`
},
{
text: `Найдите сумму натуральных значений переменной из области определения
выражения $\\sqrt{-2x+6}$.`,
sol: `Условие существования квадратного корня: $\\sqrt{f(x)}$ определён только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $f(x) \\geq 0$.
Шаг 1. Запишем условие для нашего выражения $\\sqrt{-2x+6}$:
$$-2x + 6 \\geq 0.$$
Шаг 2. Решим неравенство. Перенесём $-2x$ в правую часть:
$$6 \\geq 2x,$$
а затем разделим обе части на $2$ (положительное число — знак не меняется):
$$x \\leq 3.$$
Шаг 3. Выберем натуральные числа из найденной области. Натуральные числа — это $1,\\;2,\\;3,\\;4,\\ldots$ Из них условию $x \\leq 3$ удовлетворяют: $1,\\;2,\\;3$.
Шаг 4. Найдём их сумму:
$$1 + 2 + 3 = 6.$$
Ответ: $6$
`
},
{
text: `Найдите шестой член арифметической прогрессии, если её третий член равен $9$,
а разность прогрессии равна $-2$.`,
sol: `Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Из неё легко получить связь любых двух членов: $a_n = a_k + (n-k)d$, так как от $k$-го члена до $n$-го нужно прибавить разность $d$ ровно $(n-k)$ раз.
Шаг 1. По условию $a_3 = 9$, $d = -2$. Найдём $a_6$, прибавив разность $d$ три раза (от 3-го к 6-му члену):
$$a_6 = a_3 + (6-3)\\cdot d = a_3 + 3d.$$
Шаг 2. Подставим значения:
$$a_6 = 9 + 3\\cdot(-2) = 9 - 6 = 3.$$
Ответ: $3$
`
},
{
text: `В параллелограмм с диагоналями, равными $6$ см и $8$ см, вписана окружность.
Найдите радиус этой окружности.`,
sol: `
Параллелограмм с вписанной окружностью является ромбом (суммы противоположных сторон равны, что в параллелограмме означает равенство всех сторон).
Полудиагонали ромба: $d_1/2 = 3$ см, $d_2/2 = 4$ см. Сторона ромба:
`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$-\\dfrac{9}{5} : \\left(\\dfrac{16}{25} - 1\\right) - 0{,}025 : 0{,}01 + \\dfrac{1}{3} \\cdot (-6) - 4 : \\dfrac{2}{5}$.
В ответ запишите число, обратное ему.`,
sol: `Порядок действий: сначала выполняем действия в скобках, затем умножение и деление, в конце — сложение и вычитание (слева направо).
Правило деления дробей: $\\dfrac{a}{b}:\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{d}{c}$.
Обратное число к ненулевому числу $a$ — это число $\\dfrac{1}{a}$. У дроби $\\dfrac{p}{q}$ обратное равно $\\dfrac{q}{p}$.
Шаг 1. Вычислим выражение в скобках, приведя $1$ к знаменателю $25$:
$$\\dfrac{16}{25} - 1 = \\dfrac{16-25}{25} = -\\dfrac{9}{25}.$$
Шаг 2. Выполним первое деление, заменив деление умножением на обратную дробь:
$$-\\dfrac{9}{5} : \\left(-\\dfrac{9}{25}\\right) = -\\dfrac{9}{5}\\cdot\\left(-\\dfrac{25}{9}\\right) = \\dfrac{9\\cdot 25}{5\\cdot 9} = 5.$$
Шаг 3. Выполним второе деление десятичных дробей:
$$0{,}025 : 0{,}01 = \\dfrac{0{,}025}{0{,}01} = 2{,}5.$$
Шаг 4. Вычислим оставшиеся произведение и частное:
$$\\dfrac{1}{3}\\cdot(-6) = -2,\\qquad 4:\\dfrac{2}{5} = 4\\cdot\\dfrac{5}{2} = 10.$$
Шаг 5. Соберём всё вместе:
$$5 - 2{,}5 + (-2) - 10 = 5 - 2{,}5 - 2 - 10 = -9{,}5 = -\\dfrac{19}{2}.$$
Шаг 6. Запишем число, обратное полученному: у дроби $-\\dfrac{19}{2}$ обратная равна $-\\dfrac{2}{19}$.
Ответ: $-\\dfrac{2}{19}$
`
},
{
text: `Первую половину пути в $20$ км пешеход преодолел со скоростью на $10\\%$ меньше планируемой,
а вторую половину пути — со скоростью на $10\\%$ больше, чем планировал.
Как изменится время его движения по сравнению с планируемым?`,
sol: `
Пусть плановая скорость равна $v$. Половина пути — $10$ км.
Фактическое время увеличится примерно на $\\dfrac{1}{99} \\approx 1\\%$ от планируемого.
Ответ: время увеличится (на $\\dfrac{1}{99}$ часть от планируемого, примерно на $1\\%$)
`
},
{
text: `В треугольник $ABC$ вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне $AC$,
две другие — на сторонах $AB$ и $BC$.
Найдите площадь квадрата, если $AC = 30$ см, высота треугольника $BH = 20$ см.`,
sol: `
Пусть сторона квадрата равна $a$. Квадрат расположен основанием на $AC$.
На высоте $a$ от $AC$ ширина треугольника (по подобию) равна: