1}{x} - x^2$.
Найдите значение выражения $f\\!\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right) - f(-3)$.`,
sol: `Свойство нечётной функции: $f(-x)=-f(x)$ для всех $x$ из области определения.
Идея решения: формула задана только при $x\\gt 0$. Чтобы найти значения функции в отрицательных точках, применяем свойство нечётности.
Шаг 1. Вычислим $f\\!\\left(\\dfrac{1}{3}\\right)$ по данной формуле (так как $\\dfrac{1}{3}\\gt 0$):
$$f\\!\\left(\\dfrac{1}{3}\\right) = \\dfrac{1}{1/3} - \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^2 = 3 - \\dfrac{1}{9} = \\dfrac{27-1}{9} = \\dfrac{26}{9}$$
Шаг 2. По свойству нечётности:
$$f\\!\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right) = -f\\!\\left(\\dfrac{1}{3}\\right) = -\\dfrac{26}{9}$$
Шаг 3. Вычислим $f(3)$ по той же формуле:
$$f(3) = \\dfrac{1}{3} - 3^2 = \\dfrac{1}{3} - 9 = \\dfrac{1-27}{3} = -\\dfrac{26}{3}$$
Шаг 4. По свойству нечётности:
$$f(-3) = -f(3) = -\\left(-\\dfrac{26}{3}\\right) = \\dfrac{26}{3}$$
Шаг 5. Находим требуемую разность. Приведём дроби к общему знаменателю $9$:
$$f\\!\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right) - f(-3) = -\\dfrac{26}{9} - \\dfrac{26}{3} = -\\dfrac{26}{9} - \\dfrac{78}{9} = -\\dfrac{104}{9}$$
Ответ: $-\\dfrac{104}{9}$
`
},
{
text: `В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности
делит гипотенузу на отрезки длиной $4$ см и $3$ см.
Найдите площадь треугольника.`,
sol: `Обозначения. Пусть прямой угол в точке $C$, катеты $CA=b$, $CB=a$, гипотенуза $AB=c$. Вписанная окружность касается гипотенузы в точке $P$: $AP=4$, $PB=3$.
Шаг 1. Свойство касательных. Из каждой вершины отрезки до двух точек касания равны:
Из $A$: касательная к гипотенузе $AP=4$, касательная к катету $CA$ тоже $=4$.
Из $B$: касательная к гипотенузе $BP=3$, касательная к катету $CB$ тоже $=3$.