`
},
{
text: `Второй член арифметической прогрессии $(a_n)$,
у которой $d = 2$ и $a_1 = \\dfrac{1}{2}$, равен:`,
opts: [
["а", "$1$"], ["б", "$1\\dfrac{1}{2}$"], ["в", "$2\\dfrac{1}{2}$"],
["г", "$2$"], ["д", "$-1\\dfrac{1}{2}$"],
],
sol: `$$a_2 = a_1 + d = \\dfrac{1}{2} + 2 = \\dfrac{5}{2} = 2\\dfrac{1}{2}$$
Ответ: в) $2\\dfrac{1}{2}$
`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\\circ}$;"],
["б", "диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам;"],
["в", "любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов отрезка;"],
["г", "если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого, то такие треугольники равны?"],
],
sol: `
`
},
{
text: `Высоты параллелограмма, проведённые из вершины тупого угла, равны $6$ см и $9$ см.
Периметр параллелограмма равен $40$ см. Найдите площадь параллелограмма.`,
figure: ``,
sol: `Пусть стороны параллелограмма $a$ и $b$. Высоты из вершины тупого угла перпендикулярны к смежным сторонам: $h_a=6$ (к стороне $a$) и $h_b=9$ (к стороне $b$).
Площадь одна и та же: $S = a\\cdot h_a = b\\cdot h_b$, значит:
$$6a = 9b \\implies \\frac{a}{b} = \\frac{3}{2}$$
Периметр: $2(a+b)=40 \\Rightarrow a+b=20$.
С учётом $a=3k,\\ b=2k$: $5k=20 \\Rightarrow k=4$, т.е. $a=12$, $b=8$.
$$S = a\\cdot h_a = 12\\cdot 6 = 72\\text{ см}^2$$
Ответ: $72$ см²
`
},
{
text: `При каких натуральных значениях $n$ верно неравенство
$4{,}8(n - 4) - 3{,}7(2 - n) < 24{,}4$?`,
sol: `Свойства линейных неравенств: можно прибавлять одинаковое число к обеим частям и умножать/делить на положительное число, не меняя знак неравенства.
Натуральные числа: $1, 2, 3, \\ldots$ — положительные целые.
`
},
{
text: `Известно, что график функции $y = f(x)$ симметричен относительно оси ординат
и $f(-3) = 5$, $f(2) = -6$.
Найдите значение выражения $f(3) + 2f(-2)$.`,
sol: `Признак чётной функции: график функции симметричен относительно оси ординат тогда и только тогда, когда функция чётная.
Свойство чётной функции: $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.
Шаг 1. По признаку чётной функции из симметрии графика относительно оси $Oy$ следует:
$$f(-x) = f(x)$$
Шаг 2. Применяем это свойство, чтобы выразить нужные значения через известные.
Так как $f(3) = f(-3)$, то по условию:
$$f(3) = f(-3) = 5$$
Шаг 3. Аналогично для $f(-2)$:
$$f(-2) = f(2) = -6$$
Шаг 4. Подставляем найденные значения в выражение:
$$f(3) + 2f(-2) = 5 + 2\\cdot(-6) = 5 - 12 = -7$$
Ответ: $-7$
`
},
{
text: `Определите число решений системы уравнений
$$\\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\\\[4pt] y = -x^2 + 4. \\end{cases}$$
Ответ обоснуйте.`,
sol: `Метод подстановки: подставляем выражение для $y$ из одного уравнения в другое.
Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
Геометрический смысл: первое уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $4$; второе — параболу с вершиной $(0;4)$, ветви вниз.
Шаг 1. Из второго уравнения возьмём выражение $y=-x^2+4$ и подставим в первое:
$$x^2+(-x^2+4)^2=16$$
Шаг 2. Раскрываем квадрат:
$$x^2+x^4-8x^2+16=16$$
Шаг 3. Приводим подобные и упрощаем:
$$x^4-7x^2=0$$
$$x^2(x^2-7)=0$$
Шаг 4. Произведение равно нулю, когда один из множителей нуль:
$x^2=0 \\Rightarrow x=0$
$x^2-7=0 \\Rightarrow x=\\pm\\sqrt{7}$
Получили три значения $x$. Поскольку $y$ однозначно определяется как $y=-x^2+4$, каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$:
$x=0$:
$y=4$
— точка $(0,4)$
$x=\\pm\\sqrt{7}$:
$y=-3$
— точки $(\\pm\\sqrt{7},\\,-3)$
Шаг 5. Итого — три решения системы:
Ответ: 3 решения
`
},
{
text: `К раствору, содержащему $30$ г соли, добавили $100$ г воды,
после чего концентрация соли уменьшилась на $5\\%$.
Найдите первоначальную процентную концентрацию соли в растворе.`,
sol: `Пусть $m$ — начальная масса раствора. Соли — $30$ г, она не меняется.
`
},
{
text: `Найдите площадь сектора круга, угол которого равен $30^{\\circ}$,
а длина дуги — $4$ см. Ответ округлите до целых см², взяв $\\pi \\approx 3{,}14$.`,
sol: `Формула длины дуги: $l = \\dfrac{\\pi r\\alpha°}{180°}$, где $\\alpha°$ — центральный угол сектора в градусах.
Формула площади сектора через длину дуги: $S = \\dfrac{l\\cdot r}{2}$.
Шаг 1. По формуле длины дуги при $l=4$ и $\\alpha=30°$ найдём радиус:
$$4 = \\dfrac{\\pi r\\cdot 30}{180} = \\dfrac{\\pi r}{6}$$
Отсюда:
$$r = \\dfrac{24}{\\pi}$$
Шаг 2. Подставляем найденный радиус в формулу площади сектора:
$$S = \\dfrac{l\\cdot r}{2} = \\dfrac{4\\cdot\\dfrac{24}{\\pi}}{2} = \\dfrac{48}{\\pi}$$
Шаг 3. Подставляем $\\pi\\approx 3{,}14$ и округляем:
$$S \\approx \\dfrac{48}{3{,}14} \\approx 15{,}3 \\approx 15\\text{ см}^2$$