`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "если четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, то $\\angle A + \\angle C = 180^{\\circ}$;"],
["б", "любая медиана равнобедренного треугольника является его высотой;"],
["в", "вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается;"],
["г", "тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему?"],
],
sol: `
а) Противоположные углы вписанного четырёхугольника дополняют друг друга до $180°$ — верно
б) «Любая медиана равнобедренного треугольника — это высота» — НЕВЕРНО. Медианой-высотой является только медиана, проведённая из вершинного угла к основанию. Медианы к боковым сторонам высотами не являются.
`
},
{
text: `Решите неравенство $\\dfrac{x}{2} + 3 > 0$ и укажите наименьшее целое решение этого неравенства.`,
sol: `$$\\dfrac{x}{2} > -3 \\implies x > -6$$
Решение: $x\\in(-6;\\,+\\infty)$. Наименьшее целое число, строго большее $-6$ — это $\\mathbf{-5}$.
Ответ: $x > -6$; наименьшее целое решение $= -5$
`
},
{
text: `В угол $A$ вписана окружность с центром в точке $O$, которая касается сторон угла
в точках $B$ и $C$. Найдите угол $BCO$, если $\\angle A = 64^{\\circ}$.`,
sol: `Свойство касательной к окружности: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Значит, $\\angle OBA = 90°$ и $\\angle OCA = 90°$.
Шаг 1. Найдём угол $BOC$ в четырёхугольнике $ABOC$.
По теореме о сумме углов четырёхугольника: сумма углов любого четырёхугольника равна $360°$.
$$\\angle A + \\angle OBA + \\angle BOC + \\angle OCA = 360°$$
Подставляем известные углы:
$$64° + 90° + \\angle BOC + 90° = 360°$$
$$\\angle BOC = 360° - 244° = 116°$$
Шаг 2. Рассмотрим треугольник $OBC$.
Так как $OB$ и $OC$ — радиусы одной окружности, то $OB = OC$. Значит, $\\triangle OBC$ равнобедренный с основанием $BC$.
По свойству равнобедренного треугольника: углы при основании равны.
$$\\angle OBC = \\angle BCO$$
Шаг 3. Сумма углов треугольника $OBC$ равна $180°$:
$$\\angle BCO = \\dfrac{180° - \\angle BOC}{2} = \\dfrac{180° - 116°}{2} = \\dfrac{64°}{2} = 32°$$
Ответ: $\\angle BCO = 32°$
`
},
{
text: `В бензобак грузового автомобиля МАЗ залили $200$ л бензина.
В каждый день пути расходовалось $m$ литров бензина.
На сколько дней хватит $200$ л бензина?
Составьте формулу зависимости числа дней $k$ от количества литров бензина,
расходуемого каждый день.`,
sol: `Метод составления уравнения по условию задачи. Шаг 1. Введём обозначение. Пусть $k$ — искомое число дней, на которые хватит бензина.
Шаг 2. По условию за один день расходуется $m$ литров. Значит, за $k$ дней израсходуется $m\\cdot k$ литров.
Шаг 3. Так как в баке всего $200$ л и весь бензин будет израсходован за $k$ дней, составим уравнение:
$$m\\cdot k = 200$$
Шаг 4. Выразим $k$. Разделим обе части на $m$ (это можно сделать, так как $m\\ne 0$):
$$k = \\dfrac{200}{m}$$
Ответ: бензина хватит на $\\dfrac{200}{m}$ дней; формула: $k = \\dfrac{200}{m}$
`
},
{
text: `Решите уравнение $\\dfrac{3}{8} : \\dfrac{3}{4} = y : \\dfrac{2}{3}$.`,
sol: `Правило деления дробей: чтобы разделить на дробь, надо умножить на дробь, обратную делителю: $\\dfrac{a}{b} : \\dfrac{c}{d} = \\dfrac{a}{b} \\cdot \\dfrac{d}{c}$.
Шаг 1. Вычислим левую часть уравнения:
$$\\dfrac{3}{8}:\\dfrac{3}{4} = \\dfrac{3}{8}\\cdot\\dfrac{4}{3} = \\dfrac{12}{24} = \\dfrac{1}{2}$$
Шаг 2. Уравнение принимает вид:
$$\\dfrac{1}{2} = y : \\dfrac{2}{3}$$
По правилу деления, $y : \\dfrac{2}{3} = y \\cdot \\dfrac{3}{2}$. Значит:
$$\\dfrac{1}{2} = y \\cdot \\dfrac{3}{2}$$
Шаг 3. Находим $y$. Умножим обе части на $\\dfrac{2}{3}$:
$$y = \\dfrac{1}{2} \\cdot \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{1}{3}$$
Проверка: $\\dfrac{1}{3} : \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{1}{3} \\cdot \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{1}{2}$ ✓
Ответ: $y = \\dfrac{1}{3}$
`
},
{
text: `Из Фаниполя в Юцковские родники, расстояние между которыми равно $20$ км, вышел турист.
Одновременно с ним по тому же маршруту из Юцковских родников в Фаниполь выехал велосипедист,
скорость которого в $4$ раза больше скорости пешехода.
Сколько километров осталось преодолеть туристу до Юцковских родников
после встречи с велосипедистом?`,
sol: `Метод введения переменной и составления уравнения движения навстречу. При движении навстречу скорости участников складываются: $v_{\\text{сбл}} = v_1 + v_2$.
Шаг 1. Пусть скорость пешехода равна $v$ км/ч. По условию скорость велосипедиста в $4$ раза больше, значит, она равна $4v$ км/ч.
Шаг 2. Так как они движутся навстречу друг другу, скорость сближения равна сумме скоростей:
$$v_{\\text{сбл}} = v + 4v = 5v\\text{ км/ч}$$
Шаг 3. Пусть $t$ — время от старта до встречи. За это время участники вместе прошли всё расстояние $20$ км:
$$5v\\cdot t = 20 \\implies v\\cdot t = 4$$
Значит, путь $v\\cdot t$, пройденный туристом до встречи, равен $4$ км.
Шаг 4. Так как турист шёл из Фаниполя, ему осталось пройти:
$$20 - 4 = 16\\text{ км}$$
Ответ: $16$ км
`
},
{
text: `Основания трапеции равны $10$ см и $35$ см, боковые стороны — $15$ см и $20$ см.
Найдите площадь трапеции.`,
sol: `Формула площади трапеции: $S = \\dfrac{a+b}{2}\\cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.
Чтобы найти высоту, опустим из вершин верхнего основания перпендикуляры $BH$ и $CK$ на нижнее основание.
Шаг 1. Так как $BH\\parallel CK$ и оба перпендикулярны $AD$, четырёхугольник $BCKH$ — прямоугольник. Значит, $HK = BC = 10$ см.
Тогда сумма «выступов» по краям:
$$AH + KD = AD - HK = 35 - 10 = 25\\text{ см}$$
Шаг 2. По теореме Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$) в прямоугольных треугольниках $ABH$ и $DCK$:
$$AH^2 + h^2 = AB^2 = 15^2 = 225$$
$$KD^2 + h^2 = CD^2 = 20^2 = 400$$
Шаг 3. Вычтем первое равенство из второго:
$$KD^2 - AH^2 = 400 - 225 = 175$$
По формуле разности квадратов ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$):
$$(KD+AH)(KD-AH) = 175$$
Поскольку $KD + AH = 25$:
$$25\\cdot(KD-AH) = 175 \\implies KD - AH = 7$$
Шаг 4. Из системы $\\{AH + KD = 25;\\; KD - AH = 7\\}$ получаем: $AH = 9$, $KD = 16$.
Шаг 5. Находим высоту $h$ по теореме Пифагора:
$$h^2 = 225 - AH^2 = 225 - 81 = 144 \\implies h = 12\\text{ см}$$
Шаг 6. Подставляем в формулу площади:
$$S = \\dfrac{10+35}{2}\\cdot 12 = \\dfrac{45}{2}\\cdot 12 = 270\\text{ см}^2$$