`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "у любого параллелограмма диагонали перпендикулярны;"],
["б", "сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна $360^{\\circ}$;"],
["в", "квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;"],
["г", "вписанные углы окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой?"],
],
sol: `
а) «У любого параллелограмма диагонали перпендикулярны» — НЕВЕРНО. Диагонали перпендикулярны только в ромбе. Например, в прямоугольнике диагонали равны, но не перпендикулярны.
б) Сумма углов четырёхугольника $= 360°$ — верно
в) Теорема Пифагора — верно
г) Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны — верно
Ответ: а)
`
},
{
text: `Приведите подобные слагаемые $2xy - 4xy + 9x + 4xy - 2x$.`,
sol: `Группируем слагаемые с $xy$ и с $x$:
$$(2xy - 4xy + 4xy) + (9x - 2x) = 2xy + 7x$$
Ответ: $2xy + 7x$
`
},
{
text: `Найдите периметр ромба, диагонали которого равны $18$ см и $24$ см.`,
sol: `Свойство диагоналей ромба: диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$.
Формула периметра ромба: $P = 4a$, где $a$ — сторона.
Шаг 1. По свойству диагоналей ромба они делятся точкой пересечения пополам и взаимно перпендикулярны. Половины диагоналей: $\\dfrac{18}{2}=9$ см и $\\dfrac{24}{2}=12$ см.
Шаг 2. Половины диагоналей являются катетами прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза — сторона ромба $a$. По теореме Пифагора:
$$a = \\sqrt{9^2 + 12^2} = \\sqrt{81+144} = \\sqrt{225} = 15\\text{ см}$$
Шаг 3. Применяем формулу периметра:
$$P = 4a = 4\\cdot 15 = 60\\text{ см}$$
Ответ: $60$ см
`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{a^2-64}{-a-8}$ и найдите значение полученного выражения при $a = -4$.`,
sol: `Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Шаг 1. Числитель раскладываем по формуле разности квадратов ($64 = 8^2$):
$$a^2-64 = a^2-8^2 = (a-8)(a+8)$$
Шаг 2. В знаменателе вынесем общий множитель $-1$:
$$-a-8 = -(a+8)$$
Шаг 3. Сокращаем общий множитель $(a+8)$ (при условии $a\\neq -8$, иначе знаменатель равен нулю):
$$\\dfrac{(a-8)(a+8)}{-(a+8)} = -(a-8) = 8-a$$
Шаг 4. Подставляем $a = -4$:
$$8-(-4) = 8+4 = 12$$
Ответ: $8-a$; при $a=-4$ значение равно $12$
`
},
{
text: `Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память.
Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии от каждой подруги,
потребовалось $42$ фотографии. Сколько было подруг?`,
sol: `Метод введения переменной: неизвестное количество подруг обозначим за $n$. Принцип подсчёта: каждая из $n$ подруг дарит свою фотографию каждой из $n-1$ остальных подруг.
Шаг 1. Пусть подруг было $n$. Каждая девочка дарит свою фотографию каждой из оставшихся $n-1$ подруг.
Шаг 2. Общее количество подаренных фотографий — это произведение числа дарителей на число получателей у каждой:
$$n\\cdot(n-1) = 42.$$
Шаг 3. Раскрываем и приводим к квадратному уравнению:
$$n^2 - n - 42 = 0.$$
Шаг 4. Решаем через дискриминант:
$$D = (-1)^2 + 4\\cdot 42 = 1+168 = 169 = 13^2;$$
$$n = \\dfrac{1+13}{2} = 7\\;\\;\\text{(отрицательный корень не подходит, так как $n$ — натуральное)}.$$
Шаг 5. Проверка: $7\\cdot 6 = 42$ — совпадает с условием.
Ответ: $7$ подруг
`
},
{
text: `Найдите $\\text{НОД}(174;\\; 841;\\; 3364)$ и определите, какому множеству он принадлежит:
а) составных чисел; б) простых чисел.`,
sol: `Правило нахождения НОД: наибольший общий делитель — это произведение общих простых множителей чисел, взятых в наименьших степенях. Простое число: натуральное число, которое имеет ровно два различных делителя — $1$ и само число.
Шаг 1. Разложим каждое число на простые множители.
$$174 = 2\\cdot 87 = 2\\cdot 3\\cdot 29;$$
$$841 = 29\\cdot 29 = 29^2;$$
$$3364 = 4\\cdot 841 = 2^2\\cdot 29^2.$$
Шаг 2. Найдём общие простые множители. В разложении $841$ нет ни $2$, ни $3$, поэтому общий множитель только один — это $29$ (в первой степени, так как наименьшая степень $29$ среди трёх разложений равна $1$):
$$\\text{НОД}(174;\\,841;\\,3364) = 29.$$
Шаг 3. Определим вид числа $29$. Так как $29$ делится только на $1$ и на $29$, оно является простым.
Ответ: НОД $= 29$, принадлежит множеству простых чисел (ответ б)
`
},
{
text: `В арифметической прогрессии сумма трёх первых членов равна $246$.
Чему равна сумма пяти первых членов этой прогрессии,
если её первый член равен разности прогрессии?`,
sol: `Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\\cdot n$.
Шаг 1. По условию $a_1 = d$. Тогда члены прогрессии:
$a_1 = d$, $a_2 = 2d$, $a_3 = 3d$, $a_4 = 4d$, $a_5 = 5d$.
Шаг 2. Сумма трёх первых членов:
$$S_3 = a_1+a_2+a_3 = d+2d+3d = 6d$$
По условию $S_3 = 246$, значит $6d = 246$, откуда $d = 41$.
Шаг 3. Сумма пяти первых членов:
$$S_5 = d+2d+3d+4d+5d = 15d = 15\\cdot 41 = 615$$
Ответ: $S_5 = 615$
`
},
{
text: `Даны треугольник $ABC$ и окружность, которая проходит через вершины $B$ и $C$
и пересекает стороны $AB$ и $AC$ соответственно в точках $M$ и $N$,
где $BM = 14$ см, $AN = 8$ см, $NC = 7$ см.
Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\\cos A = \\dfrac{\\sqrt{19}}{10}$.`,
sol: `
Шаг 1. Степень точки $A$ относительно окружности. Точка $A$ — внешняя, из неё проведены две секущие: $AMB$ и $ANC$. По свойству секущих:
$$AM\\cdot AB = AN\\cdot AC$$
Обозначим $AM = x$. Тогда $AB = x + 14$, $AC = 8 + 7 = 15$.
$$x(x+14) = 8\\cdot15 = 120$$
$$x^2 + 14x - 120 = 0$$
$$D = 196 + 480 = 676 = 26^2$$
$$x = \\dfrac{-14+26}{2} = 6\\text{ см}$$
Значит $AM = 6$, $AB = 6+14 = 20$ см.
Шаг 2. Синус угла $A$.
$$\\sin A = \\sqrt{1-\\cos^2 A} = \\sqrt{1 - \\dfrac{19}{100}} = \\sqrt{\\dfrac{81}{100}} = \\dfrac{9}{10}$$
Шаг 3. Площадь треугольника $ABC$.
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot AC\\cdot\\sin A = \\dfrac{1}{2}\\cdot20\\cdot15\\cdot\\dfrac{9}{10} = \\dfrac{1}{2}\\cdot270 = 135\\text{ см}^2$$