VARIANTS[59] = { label: "Вариант 59", tasks: [ { text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = (x-2)^2$:`, figure: ``, sol: `Анализ функции $y=(x-2)^2$:
Это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ вправо на $2$ единицы.
Нужно выбрать рисунок, на котором парабола имеет вершину в $(2;\\,0)$ и проходит через $(0;\\,4)$.
Ответ: парабола с вершиной $(2;\\,0)$, ветви вверх.
` }, { text: `Результат деления многочлена $8m^2 - 16m^3$ на одночлен $2m$ имеет вид:`, opts: [ ["а", "$16m^3 - 32m^4$"], ["б", "$4m^2 - 8m^3$"], ["в", "$4m - 8m^3$"], ["г", "$4m - 8m^2$"], ["д", "$-4m^2$"], ], sol: `Делим каждый член многочлена на одночлен $2m$:
$\\dfrac{8m^2-16m^3}{2m} = \\dfrac{8m^2}{2m} - \\dfrac{16m^3}{2m} = 4m - 8m^2.$
Ответ: г) $4m - 8m^2$.
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "диагонали квадрата равны;"], ["б", "периметр прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равен $P = 2(a+b)$;"], ["в", "вписанный угол в $2$ раза меньше соответствующего центрального угла;"], ["г", "$\\sin 45^{\\circ} = 1$?"], ], sol: `Проверим утверждения:
Ответ: г).
` }, { text: `Найдите значение выражения $15^0 + \\sqrt{16} - \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{-1} - \\sqrt{\\dfrac{1}{9}}$.`, sol: `Вычислим каждое слагаемое:
$15^0 = 1;\\quad \\sqrt{16}=4;\\quad \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{-1}=3;\\quad \\sqrt{\\dfrac{1}{9}}=\\dfrac{1}{3}.$
Подставим:
$1 + 4 - 3 - \\dfrac{1}{3} = 2 - \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{6-1}{3} = \\dfrac{5}{3}.$
Ответ: $\\dfrac{5}{3} \\approx 1{,}667$.
` }, { text: `Найдите сумму целых решений неравенства $-3 < -2x + 5 \\leq 9$.`, sol: `Правило: при делении (или умножении) неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Шаг 1. Выписываем неравенство. $$-3 \\lt -2x + 5 \\leq 9.$$ Шаг 2. Вычитаем $5$ из всех частей. $$-3 - 5 \\lt -2x \\leq 9 - 5,$$ $$-8 \\lt -2x \\leq 4.$$ Шаг 3. Делим все части на $-2$.
Делим на отрицательное число, поэтому оба знака меняются: $$\\dfrac{-8}{-2} \\gt x \\geq \\dfrac{4}{-2},$$ $$4 \\gt x \\geq -2 \\iff -2 \\leq x \\lt 4.$$ Шаг 4. Выписываем целые решения. $$-2,\\; -1,\\; 0,\\; 1,\\; 2,\\; 3.$$ Шаг 5. Находим сумму. $$-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 3.$$
Ответ: $3$.
` }, { text: `Дан правильный многоугольник со стороной, равной $4$ см. Сумма всех его внутренних углов равна $1800^{\\circ}$. Найдите периметр этого многоугольника.`, sol: `Формула суммы внутренних углов выпуклого $n$-угольника: $$S_{\\text{углов}} = (n - 2) \\cdot 180^{\\circ}.$$ Свойство правильного многоугольника: все стороны равны.
Шаг 1. Находим число сторон $n$.
По условию сумма углов равна $1800^{\\circ}$, поэтому $$(n - 2) \\cdot 180^{\\circ} = 1800^{\\circ} \\implies n - 2 = 10 \\implies n = 12.$$ Шаг 2. Находим периметр.
Так как многоугольник правильный, все стороны равны $4$ см, значит $$P = n \\cdot a = 12 \\cdot 4 = 48\\text{ см}.$$
Ответ: $48$ см.
` }, { text: `Найдите среднее арифметическое абсцисс точек пересечения графиков функций, заданных формулами $y = 12 - x - 2x^2$ и $y = 3x^2 - 5x + 3$.`, sol: `Теорема Виета: для уравнения $ax^2+bx+c=0$ сумма корней равна $-\\dfrac{b}{a}$.
Шаг 1. В точках пересечения значения функций равны, поэтому приравниваем правые части: $$12 - x - 2x^2 = 3x^2 - 5x + 3.$$ Шаг 2. Переносим всё в одну сторону и приводим подобные: $$3x^2 - 5x + 3 - 12 + x + 2x^2 = 0 \\implies 5x^2 - 4x - 9 = 0.$$ Шаг 3. Не решая уравнение, по теореме Виета находим сумму корней: $$x_1 + x_2 = -\\dfrac{-4}{5} = \\dfrac{4}{5}.$$ Шаг 4. Среднее арифметическое — это полусумма: $$\\dfrac{x_1+x_2}{2} = \\dfrac{4/5}{2} = \\dfrac{2}{5} = 0{,}4.$$
Ответ: $0{,}4$.
` }, { text: `Смешали $30$-процентный раствор соляной кислоты с $10$-процентным и получили $600$ г $15$-процентного раствора соляной кислоты. Сколько граммов каждого раствора было взято?`, sol: `Пусть $x$ г — масса $30\\%$ раствора, $y$ г — масса $10\\%$ раствора.
По условию массы суммируются: $x + y = 600.$
Масса чистой кислоты: $0{,}3x + 0{,}1y = 0{,}15 \\cdot 600 = 90.$
Получим систему:
$\\begin{cases} x+y=600,\\\\ 3x+y=900. \\end{cases}$
Вычтем из второго первое: $2x = 300 \\implies x = 150$ г.
Тогда $y = 600 - 150 = 450$ г.
Проверка: $0{,}3\\cdot 150 + 0{,}1\\cdot 450 = 45+45 = 90$ г кислоты. Верно.
Ответ: $150$ г ($30\\%$) и $450$ г ($10\\%$).
` }, { text: `Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два треугольника, площади которых равны $4$ см² и $16$ см². Найдите гипотенузу.`, sol: ` A B C H 2 8 h=4
Пусть $CH=h$ — высота из прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, причём $AH=a$ (меньший отрезок), $HB=b$ (больший отрезок).
Площади полученных треугольников:
$S_1 = \\dfrac{1}{2}\\cdot a \\cdot h = 4,\\quad S_2 = \\dfrac{1}{2}\\cdot b \\cdot h = 16.$
Разделив, получим $\\dfrac{a}{b}=\\dfrac{4}{16}=\\dfrac{1}{4} \\implies b=4a.$
По свойству высоты прямоугольного треугольника к гипотенузе: $h^2 = a\\cdot b = a\\cdot 4a = 4a^2 \\implies h = 2a.$
Подставим в $S_1$: $\\dfrac{1}{2}\\cdot a \\cdot 2a = a^2 = 4 \\implies a = 2$ см.
Тогда $b = 4\\cdot 2 = 8$ см, $h = 4$ см.
Гипотенуза: $AB = a + b = 2 + 8 = 10$ см.
Ответ: $10$ см.
` }, { text: `Упростите выражение $\\sqrt{x + 2\\sqrt{x-1}} + \\sqrt{x - 2\\sqrt{x-1}}$ при $1 \\leq x \\leq 2$.`, sol: `Метод выделения полного квадрата и формула $\\sqrt{a^2}=|a|$.
Шаг 1. Представим $x$ удобным образом: $x = (x-1) + 1$. Тогда первое подкоренное: $$x + 2\\sqrt{x-1} = (x-1) + 2\\sqrt{x-1} + 1 = \\left(\\sqrt{x-1}+1\\right)^2$$ по формуле квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ (здесь $a=\\sqrt{x-1}$, $b=1$).
Шаг 2. Аналогично для второго: $$x - 2\\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\\sqrt{x-1} + 1 = \\left(\\sqrt{x-1}-1\\right)^2.$$ Шаг 3. Извлекаем корни, помня что $\\sqrt{a^2}=|a|$: $$\\sqrt{x+2\\sqrt{x-1}} = \\left|\\sqrt{x-1}+1\\right| = \\sqrt{x-1}+1,$$ так как $\\sqrt{x-1}+1 \\geq 0$ (модуль не нужен).
$$\\sqrt{x-2\\sqrt{x-1}} = \\left|\\sqrt{x-1}-1\\right|.$$ Шаг 4. Раскрываем второй модуль. По условию $1 \\leq x \\leq 2$, значит $\\sqrt{x-1} \\in [0;\\,1]$, поэтому $\\sqrt{x-1}-1 \\leq 0$, и $$\\left|\\sqrt{x-1}-1\\right| = 1-\\sqrt{x-1}.$$ Шаг 5. Складываем: $$\\left(\\sqrt{x-1}+1\\right) + \\left(1-\\sqrt{x-1}\\right) = 2.$$
Ответ: $2$.
` }, ] };