VARIANTS[8] = { label: "Вариант 8", tasks: [ { text: `Определите, какое из следующих равенств верно:`, opts: [ ["а", "$b^{-3} = -3b$"], ["б", "$b^{-3} = -b^3$"], ["в", "$b^{-3} = \\dfrac{1}{b^3}$"], ["г", "$b^{-3} = -\\dfrac{1}{b^3}$"], ["д", "$b^{-3} = -\\dfrac{3}{b}$"], ], sol: `По определению отрицательного показателя: $b^{-n} = \\dfrac{1}{b^n}$. $$b^{-3} = \\frac{1}{b^3}$$
Ответ: в) $b^{-3}=\\dfrac{1}{b^3}$
` }, { text: `Второй член геометрической прогрессии $(b_n)$, у которой $q = 4$ и $b_1 = \\dfrac{3}{8}$, равен:`, opts: [ ["а", "$1$"], ["б", "$2$"], ["в", "$\\dfrac{1}{2}$"], ["г", "$\\dfrac{2}{3}$"], ["д", "$1\\dfrac{1}{2}$"], ], sol: `$$b_2 = b_1\\cdot q = \\dfrac{3}{8}\\cdot 4 = \\dfrac{3}{2} = 1\\dfrac{1}{2}$$
Ответ: д) $1\\dfrac{1}{2}$
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "соответственные углы при двух параллельных прямых и секущей равны между собой;"], ["б", "средняя линия трапеции параллельна основаниям;"], ["в", "$\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"], ["г", "если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это обязательно квадрат?"], ], sol: ` Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, он является ромбом, но не обязательно квадратом.
Ответ: г)
` }, { text: `Определите наименьшее целое решение двойного неравенства $-2 \\lt \\dfrac{2x - 1}{3} \\leq 1$.`, sol: `Умножим все части на $3$: $-6 \\lt 2x-1 \\leq 3$. Прибавим $1$: $-5 \\lt 2x \\leq 4$. Разделим на $2$: $-2{,}5 \\lt x \\leq 2$. −3 −2 −1 0 1 2 −2,5 Наименьшее целое число, большее $-2{,}5$: это $-2$.
Ответ: $-2$
` }, { text: `В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ точка $O$ — пересечение диагоналей, $BC = 8$ см, $BO = 4$ см, $OD = 6$ см. Найдите среднюю линию трапеции.`, sol: `Свойство диагоналей трапеции: точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ в отношении, равном отношению оснований.
Формула средней линии трапеции: $m = \\dfrac{a+b}{2}$ — полусумма оснований.

Шаг 1. По свойству диагоналей: $$\\dfrac{BO}{OD} = \\dfrac{BC}{AD}$$ Шаг 2. Подставляем $BO=4$, $OD=6$, $BC=8$: $$\\dfrac{4}{6} = \\dfrac{8}{AD}$$ $$AD = \\dfrac{8\\cdot 6}{4} = 12\\text{ см}$$ A D C B O AD = 12 BC = 8 BO=4 OD=6 Шаг 3. По формуле средней линии трапеции: $$m = \\dfrac{BC+AD}{2} = \\dfrac{8+12}{2} = 10\\text{ см}$$
Ответ: $10$ см
` }, { text: `Упростите выражение $$\\dfrac{x + 2\\sqrt{xy} + y}{\\sqrt{x} + \\sqrt{y}} - \\dfrac{4x - y}{2\\sqrt{x} - \\sqrt{y}}.$$`, sol: `Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
Формула разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Идея: представляем $x$ как $(\\sqrt{x})^2$, чтобы использовать формулы сокращённого умножения и сократить дроби.

Шаг 1. Преобразуем первую дробь. Числитель — полный квадрат: $$x + 2\\sqrt{xy} + y = (\\sqrt{x})^2 + 2\\cdot\\sqrt{x}\\cdot\\sqrt{y} + (\\sqrt{y})^2 = (\\sqrt{x}+\\sqrt{y})^2$$ Сокращаем на $(\\sqrt{x}+\\sqrt{y})$: $$\\dfrac{(\\sqrt{x}+\\sqrt{y})^2}{\\sqrt{x}+\\sqrt{y}} = \\sqrt{x}+\\sqrt{y}$$ Шаг 2. Преобразуем вторую дробь. Числитель — разность квадратов: $$4x - y = (2\\sqrt{x})^2 - (\\sqrt{y})^2 = (2\\sqrt{x}-\\sqrt{y})(2\\sqrt{x}+\\sqrt{y})$$ Сокращаем на $(2\\sqrt{x}-\\sqrt{y})$: $$\\dfrac{(2\\sqrt{x}-\\sqrt{y})(2\\sqrt{x}+\\sqrt{y})}{2\\sqrt{x}-\\sqrt{y}} = 2\\sqrt{x}+\\sqrt{y}$$ Шаг 3. Вычисляем разность: $$(\\sqrt{x}+\\sqrt{y}) - (2\\sqrt{x}+\\sqrt{y}) = \\sqrt{x} + \\sqrt{y} - 2\\sqrt{x} - \\sqrt{y} = -\\sqrt{x}$$
Ответ: $-\\sqrt{x}$
` }, { text: `График функции $y = g(x)$ получен из графика функции $f(x) = x^2$ сдвигом на $2$ единицы вправо вдоль оси абсцисс и на $4$ единицы вниз вдоль оси ординат. Найдите нули функции $y = g(x)$.`, sol: `Правило сдвига графика функции:
• сдвиг на $a$ единиц вправо: $f(x) \\to f(x-a)$;
• сдвиг на $b$ единиц вниз: $f(x) \\to f(x)-b$.
Нули функции: значения $x$, при которых $g(x)=0$.

Шаг 1. Сдвинем график $f(x)=x^2$ на $2$ единицы вправо. По правилу: $$f_1(x) = (x-2)^2$$ Шаг 2. Затем сдвинем график вниз на $4$ единицы: $$g(x) = (x-2)^2 - 4$$ Шаг 3. Найдём нули, решая уравнение $g(x)=0$: $$(x-2)^2 - 4 = 0 \\implies (x-2)^2 = 4$$ Шаг 4. Извлекаем квадратный корень: $$x - 2 = \\pm 2$$ Значит, $x = 4$ или $x = 0$. xy 0 4 (2; −4) 2
Ответ: $x = 0$ и $x = 4$
` }, { text: `Решите уравнение $\\dfrac{7}{x^2 - x - 12} + \\dfrac{1}{x + 3} = -1$.`, sol: `Решение дробно-рациональных уравнений: ищем ОДЗ, умножаем на общий знаменатель, проверяем корни.
Теорема Виета (обратная): $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.

Шаг 1. Разложим знаменатель первой дроби. Сумма корней $1$, произведение $-12$. Подходят $4$ и $-3$: $$x^2-x-12 = (x-4)(x+3)$$ Шаг 2. ОДЗ: знаменатели не должны быть нулём: $$x\\neq 4,\\quad x\\neq -3$$ Шаг 3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-4)(x+3)$: $$7 + (x-4) = -(x-4)(x+3)$$ Шаг 4. Упрощаем: $$x+3 = -(x^2-x-12) = -x^2+x+12$$ $$x^2 - 9 = 0$$ Шаг 5. По формуле разности квадратов: $(x-3)(x+3)=0 \\Rightarrow x=3$ или $x=-3$.
Шаг 6. Проверка ОДЗ: $x=-3$ исключён. Проверяем $x=3$: $$\\dfrac{7}{9-3-12}+\\dfrac{1}{6} = \\dfrac{7}{-6}+\\dfrac{1}{6} = -1 \\checkmark$$
Ответ: $x = 3$
` }, { text: `Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится $4$ и в остатке $3$. Если это же двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится $3$ и в остатке $5$. Найдите это двузначное число.`, sol: `Запись двузначного числа: $10a+b$, где $a$ — цифра десятков ($1\\leq a\\leq 9$), $b$ — цифра единиц ($0\\leq b\\leq 9$).
Теорема о делении с остатком: если $N$ при делении на $d$ даёт частное $q$ и остаток $r$, то $N = d\\cdot q + r$, $0\\leq r\\lt d$.
Формула корней квадратного уравнения: $x=\\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$, $D=b^2-4ac$.

Шаг 1. Обозначим за $10a+b$ искомое двузначное число.
Шаг 2. Первое условие: при делении на $a+b$ получили частное $4$ и остаток $3$: $$10a + b = 4(a+b) + 3$$ $$10a + b = 4a + 4b + 3$$ $$6a - 3b = 3$$ $$b = 2a - 1 \\quad (*)$$ Шаг 3. Второе условие: при делении на $ab$ получили частное $3$ и остаток $5$: $$10a + b = 3ab + 5$$ Шаг 4. Подставим $(*)$ во второе условие: $$10a + (2a-1) = 3a(2a-1) + 5$$ $$12a - 1 = 6a^2 - 3a + 5$$ $$6a^2 - 15a + 6 = 0$$ Делим на $3$: $$2a^2 - 5a + 2 = 0$$ Шаг 5. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $D = 25 - 16 = 9 = 3^2$. $$a = \\dfrac{5\\pm 3}{4} \\implies a = 2 \\text{ или } a = \\dfrac{1}{2}$$ Цифра должна быть целой, значит $a = 2$.
Шаг 6. Из $(*)$: $b = 2\\cdot 2 - 1 = 3$. Число $= 23$.
Проверка:
• сумма цифр $= 5$; $23:5 = 4$ (ост. $3$): $4\\cdot 5+3=23$ ✓;
• произведение цифр $= 6$; $23:6 = 3$ (ост. $5$): $3\\cdot 6+5=23$ ✓.
Ответ: $23$
` }, { text: `Внутри параллелограмма $ABCD$ взята точка $K$, такая, что $S_{BKC} = 12$ см², $S_{AKD} = 20$ см². Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.`, figure: ` A B C D K 20 см² 12 см² `, sol: `Свойство точки внутри параллелограмма: для любой точки $K$ внутри параллелограмма $ABCD$ сумма площадей двух треугольников, опирающихся на противоположные стороны, равна половине площади параллелограмма: $$S_{\\triangle BKC} + S_{\\triangle AKD} = \\dfrac{S_{ABCD}}{2}$$
(Доказательство: $BC$ и $AD$ — противоположные стороны параллелограмма, $BC=AD=a$. Расстояния от $K$ до этих параллельных сторон $h_1$ и $h_2$ в сумме дают высоту параллелограмма $H$. Поэтому $S_{\\triangle BKC}+S_{\\triangle AKD}=\\tfrac{1}{2}a(h_1+h_2)=\\tfrac{1}{2}aH=\\tfrac{1}{2}S_{ABCD}$.)

Шаг 1. По свойству, доказанному выше: $$\\dfrac{S_{ABCD}}{2} = S_{\\triangle BKC}+S_{\\triangle AKD}$$ Шаг 2. Подставляем известные площади: $$\\dfrac{S_{ABCD}}{2} = 12 + 20 = 32$$ Шаг 3. Умножаем обе части на 2: $$S_{ABCD} = 64\\text{ см}^2$$
Ответ: $64$ см²
` }, ] };