VARIANTS[19] = { label: "Вариант 19", tasks: [ { text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = (x+1)^3$:`, figure: ``, sol: `Функция $y=(x+1)^3$ — это график $y=x^3$, сдвинутый на $1$ единицу влево.
Ключевые свойства:
Ответ: график, пересекающий ось $Ox$ в точке $(-1;\\,0)$
` }, { text: `Какие из данных чисел являются решениями системы неравенств $$\\left\\{\\begin{array}{l} x < 7, \\\\[4pt] x \\geq -\\dfrac{1}{2}; \\end{array}\\right.$$`, opts: [ ["а", "$6$"], ["б", "$7$"], ["в", "$0$"], ["г", "$-\\dfrac{3}{4}$"], ["д", "$-1$"], ], sol: `Решение системы: $-\\dfrac{1}{2}\\leq x<7$. −1 0 7 −1/2 Проверяем каждое:
Ответ: а) и в)
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам;"], ["б", "площадь квадрата со стороной $4$ см равна $16$ см²;"], ["в", "если четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, то $\\angle A + \\angle B = 180^{\\circ}$;"], ["г", "если у $\\triangle ABC$ $\\angle C = 90^{\\circ}$, $AC = 3$, $BC = 4$, то $\\operatorname{tg} A = \\dfrac{4}{3}$?"], ], sol: ` В вписанном четырёхугольнике в сумме $180°$ дают противоположные углы: $\\angle A+\\angle C=180°$ и $\\angle B+\\angle D=180°$. Углы $A$ и $B$ — соседние, их сумма не обязательно равна $180°$.
Ответ: в)
` }, { text: `Найдите значение выражения $10A$, если $A = \\sqrt{0{,}36} \\cdot \\sqrt{100} - \\sqrt{1{,}69}$.`, sol: `Извлекаем корни: $$\\sqrt{0{,}36}=0{,}6;\\quad \\sqrt{100}=10;\\quad \\sqrt{1{,}69}=1{,}3$$ Подставляем: $$A = 0{,}6\\cdot 10 - 1{,}3 = 6 - 1{,}3 = 4{,}7$$ $$10A = 10\\cdot 4{,}7 = 47$$
Ответ: $47$
` }, { text: `Первый член арифметической прогрессии равен $-3\\dfrac{3}{4}$, разность прогрессии равна $-0{,}25$. Является ли членом данной прогрессии число $-8$? Ответ обоснуйте.`, sol: `Дано: $a_1 = -3\\dfrac{3}{4} = -\\dfrac{15}{4}$, $d = -0{,}25 = -\\dfrac{1}{4}$.
Формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Если $-8$ — член прогрессии, найдём его номер $n$: $$-8 = -\\dfrac{15}{4} + (n-1)\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{4}\\right)$$ Умножим обе части на $-4$: $$32 = 15 + (n-1)$$ $$n-1 = 17 \\implies n = 18$$ Получили натуральное число $n=18$, значит $-8$ — это 18-й член прогрессии.
Ответ: да, $-8$ — член прогрессии (18-й по счёту)
` }, { text: `$ABCD$ — прямоугольник с периметром $22$ см, сторона $AB$ на $5$ см меньше стороны $AD$. Найдите площадь прямоугольника.`, sol: `Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — соседние стороны.
Формула площади прямоугольника: $S = a\\cdot b$.
Шаг 1. Обозначим $AD = x$ см. Тогда по условию $AB = x-5$ см, так как сторона $AB$ на $5$ см меньше $AD$.
Шаг 2. Составим уравнение по формуле периметра: $$2(AD+AB) = 22 \\;\\implies\\; 2(x + x-5) = 22$$ $$2(2x-5) = 22 \\;\\implies\\; 2x-5 = 11 \\;\\implies\\; x = 8$$ Шаг 3. Находим стороны: $AD = 8$ см, $AB = 8-5 = 3$ см. A D C B AD = 8 AB=3 Шаг 4. Применяем формулу площади: $$S = AD\\cdot AB = 8\\cdot 3 = 24\\text{ см}^2$$
Ответ: $24$ см²
` }, { text: `Оптовая стоимость справочного издания «Памятные места Беларуси» $20$ р. Какое наибольшее количество данных книг по розничной цене можно купить на $7000$ р., если розничная цена на $30\\%$ выше оптовой?`, sol: `Правило увеличения числа на $p$ процентов: новое значение равно $N\\cdot\\left(1+\\dfrac{p}{100}\\right)$.
Шаг 1. Найдём розничную цену. По условию она на $30\\%$ выше оптовой, значит: $$20\\cdot\\left(1+\\dfrac{30}{100}\\right) = 20\\cdot 1{,}3 = 26\\text{ р.}$$ Шаг 2. Чтобы узнать, сколько книг можно купить на $7000$ р., делим бюджет на цену одной книги: $$\\dfrac{7000}{26} = 269{,}23\\ldots$$ Шаг 3. Количество книг — натуральное число, поэтому округляем результат вниз: получаем $269$ книг.
Шаг 4. Проверим граничные значения:
$\\bullet$ $269\\cdot 26 = 6994$ р. — меньше $7000$, значит на $269$ книг денег хватит;
$\\bullet$ $270\\cdot 26 = 7020$ р. — больше $7000$, значит $270$ книг купить уже нельзя.
Ответ: $269$ книг
` }, { text: `Упростите выражение $$\\left(\\dfrac{x-4}{x^2-2x+1} - \\dfrac{x+2}{x^2+x-2}\\right) : \\dfrac{1}{(2x-2)^2}.$$`, sol: `Формула квадрата разности: $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$. Разложение квадратного трёхчлена: $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, так как корни $-2$ и $1$. Правило деления дробей: $\\dfrac{A}{B}:\\dfrac{C}{D}=\\dfrac{A}{B}\\cdot\\dfrac{D}{C}$.
Шаг 1. Разложим все знаменатели на множители: $$x^2-2x+1 = (x-1)^2;$$ $$x^2+x-2 = (x+2)(x-1);$$ $$(2x-2)^2 = \\bigl(2(x-1)\\bigr)^2 = 4(x-1)^2.$$ Шаг 2. Найдём ОДЗ: знаменатели не равны нулю, значит $x\\neq 1$ и $x\\neq -2$.
Шаг 3. Сократим вторую дробь в скобках — множитель $(x+2)$ есть в числителе и в знаменателе: $$\\dfrac{x+2}{(x+2)(x-1)} = \\dfrac{1}{x-1}.$$ Шаг 4. Приведём дроби в скобках к общему знаменателю $(x-1)^2$. Дробь $\\dfrac{1}{x-1}$ умножаем на $\\dfrac{x-1}{x-1}$: $$\\dfrac{x-4}{(x-1)^2} - \\dfrac{x-1}{(x-1)^2} = \\dfrac{(x-4)-(x-1)}{(x-1)^2} = \\dfrac{-3}{(x-1)^2}.$$ Шаг 5. По правилу деления заменяем деление умножением на обратную дробь: $$\\dfrac{-3}{(x-1)^2} : \\dfrac{1}{(2x-2)^2} = \\dfrac{-3}{(x-1)^2}\\cdot 4(x-1)^2.$$ Множители $(x-1)^2$ сокращаются: $$\\dfrac{-3}{(x-1)^2}\\cdot 4(x-1)^2 = -3\\cdot 4 = -12.$$
Ответ: $-12$
` }, { text: `Найдите сумму координат точки пересечения прямых, заданных уравнениями $1{,}2x + 3{,}4y = 12$ и $2{,}5x + 1{,}4y = 25$.`, sol: `Метод решения: чтобы найти точку пересечения двух прямых, решаем систему из их уравнений. Используем метод сложения (исключаем одну переменную).
Шаг 1. Запишем систему: $$\\begin{cases} 1{,}2x + 3{,}4y = 12 \\\\ 2{,}5x + 1{,}4y = 25 \\end{cases}$$ Шаг 2. Уравняем коэффициенты при $x$. Умножим первое уравнение на $25$, второе — на $12$: $$\\begin{cases} 30x + 85y = 300 \\\\ 30x + 16{,}8y = 300 \\end{cases}$$ Шаг 3. Вычтем второе уравнение из первого: $$(85 - 16{,}8)y = 0 \\;\\implies\\; 68{,}2y = 0 \\;\\implies\\; y = 0$$ Шаг 4. Подставим $y=0$ в первое уравнение системы: $$1{,}2x = 12 \\;\\implies\\; x = 10$$ Шаг 5. Значит, точка пересечения — $(10;\\,0)$. Тогда сумма координат: $$x+y = 10+0 = 10$$
Ответ: $10$
` }, { text: `Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD \\| BC$) пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $ABO$ и $BOC$ равны соответственно $16$ см² и $8$ см². Найдите площадь трапеции.`, sol: ` O A D B C 16 8 ? ? Шаг 1 — отношение оснований.
Треугольники $ABO$ и $BOC$ имеют общую вершину $B$, а основания $AO$ и $OC$ лежат на одной прямой $AC$. Значит, отношение площадей равно отношению оснований: $$\\dfrac{S_{ABO}}{S_{BOC}} = \\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{16}{8} = 2$$ По свойству трапеции $\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AD}{BC}$, значит $\\dfrac{AD}{BC} = 2$.

Шаг 2 — площадь треугольника AOD.
Треугольники $AOD$ и $BOC$ подобны (т.к. $AD\\parallel BC$), коэффициент подобия $k = \\dfrac{AD}{BC} = 2$. Отношение площадей $= k^2 = 4$: $$S_{AOD} = 4\\cdot S_{BOC} = 4\\cdot 8 = 32\\text{ см}^2$$ Шаг 3 — площадь треугольника COD.
В трапеции с диагоналями: $S_{ABO} = S_{COD}$ (известное свойство). Значит, $S_{COD} = 16$ см².

Шаг 4 — итог. $$S_{ABCD} = S_{ABO}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD} = 16+8+16+32 = 72\\text{ см}^2$$
Ответ: $72$ см²
` }, ] };