VARIANTS[18] = { label: "Вариант 18", tasks: [ { text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = |x| + 1$:`, figure: ``, sol: `Функция $y=|x|+1$: На рисунке ищем V-образную кривую с вершиной в точке $(0;\\,1)$, целиком выше оси $Ox$.
Ответ: рисунок с V-образным графиком, вершина которого в точке $(0;\\,1)$
` }, { text: `Из данных чисел выберите те, которые НЕ входят в область определения выражения $\\dfrac{2}{\\sqrt{3x-9}}$:`, opts: [ ["а", "$\\dfrac{1}{3}$"], ["б", "$3{,}5$"], ["в", "$3$"], ["г", "$4$"], ["д", "$5$"], ], sol: `Знаменатель не равен нулю и подкоренное выражение положительно: $3x-9>0 \\Rightarrow x>3$.
ОДЗ: $x>3$. Проверяем:
Ответ: а) и в)
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "у правильного $n$-угольника все углы равны;"], ["б", "по теореме косинусов для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ верно, что $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\\cos\\beta$;"], ["в", "площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов;"], ["г", "длина окружности с радиусом $R$ равна $\\pi R$?"], ], sol: ` Длина окружности равна $2\\pi R$, а не $\\pi R$.
Ответ: г)
` }, { text: `Найдите значение выражения $x \\cdot y$, где $(x;\\, y)$ — решение системы уравнений $$\\begin{cases} x + y = 5, \\\\[4pt] 3x - y = 7. \\end{cases}$$`, sol: `Сложим оба уравнения: $4x=12 \\Rightarrow x=3$.
Из первого: $y=5-3=2$. $$x\\cdot y = 3\\cdot 2 = 6$$
Ответ: $6$
` }, { text: `Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, центр $O$ окружности лежит на стороне $AD$. Найдите угол $BCD$, если угол $ADB$ равен $32^{\\circ}$.`, sol: `Ключевой факт: $O$ лежит на $AD$ $\\Rightarrow$ $AD$ — диаметр окружности. O 90° 32° A D B C 122° Шаг 1. $AD$ — диаметр $\\Rightarrow$ $\\angle ABD = 90°$ (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
Шаг 2. В треугольнике $ABD$: $\\angle ABD=90°$, $\\angle ADB=32°$: $$\\angle BAD = 180° - 90° - 32° = 58°$$ Шаг 3. $ABCD$ — вписанный четырёхугольник, противоположные углы в сумме дают $180°$: $$\\angle BCD = 180° - \\angle BAD = 180° - 58° = 122°$$
Ответ: $\\angle BCD = 122°$
` }, { text: `Найдите количество целых решений неравенства $x^2 + 4x < 12$.`, sol: `Метод интервалов для квадратного неравенства: переносим всё в одну часть, раскладываем на множители и находим знаки.
Шаг 1. Переносим $12$ влево: $x^2+4x-12\\lt 0$.
Шаг 2. Раскладываем на множители. Ищем два числа с произведением $-12$ и суммой $4$ — это $6$ и $-2$, поэтому $x^2+4x-12=(x+6)(x-2)$.
Шаг 3. Решаем $(x+6)(x-2)\\lt 0$. Произведение отрицательно, когда множители разных знаков, значит $-6\\lt x\\lt 2$. −6 −4 −2 0 2 Шаг 4. Выписываем целые числа из интервала $(-6;\\;2)$, не включая концы (неравенство строгое): $-5,\\,-4,\\,-3,\\,-2,\\,-1,\\,0,\\,1$ — всего 7 чисел.
Ответ: $7$
` }, { text: `Найдите $75\\%$ от значения выражения $\\dfrac{62^2 - 12^2 + 74 \\cdot 46}{53^2 - 21^2}$.`, sol: `Формула разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Правило процентов: $p\\%$ от числа $N$ равно $\\dfrac{p}{100}\\cdot N$.
Шаг 1. Преобразуем числитель. По формуле разности квадратов: $$62^2-12^2 = (62-12)(62+12) = 50\\cdot 74.$$ Значит, в числителе $50\\cdot 74 + 74\\cdot 46$. Множитель $74$ общий, выносим его за скобки: $$50\\cdot 74 + 74\\cdot 46 = 74\\cdot(50+46) = 74\\cdot 96 = 7104.$$ Шаг 2. Преобразуем знаменатель аналогично: $$53^2-21^2 = (53-21)(53+21) = 32\\cdot 74 = 2368.$$ Шаг 3. Делим числитель на знаменатель — общий множитель $74$ сокращается: $$\\dfrac{74\\cdot 96}{32\\cdot 74} = \\dfrac{96}{32} = 3.$$ Шаг 4. Находим $75\\%$ от полученного числа: $$75\\%\\text{ от }3 = \\dfrac{75}{100}\\cdot 3 = 0{,}75\\cdot 3 = 2{,}25.$$
Ответ: $2{,}25$
` }, { text: `Найдите значение выражения $a + x_0$, где $a$ — отрицательное число, при котором левая часть уравнения $4x^2 + ax + 9 = 0$ является квадратом разности, а $x_0$ — корень уравнения.`, sol: `Формула квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Шаг 1. Заметим, что $4x^2=(2x)^2$ и $9=3^2$. Значит, представляем выражение в виде $(2x-3)^2$ или $(2x+3)^2$.
Шаг 2. Раскрываем квадраты:
$(2x-3)^2 = 4x^2-12x+9$ — здесь средний коэффициент $-12$;
$(2x+3)^2 = 4x^2+12x+9$ — здесь средний коэффициент $+12$.
Шаг 3. По условию $a$ отрицательное, значит $a=-12$.
Шаг 4. Решаем уравнение $4x^2-12x+9=(2x-3)^2=0$. Отсюда $2x-3=0$, и $x_0=\\dfrac{3}{2}$.
Шаг 5. Находим $a+x_0$: $$a+x_0 = -12+\\dfrac{3}{2} = -10{,}5$$
Ответ: $-10{,}5$
` }, { text: `В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведена высота $CH$. Найдите площадь трапеции, если $CH = 12$ см, диагональ $BD = 15$ см.`, sol: `Свойство равнобедренной трапеции: если из вершины меньшего основания опустить высоту на большее основание, то её основание отстоит от ближайшей вершины большего основания на $\\dfrac{AD-BC}{2}$.
Формула площади трапеции: $S = \\dfrac{a+b}{2}\\cdot h$ — произведение средней линии на высоту.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике $c^2=a^2+b^2$. A D C B H CH=12 BD=15 Шаг 1. Введём координаты: $A=(0;0)$, $D=(AD;0)$, $C=(AD - p;\\,12)$, $B=(p;\\,12)$, где $p=\\dfrac{AD-BC}{2}$. Это даёт высоту $CH=12$, опущенную из $C$ в точку $H=(AD-p;\\,0)$.
Шаг 2. Найдём $DH$ — отрезок от $D$ до основания высоты: $$DH = AD - (AD-p) = p = \\dfrac{AD-BC}{2}$$ Шаг 3. Замечаем: средняя линия трапеции равна $\\dfrac{AD+BC}{2}$, а длина $BH$ (горизонтальная проекция диагонали $BD$) как раз и равна $AD-p = \\dfrac{AD+BC}{2}$ — это средняя линия.
Шаг 4. Треугольник $BHD$ прямоугольный (так как $CH\\perp AD$ и $BH\\parallel AD$). По теореме Пифагора: $$\\text{средняя линия} = BH = \\sqrt{BD^2 - CH^2} = \\sqrt{15^2-12^2} = \\sqrt{225-144} = \\sqrt{81} = 9\\text{ см}$$ Шаг 5. Применяем формулу площади: $$S = \\text{средняя линия}\\cdot h = 9\\cdot 12 = 108\\text{ см}^2$$
Ответ: $108$ см²
` }, { text: `В аквацентре, который расположен в городе Гродно, один из бассейнов можно заполнять через две трубы, причём заполнение до максимальной метки через вторую — на $5$ часов быстрее, чем через первую. Заполнение бассейна через обе трубы одновременно продолжается не более $6$ часов. За какое наибольшее количество часов можно заполнить бассейн через вторую трубу?`, sol: `Пусть вторая труба заполняет за $t_2$ часов, тогда первая — за $t_1=t_2+5$ часов.
Условие «не более 6 часов» означает, что совместная скорость $\\geq \\dfrac{1}{6}$: $$\\frac{1}{t_1}+\\frac{1}{t_2} \\geq \\frac{1}{6}$$ $$\\frac{1}{t_2+5}+\\frac{1}{t_2} \\geq \\frac{1}{6}$$ $$\\frac{2t_2+5}{t_2(t_2+5)} \\geq \\frac{1}{6}$$ $$6(2t_2+5) \\geq t_2(t_2+5)$$ $$12t_2+30 \\geq t_2^2+5t_2$$ $$t_2^2-7t_2-30 \\leq 0$$ $$(t_2-10)(t_2+3) \\leq 0$$ $$-3 \\leq t_2 \\leq 10$$ Так как $t_2>0$, получаем $0 < t_2 \\leq 10$.
Проверка $t_2=10$: $t_1=15$, вместе: $\\frac{1}{15}+\\frac{1}{10}=\\frac{1}{6}$ (ровно 6 ч) ✓
Ответ: не более $10$ часов
` }, ] };