VARIANTS[15] = { label: "Вариант 15", tasks: [ { text: `Определите, какое из следующих множеств может быть областью определения чётной функции:`, opts: [ ["а", "$(-7;\\ 7]$"], ["б", "$[-9;\\ {-1}) \\cup (-1;\\ 9]$"], ["в", "$[-10;\\ 10]$"], ["г", "$[-8;\\ {-1}) \\cup (-1;\\ 1) \\cup (1;\\ 8]$"], ["д", "$[-11;\\ 11]$"], ], sol: `Область определения чётной функции должна быть симметрична относительно нуля: если $x$ входит, то и $-x$ входит.
Ответ: в), г) и д) — все три симметричны; наиболее простой пример: в)
` }, { text: `Запись числового выражения $3^4 : 3^3 \\cdot 3^5$ в виде степени с основанием $3$ имеет вид:`, opts: [ ["а", "$3^{12}$"], ["б", "$3^{-4}$"], ["в", "$3^6$"], ["г", "$3^2$"], ["д", "$3^5$"], ], sol: `Деление — вычитаем показатели, умножение — складываем: $$3^4 : 3^3 \\cdot 3^5 = 3^{4-3} \\cdot 3^5 = 3^1 \\cdot 3^5 = 3^{1+5} = 3^6$$
Ответ: в) $3^6$
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины;"], ["б", "$\\cos 120^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"], ["в", "диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен его стороне;"], ["г", "биссектриса любого угла делит этот угол на два равных угла?"], ], sol: `
Ответ: б)
` }, { text: `Найдите третий член последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 + 6n + 1$.`, sol: `$$a_3 = 3^2 + 6\\cdot 3 + 1 = 9 + 18 + 1 = 28$$
Ответ: $28$
` }, { text: `Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $P$ — точка пересечения диагоналей, $\\angle ADB = 72^{\\circ}$, $\\angle CBD = 64^{\\circ}$. Найдите $\\angle APB$.`, sol: `Теорема о вписанных углах: вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. P A B C D 72° 64° $\\angle ADB = 72°$ — вписанный угол, опирается на дугу $AB$: $$\\overset{\\frown}{AB} = 2\\cdot72° = 144°$$ $\\angle CBD = 64°$ — вписанный угол, опирается на дугу $CD$: $$\\overset{\\frown}{CD} = 2\\cdot64° = 128°$$ Угол между хордами равен полусумме перехваченных дуг: $$\\angle APB = \\frac{\\overset{\\frown}{AB} + \\overset{\\frown}{CD}}{2} = \\frac{144° + 128°}{2} = \\frac{272°}{2} = 136°$$
Ответ: $136°$
` }, { text: `Упростите выражение $|x - 3| + |x + 2| - 3$, если $x \\in (-2;\\ 0]$.`, sol: `Определение модуля: $|A| = A$, если $A\\geq 0$, и $|A| = -A$, если $A\\lt 0$.
Идея: чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак подмодульного выражения на заданном промежутке.

Шаг 1. Определим знак $x-3$ при $x\\in(-2;\\,0]$.
Так как $x\\leq 0$, то $x-3\\leq 0-3=-3\\lt 0$. Значит, $x-3\\lt 0$, и по определению модуля: $$|x-3| = -(x-3) = 3-x$$ Шаг 2. Определим знак $x+2$ при $x\\in(-2;\\,0]$.
Так как $x\\gt -2$ (по условию), то $x+2\\gt 0$. По определению модуля: $$|x+2| = x+2$$ Шаг 3. Подставляем раскрытые модули в исходное выражение: $$|x-3| + |x+2| - 3 = (3-x) + (x+2) - 3$$ Шаг 4. Приводим подобные слагаемые: $$3 - x + x + 2 - 3 = (3 + 2 - 3) + (-x + x) = 2$$ Выражение оказалось постоянным на всём данном промежутке.
Ответ: $2$ (константа на всём промежутке)
` }, { text: `Найдите все значения переменной, при которых значение выражения $\\dfrac{x + 3}{x + 2} - \\dfrac{2x}{x^2 - 4}$ равно нулю.`, sol: `Решение дробно-рациональных уравнений: 1) находим ОДЗ; 2) умножаем обе части на общий знаменатель; 3) решаем полученное уравнение; 4) проверяем корни на принадлежность ОДЗ.
Формула разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Теорема Виета (обратная): $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.

Шаг 1. Запишем уравнение: $$\\dfrac{x+3}{x+2} - \\dfrac{2x}{x^2-4} = 0$$ Шаг 2. Разложим знаменатель $x^2-4$ по формуле разности квадратов: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Это и есть общий знаменатель.
ОДЗ: $x\\neq 2$ и $x\\neq -2$.
Шаг 3. Умножим обе части на $(x-2)(x+2)$: $$(x+3)(x-2) - 2x = 0$$ Шаг 4. Раскрываем скобки: $$x^2 + 3x - 2x - 6 - 2x = 0$$ $$x^2 - x - 6 = 0$$ Шаг 5. По теореме Виета: $x_1+x_2=1$, $x_1\\cdot x_2=-6$. Подходят $3$ и $-2$: $$(x-3)(x+2) = 0 \\implies x = 3 \\text{ или } x = -2$$ Шаг 6. Проверяем ОДЗ: $x=-2$ не входит (отбрасываем). Остаётся $x=3$.
Проверка $x=3$: $$\\dfrac{3+3}{3+2} - \\dfrac{2\\cdot 3}{9-4} = \\dfrac{6}{5} - \\dfrac{6}{5} = 0 \\checkmark$$
Ответ: $x=3$
` }, { text: `Если двузначное число разделить на сумму его цифр, в частном получим $7$, а в остатке — $6$. Если число, составленное из тех же цифр в обратном порядке, разделить на произведение цифр, то в частном получим $1$, а в остатке — $14$. Найдите это число.`, sol: `Пусть число $=10a+b$.
Условие 1: $10a+b = 7(a+b)+6 \\Rightarrow 3a=6b+6 \\Rightarrow a=2b+2$
Условие 2: $10b+a = 1\\cdot ab+14$ (остаток $< $ делителя: $14 < ab$).
Подставим $a=2b+2$: $$10b+(2b+2) = (2b+2)b+14$$ $$12b+2 = 2b^2+2b+14$$ $$2b^2-10b+12=0 \\implies b^2-5b+6=0 \\implies (b-2)(b-3)=0$$ $b=2$: $a=6$, число $62$. Проверим условие 2: $26\\div 12 = 2$ ост. $2\\neq 14$ ✗ (остаток должен быть $<$ делителя, $14>12$, значит $b=2$ не подходит).
$b=3$: $a=8$, число $83$.
Проверка: $83\\div 11=7$ ост. $6$ ✓; $38\\div 24=1$ ост. $14$ ✓ ($14<24$ ✓)
Ответ: $83$
` }, { text: `Найдите разность наибольшего и наименьшего целых решений двойного неравенства $16 - 6x < x^2 \\leq 24 - 10x$.`, sol: `Двойное неравенство $A \\lt B \\leq C$ равносильно системе $\\{A\\lt B,\\; B\\leq C\\}$, поэтому решаем каждую часть отдельно и находим пересечение.
Метод интервалов для квадратного неравенства: раскладываем трёхчлен на множители и определяем знак на интервалах.
Теорема Виета (обратная): $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.

Шаг 1. Решаем первую часть: $x^2 \\gt 16-6x$.
Переносим всё влево: $$x^2 + 6x - 16 \\gt 0$$ По теореме Виета: $x_1+x_2=-6$, $x_1\\cdot x_2=-16$. Подходят $-8$ и $2$: $$(x+8)(x-2) \\gt 0$$ Произведение положительно вне корней: $x\\lt -8$ или $x\\gt 2$.
Шаг 2. Решаем вторую часть: $x^2 \\leq 24-10x$.
Переносим всё влево: $$x^2 + 10x - 24 \\leq 0$$ По теореме Виета: $x_1+x_2=-10$, $x_1\\cdot x_2=-24$. Подходят $-12$ и $2$: $$(x+12)(x-2) \\leq 0$$ Произведение неположительно между корнями: $-12\\leq x\\leq 2$.
Шаг 3. Берём пересечение решений: $$(x\\lt -8 \\text{ или } x\\gt 2)\\cap(-12\\leq x\\leq 2) = -12\\leq x \\lt -8$$ −12 −10 −8 −6 −4 Шаг 4. Выписываем целые числа из $[-12;\\,-8)$: $-12,\\,-11,\\,-10,\\,-9$.
Наибольшее $= -9$, наименьшее $= -12$.
Шаг 5. Разность: $$-9 - (-12) = 3$$
Ответ: $3$
` }, { text: `Точка $M$ — середина стороны $CD$ параллелограмма $ABCD$ с площадью $360$ см². Отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $F$. Найдите площадь четырёхугольника $AFMD$.`, sol: `Шаг 1 — находим отношение AF:FC.
Рассмотрим треугольники $ABF$ и $CMF$: $\\Rightarrow$ треугольники подобны. Так как $AB = DC$ и $CM = DC/2$ (M — середина), то: $$\\frac{AB}{CM} = \\frac{2}{1} \\Rightarrow \\frac{AF}{FC} = \\frac{AB}{CM} = 2 \\Rightarrow AF:FC = 2:1$$ Шаг 2 — площадь треугольника ABM.
Точка $M$ лежит на $DC\\parallel AB$, значит высота от $M$ до $AB$ равна высоте параллелограмма $h$. $$S_{ABM} = \\tfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot h = \\tfrac{1}{2}\\cdot S_{ABCD} = 180$$ Шаг 3 — площадь треугольника AMD.
В треугольнике $ACD$ отрезок $AM$ — медиана (M — середина $CD$), поэтому: $$S_{AMD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot S_{ACD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot 180 = 90$$ Шаг 4 — площадь четырёхугольника ABMD. $$S_{ABMD} = S_{ABM} + S_{AMD} = 180 + 90 = 270$$ Шаг 5 — площадь треугольника ABF.
Треугольники $ABF$ и $ABC$ имеют общую вершину $B$ и основания $AF$ и $AC$ на одной прямой: $$\\frac{S_{ABF}}{S_{ABC}} = \\frac{AF}{AC} = \\frac{2}{3} \\Rightarrow S_{ABF} = \\frac{2}{3}\\cdot 180 = 120$$ Шаг 6 — итог. $$S_{AFMD} = S_{ABMD} - S_{ABF} = 270 - 120 = 150\\text{ см}^2$$
Ответ: $150$ см²
`, figure: ` A B C D M F AFMD ` }, ] };