`
},
{
text: `Определите промежуток, которому принадлежит значение выражения
$\\left(1\\dfrac{1}{4}+1\\right):3$:`,
opts: [
["а", "$(2;\\;3)$"], ["б", "$(3;\\;4)$"], ["в", "$(0;\\;0{,}5)$"],
["г", "$(1;\\;2)$"], ["д", "$(0;\\;1)$"],
],
sol: `Переводим: $1\\dfrac{1}{4} = \\dfrac{5}{4}$.
$$\\left(\\dfrac{5}{4}+1\\right):3 = \\dfrac{9}{4}:3 = \\dfrac{3}{4} = 0{,}75$$
Так как $0 \\lt 0{,}75 \\lt 1$, значение принадлежит $(0;\\,1)$.
Ответ: д) $(0;\\;1)$
`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту;"],
["б", "медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении $1:1$;"],
["в", "секущая имеет с окружностью ровно две общие точки;"],
["г", "гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше любого из катетов?"],
],
sol: `
а) верно
б) Медианы делятся в отношении $\\mathbf{2:1}$, а не $1:1$ — НЕВЕРНО
в) верно
г) верно
Ответ: б)
`
},
{
text: `Решите неравенство $\\dfrac{(x-3)^2(x+1)^2}{(x-2)^4} \\leq 0$ и запишите ответ.`,
sol: `$(x-3)^2(x+1)^2\\geq0$ всегда; $(x-2)^4\\gt0$ при $x\\neq2$. Дробь $\\leq0$ только когда числитель $=0$: $x=3$ или $x=-1$.
Ответ: $x=-1$ или $x=3$
`
},
{
text: `В банк заданий для подготовки к экзамену включено $180$ задач.
Из них задач по алгебре на $50$ больше, чем по геометрии.
Сколько задач по алгебре включено в банк?`,
sol: `Метод введения переменной: обозначим за $x$ количество того, чего меньше, и составим уравнение по сумме.
Шаг 1. Пусть в банке $x$ задач по геометрии. Тогда задач по алгебре на $50$ больше, то есть $x+50$.
Шаг 2. Всего задач $180$, значит:
$$x + (x+50) = 180.$$
Шаг 3. Решаем уравнение, приведя подобные слагаемые:
$$2x + 50 = 180 \\;\\implies\\; 2x = 130 \\;\\implies\\; x = 65.$$
Шаг 4. Это количество задач по геометрии. По алгебре их на $50$ больше:
$$x + 50 = 65 + 50 = 115.$$
Проверка: $65+115 = 180$ — совпадает с условием.
Ответ: $115$ задач по алгебре
`
},
{
text: `Дан треугольник $ABC$, биссектрисы его углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$.
Докажите, что биссектриса угла $B$ проходит через точку $O$.`,
sol: `Доказательство.
Точка $O$ на биссектрисе угла $A$ — $d(O,AB)=d(O,AC)$. Точка $O$ на биссектрисе угла $C$ — $d(O,BC)=d(O,AC)$. Следовательно $d(O,AB)=d(O,BC)$ — $O$ на биссектрисе угла $B$. ∎
Доказано: $O$ равноудалена от сторон $AB$ и $BC$, значит лежит на биссектрисе угла $B$
`
},
{
text: `Решите уравнение $(x+2) \\cdot 0{,}5 = \\dfrac{2}{3} \\cdot 2$
и запишите число, противоположное корню уравнения.`,
sol: `Свойство противоположного числа: число, противоположное $a$, равно $-a$.
Шаг 1. Вычислим правую часть уравнения:
$$\\dfrac{2}{3}\\cdot 2 = \\dfrac{4}{3}$$
Получаем уравнение:
$$(x+2)\\cdot 0{,}5 = \\dfrac{4}{3}$$
Шаг 2. Чтобы найти $x+2$, разделим обе части на $0{,}5$ (то есть умножим на $2$):
$$x+2 = \\dfrac{4}{3}\\cdot 2 = \\dfrac{8}{3}$$
Шаг 3. Вычтем $2$ из обеих частей:
$$x = \\dfrac{8}{3} - 2 = \\dfrac{8}{3} - \\dfrac{6}{3} = \\dfrac{2}{3}$$
Шаг 4. Число, противоположное корню $x=\\dfrac{2}{3}$, равно $-\\dfrac{2}{3}$.
Ответ: $-\\dfrac{2}{3}$
`
},
{
text: `К задуманному числу $x$, умноженному на $2$, прибавили число, в $3$ раза большее задуманного.
Полученную сумму умножили на $7$ и от полученного произведения вычли число,
в $7$ раз большее $x$. В результате получили число $y$.
Определите вид зависимости числа $y$ от числа $x$.`,
sol: `Прямая пропорциональность: зависимость вида $y=kx$, где $k$ — постоянное число, отличное от нуля.
Шаг 1. Запишем по условию: задуманное число $x$, умноженное на $2$, — это $2x$. Число, в $3$ раза большее задуманного, — это $3x$.
Шаг 2. Найдём их сумму:
$$2x + 3x = 5x.$$
Шаг 3. Полученную сумму умножили на $7$:
$$7\\cdot 5x = 35x.$$
Шаг 4. Из произведения вычли число, в $7$ раз большее $x$ (то есть $7x$):
$$y = 35x - 7x = 28x.$$
Шаг 5. Получили зависимость $y=28x$. Это запись вида $y=kx$ с $k=28\\neq 0$, значит перед нами прямая пропорциональность.
Ответ: прямая пропорциональность $y=28x$
`
},
{
text: `Сколько решений имеет система уравнений
$$\\begin{cases} x^2 - xy = 9, \\\\[4pt] y^2 - xy = 16? \\end{cases}$$
Ответ обоснуйте.`,
sol: `Формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
Формула разности квадратов: $y^2-x^2 = (y-x)(y+x)$.
Метод решения: комбинируя уравнения (сложение и вычитание), сводим систему к более простой.
Шаг 1. Сложим уравнения почленно:
$$x^2-xy+y^2-xy = 9+16$$
$$x^2-2xy+y^2 = 25 \\;\\implies\\; (x-y)^2 = 25$$
Отсюда $x-y = 5$ или $x-y = -5$.
Шаг 2. Вычтем первое уравнение из второго:
$$y^2-xy - (x^2-xy) = 16 - 9$$
$$y^2 - x^2 = 7 \\;\\implies\\; (y-x)(y+x) = 7$$
Шаг 3. Случай 1: $x-y = 5$, значит $y-x = -5$. Подставляем:
$$-5\\cdot(y+x) = 7 \\;\\implies\\; y+x = -\\dfrac{7}{5}$$
Решаем систему $x-y=5$ и $x+y=-\\dfrac{7}{5}$. Складывая: $2x = 5-\\dfrac{7}{5} = \\dfrac{18}{5}$, откуда $x=\\dfrac{9}{5}$, а $y = x-5 = -\\dfrac{16}{5}$.
Шаг 4. Случай 2: $x-y = -5$, значит $y-x = 5$:
$$5\\cdot(y+x) = 7 \\;\\implies\\; y+x = \\dfrac{7}{5}$$
Решаем $x-y=-5$ и $x+y=\\dfrac{7}{5}$. Складывая: $2x = -5+\\dfrac{7}{5} = -\\dfrac{18}{5}$, поэтому $x=-\\dfrac{9}{5}$, $y=\\dfrac{16}{5}$.
Шаг 5. Получили ровно $2$ решения: $\\bigl(\\dfrac{9}{5};\\,-\\dfrac{16}{5}\\bigr)$ и $\\bigl(-\\dfrac{9}{5};\\,\\dfrac{16}{5}\\bigr)$.
Ответ: $2$ решения — $(9/5;\\,-16/5)$ и $(-9/5;\\,16/5)$
`
},
{
text: `В параллелограмме $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны.
Высота $BK$, проведённая к стороне $AD$, пересекает диагональ $AC$ в точке $H$;
$HK = 9$ см, $BH = 15$ см. Найдите площадь параллелограмма.`,
sol: `
Свойство параллелограмма с перпендикулярными диагоналями: такой параллелограмм является ромбом (то есть все стороны равны).
Свойство диагонали ромба: диагональ ромба делит угол ромба пополам, то есть является биссектрисой.
Основное тригонометрическое тождество: $\\sin^2\\beta + \\cos^2\\beta = 1$.
Формула площади параллелограмма: $S = AD\\cdot BK$, где $BK$ — высота к стороне $AD$.
Шаг 1. Из условия диагонали параллелограмма перпендикулярны, значит $ABCD$ — ромб со стороной $a$. Обозначим $\\angle DAB = \\beta$.
Шаг 2. Диагональ $AC$ — биссектриса угла $A$, значит $\\angle BAC = \\angle DAC = \\dfrac{\\beta}{2}$. В прямоугольном треугольнике $ABK$ (прямой угол при $K$) точка $H$ лежит на биссектрисе $AH$ угла $A$.
Шаг 3. По теореме о биссектрисе треугольника $ABK$:
$$\\dfrac{BH}{HK} = \\dfrac{AB}{AK}$$
В $\\triangle ABK$ имеем $AK = AB\\cos\\beta$. Поэтому:
$$\\dfrac{BH}{HK} = \\dfrac{1}{\\cos\\beta} \\;\\implies\\; \\cos\\beta = \\dfrac{HK}{BH} = \\dfrac{9}{15} = \\dfrac{3}{5}$$
Шаг 4. По основному тригонометрическому тождеству:
$$\\sin\\beta = \\sqrt{1-\\cos^2\\beta} = \\sqrt{1-\\dfrac{9}{25}} = \\sqrt{\\dfrac{16}{25}} = \\dfrac{4}{5}$$
Шаг 5. Находим $BK$: это вся высота, $BK = BH + HK = 15 + 9 = 24$ см.
Шаг 6. Из прямоугольного $\\triangle ABK$: $BK = AB\\cdot\\sin\\beta$, значит:
$$a = AB = \\dfrac{BK}{\\sin\\beta} = \\dfrac{24}{\\tfrac{4}{5}} = 24\\cdot\\dfrac{5}{4} = 30\\text{ см}$$
Шаг 7. Применяем формулу площади параллелограмма:
$$S = AD\\cdot BK = 30\\cdot 24 = 720\\text{ см}^2$$