`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна $ab$;"],
["б", "сумма всех углов трапеции равна $360^{\\circ}$;"],
["в", "косинусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе;"],
["г", "биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является и высотой?"],
],
sol: `
а) Площадь прямоугольника $= ab$ — верно
б) Сумма углов трапеции $= 360°$ — верно
в) НЕВЕРНО: $\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$, а не противолежащий
г) Биссектриса к основанию равнобедренного $\\triangle$ — также высота — верно
В утверждении в) описан синус: $\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.
`
},
{
text: `Для квадратичной функции $y = -x^2 + 2x$ найдите значения аргумента,
при которых значение функции равно $-3$.`,
sol: `Чтобы найти аргумент по значению функции, приравниваем формулу функции к этому значению и решаем уравнение.
Теорема Виета (обратная): $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
Шаг 1. По условию $y=-3$. Приравняем формулу функции к $-3$:
$$-x^2+2x = -3$$
Шаг 2. Перенесём всё в одну часть, поменяв знаки:
$$x^2-2x-3 = 0$$
Шаг 3. По теореме Виета: $x_1+x_2=2$, $x_1\\cdot x_2=-3$. Подходят $3$ и $-1$:
$$(x-3)(x+1)=0 \\implies x=3 \\text{ или } x=-1$$
Ответ: $x = -1$ и $x = 3$
`
},
{
text: `Треугольник $ABC$ — прямоугольный ($\\angle C = 90^{\\circ}$), $BC = 6$ см,
проекция катета $AC$ на гипотенузу равна $5$ см.
Найдите длину гипотенузы треугольника $ABC$.`,
sol: `Свойство проекций катетов на гипотенузу (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике): если $CH$ — высота, проведённая из прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$, то
$$AC^2 = AH\\cdot AB,\\qquad BC^2 = BH\\cdot AB$$
где $AH$ и $BH$ — проекции катетов $AC$ и $BC$ на гипотенузу.
Опустим высоту $CH$ из прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$.
Шаг 1. Проекция катета $AC$ на гипотенузу — это $AH$, по условию $AH=5$ см.
Шаг 2. Из соотношения $BC^2 = BH\\cdot AB$ выразим $BH$ через $AB$:
$$BH = \\dfrac{BC^2}{AB} = \\dfrac{36}{AB}$$
Шаг 3. Так как $H$ лежит между $A$ и $B$, то $AH + BH = AB$:
$$5 + \\dfrac{36}{AB} = AB$$
Шаг 4. Умножим обе части на $AB$ (так как $AB\\gt 0$):
$$AB^2 - 5\\cdot AB - 36 = 0$$
Шаг 5. По теореме Виета: сумма корней $=5$, произведение $=-36$. Подходят $9$ и $-4$:
$$(AB-9)(AB+4) = 0$$
Так как $AB\\gt 0$, выбираем $AB=9$ см.
Ответ: $9$ см
`
},
{
text: `Решите систему уравнений
$$\\begin{cases} x - 3y = 4, \\\\[4pt] xy - 7y = 6. \\end{cases}$$`,
sol: `Метод подстановки: выражаем одну переменную из одного уравнения и подставляем в другое.
Теорема Виета (обратная): $y^2+py+q=(y-y_1)(y-y_2)$, где $y_1+y_2=-p$, $y_1\\cdot y_2=q$.
Шаг 1. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$$x = 4 + 3y$$
Шаг 2. Подставим $x$ во второе уравнение:
$$(4+3y)y - 7y = 6$$
$$4y + 3y^2 - 7y = 6$$
$$3y^2 - 3y - 6 = 0$$
Шаг 3. Разделим обе части на $3$:
$$y^2 - y - 2 = 0$$
Шаг 4. По теореме Виета: $y_1+y_2=1$, $y_1\\cdot y_2=-2$. Подходят $2$ и $-1$:
$$(y-2)(y+1)=0 \\implies y=2 \\text{ или } y=-1$$
Шаг 5. Для каждого $y$ находим $x$ по формуле $x=4+3y$:
`
},
{
text: `Для перевозки $140$ т груза фирма рассматривала модели грузовых автомобилей МАЗ-5551.
После изучения условий аренды было решено использовать грузовой автомобиль
грузоподъёмностью на $3$ т меньше. В результате для перевозки груза
понадобилось сделать на $6$ рейсов больше, чем планировалось.
Найдите грузоподъёмность машины, на которой перевезли груз.`,
sol: `Пусть первоначальная грузоподъёмность $= p$ т. Число плановых рейсов $= \\dfrac{140}{p}$.
Новая грузоподъёмность $= p-3$ т. Число фактических рейсов $= \\dfrac{140}{p-3}$.
Условие — на $6$ рейсов больше:
$$\\frac{140}{p-3} - \\frac{140}{p} = 6$$
$$140\\cdot\\frac{p-(p-3)}{p(p-3)} = 6 \\implies \\frac{420}{p(p-3)} = 6$$
$$p(p-3) = 70 \\implies p^2-3p-70 = 0 \\implies (p-10)(p+7) = 0$$
$p=10$ (т.к. $p \\gt 3$). Грузоподъёмность использованной машины: $p-3 = 7$ т.
Ответ: $7$ т
`
},
{
text: `Определите количество целых решений неравенства
$$\\dfrac{(-x^2 - 4x + 5)\\,x^2}{x^2 - 2x - 3} \\geq 0.$$`,
sol: `Шаг 1 — разложим на множители.
$$-x^2-4x+5 = -(x^2+4x-5) = -(x+5)(x-1)$$
$$x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$$
Выражение: $\\dfrac{-x^2(x+5)(x-1)}{(x-3)(x+1)}$. ОДЗ: $x\\neq 3$, $x\\neq -1$.
Шаг 2 — перепишем условие.
$$\\frac{-x^2(x+5)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\geq 0 \\iff \\frac{x^2(x+5)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\leq 0$$
Шаг 3 — знаковый анализ.
При $x=0$ или $x=1$: выражение $=0$ ✓.
При $x\\neq 0,\\,1$: $x^2 \\gt 0$, нужно $\\dfrac{(x+5)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\leq 0$.
Критические точки: $x=-5$, $x=-1$ (искл.), $x=1$, $x=3$ (искл.).
Методом интервалов (числитель меняет знак в $-5$ и $1$; знаменатель в $-1$ и $3$):
Решение: $-5 \\leq x \\lt -1$, или $x=0$, или $1 \\leq x \\lt 3$.
Целые числа: $x=-5,\\,-4,\\,-3,\\,-2$ и $x=0$ и $x=1,\\,2$ — итого 7.
Ответ: $7$
`
},
{
text: `В прямоугольную трапецию с основаниями $6$ и $12$ вписана окружность.
Найдите площадь трапеции.`,
sol: `Пусть $a=12$ (большее основание), $b=6$ (меньшее), $h$ — высота, $r$ — радиус вписанной окружности.
Шаг 1. Высота равна диаметру вписанной окружности: $h = 2r$.
Шаг 2. Из свойства вписанной окружности в трапецию ($a+b = h+AD$):
$$12+6 = 2r+AD \\implies AD = 18-2r$$
Шаг 3. Теорема Пифагора (наклонная боковая $AD$, разность оснований $a-b=6$):
$$(18-2r)^2 = (2r)^2+6^2$$
$$324-72r+4r^2 = 4r^2+36$$
$$72r = 288 \\implies r = 4\\text{ см}$$
Шаг 4. Высота: $h = 2r = 8$ см.
Шаг 5. Площадь:
$$S = \\dfrac{a+b}{2}\\cdot h = \\dfrac{12+6}{2}\\cdot 8 = 9\\cdot 8 = 72\\text{ см}^2$$