`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "около четырёхугольника $ABCD$, где $\\angle B = 30^{\\circ}$, $\\angle D = 150^{\\circ}$, можно описать окружность;"],
["б", "$\\cos 60^{\\circ} = -\\cos 120^{\\circ}$;"],
["в", "прямой вписанный угол опирается на диаметр;"],
["г", "в любом равнобедренном треугольнике все медианы равны между собой?"],
],
sol: `
а) $\\angle B + \\angle D = 30°+150°=180°$ ⟹ около него можно описать окружность — верно
в) Прямой вписанный угол ($90°$) опирается на диаметр — верно
г) «Все медианы равнобедренного треугольника равны» — НЕВЕРНО. В равнобедренном (но не равностороннем) треугольнике две медианы к боковым сторонам равны, а медиана к основанию — другая.
Ответ: г)
`
},
{
text: `Из $4$ кг свежих яблок получается $0{,}5$ кг сушёных.
Сколько килограммов свежих яблок надо взять, чтобы получить $4$ кг сушёных?`,
sol: `Метод прямой пропорции: если две величины прямо пропорциональны, то $\\dfrac{a_1}{b_1} = \\dfrac{a_2}{b_2}$.
Шаг 1. Обозначим $x$ — искомое количество свежих яблок (в кг), необходимое для получения $4$ кг сушёных.
Шаг 2. Так как масса сушёных яблок прямо пропорциональна массе свежих (чем больше свежих, тем больше получится сушёных), составим пропорцию:
$$\\dfrac{4\\text{ кг свежих}}{0{,}5\\text{ кг сушёных}} = \\dfrac{x}{4\\text{ кг сушёных}}$$
Шаг 3. По основному свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$$x = \\dfrac{4\\cdot 4}{0{,}5} = \\dfrac{16}{0{,}5} = 32\\text{ кг}$$
Ответ: $32$ кг свежих яблок
`
},
{
text: `Найдите $\\text{НОК}(21;\\; 63;\\; 105)$.
В ответ запишите число, обратное полученному.`,
sol: `Разложим на простые множители:
$$21 = 3\\cdot7, \\quad 63 = 3^2\\cdot7, \\quad 105 = 3\\cdot5\\cdot7$$
НОК берёт наибольшие степени каждого простого:
$$\\text{НОК} = 3^2\\cdot5\\cdot7 = 9\\cdot35 = 315$$
Обратное число: $\\dfrac{1}{315}$.
Ответ: $\\dfrac{1}{315}$
`
},
{
text: `$ABCD$ — параллелограмм, $CK$ — высота, проведённая к стороне $AD$,
$BC = 12$ см, $AK = 8$ см, $\\angle A = 120^{\\circ}$.
Найдите периметр параллелограмма.`,
sol: `
Свойство параллелограмма: противоположные стороны параллелограмма равны.
Значит, $AD = BC = 12$ см.
Шаг 1. Так как угол $A$ тупой ($120°$), основание высоты $K$, опущенной из вершины $C$ на прямую $AD$, лежит за точкой $D$, то есть $AK \\gt AD$ (см. рисунок: $AK = 8$, $AD = 12$ означает, что $K$ ближе к $A$, чем $D$, на $4$ см).
Точнее: смежный угол при вершине $D$ равен $180° - 120° = 60°$.
Шаг 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$ ($\\angle CKD = 90°$).
Угол $CDK = 180° - \\angle ADC = 180° - 60° = 120°$? Нет — высота $CK$ из $C$ падает на сторону $AD$ изнутри параллелограмма. Угол $\\angle CDA$ у параллелограмма (противоположен $\\angle B$, равен $60°$, так как соседние углы дают $180°$).
В $\\triangle CKD$: $\\cos\\angle CDK = \\dfrac{KD}{CD}$, при этом $KD = AD - AK = 12 - 8 = 4$ см.
По определению косинуса:
$$\\cos 60° = \\dfrac{KD}{CD} \\implies \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{4}{CD} \\implies CD = 8\\text{ см}$$
Шаг 3. $AB = CD = 8$ см (противоположные стороны).
Шаг 4.Формула периметра параллелограмма: $P = 2(a + b)$:
$$P = 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40\\text{ см}$$
Ответ: $40$ см
`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{t^2 + 9t - 22}{t^2 + 7t - 44}$
и найдите значение полученного выражения при $t = -6$.`,
sol: `Теорема Виета (для разложения квадратного трёхчлена): $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$, $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$.
Шаг 1. Разложим числитель $t^2 + 9t - 22$.
Ищем два числа с суммой $-9$ (по Виете $x_1 + x_2 = -p = -9$) и произведением $-22$. Это $-11$ и $2$ (так как $-11 + 2 = -9$, $-11 \\cdot 2 = -22$):
$$t^2 + 9t - 22 = (t + 11)(t - 2)$$
Шаг 2. Разложим знаменатель $t^2 + 7t - 44$.
Ищем два числа с суммой $-7$ и произведением $-44$. Это $-11$ и $4$ (так как $-11 + 4 = -7$, $-11 \\cdot 4 = -44$):
$$t^2 + 7t - 44 = (t + 11)(t - 4)$$
Шаг 3. Сокращаем общий множитель $(t + 11)$, считая $t \\neq -11$ и $t \\neq 4$:
$$\\dfrac{(t+11)(t-2)}{(t+11)(t-4)} = \\dfrac{t-2}{t-4}$$
Шаг 4. Подставляем $t = -6$ в полученное выражение:
$$\\dfrac{-6-2}{-6-4} = \\dfrac{-8}{-10} = \\dfrac{4}{5}$$
Ответ: $\\dfrac{t-2}{t-4}$; при $t=-6$ значение равно $\\dfrac{4}{5}$
`
},
{
text: `Найдите сумму всех натуральных чисел, больших $8$ и не превосходящих $188$,
которые при делении на $8$ дают в остатке $4$.`,
sol: `Формула суммы $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$.
Шаг 1. По определению деления с остатком натуральные числа, дающие при делении на $8$ остаток $4$, имеют вид $a = 8k + 4$, где $k$ — целое неотрицательное.
Шаг 2. Найдём допустимые значения $k$ из условия $8 \\lt a \\leq 188$:
$$8 \\lt 8k + 4 \\leq 188 \\implies 4 \\lt 8k \\leq 184 \\implies \\dfrac{1}{2} \\lt k \\leq 23$$
Так как $k$ целое, получаем $k = 1,\\ 2,\\ \\ldots,\\ 23$.
Шаг 3. Найдём первый и последний члены:
$$a_1 = 8\\cdot 1 + 4 = 12, \\quad a_n = 8\\cdot 23 + 4 = 188$$
Шаг 4. Числа $12,\\ 20,\\ 28,\\ \\ldots,\\ 188$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 8$.
Шаг 5. Количество членов: $n = 23$.
Шаг 6. Применим формулу суммы:
$$S = \\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \\dfrac{23\\cdot(12 + 188)}{2} = \\dfrac{23\\cdot 200}{2} = 23\\cdot 100 = 2300$$
Ответ: $2300$
`
},
{
text: `Квадратный участок земли разбили на четыре части: газон, цветник, огород и сад.
Сад и цветник — квадраты. Периметр сада — $80$ м, а цветника — $20$ м.
Чему равен периметр газона?`,
sol: `Формула периметра квадрата: $P = 4a$, откуда сторона $a = \\dfrac{P}{4}$.
Шаг 1. Находим стороны квадратных частей:
— Сторона сада: $80 \\div 4 = 20$ м.
— Сторона цветника: $20 \\div 4 = 5$ м.
Шаг 2. Сторона всего квадратного участка $= 20 + 5 = 25$ м.
Шаг 3. Газон — прямоугольник со сторонами $20$ м и $5$ м (по рисунку).
По формуле периметра прямоугольника $P = 2(a + b)$:
$$P_{\\text{газон}} = 2(20 + 5) = 50\\text{ м}$$
Ответ: $50$ м
`
},
{
text: `Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AC = 9$, $BC = 12$, $AB = 15$.
Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей треугольника.`,
sol: `
Шаг 1. Определим тип треугольника с помощью обратной теоремы Пифагора: если $a^2 + b^2 = c^2$, то треугольник прямоугольный.
$$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2 \\checkmark$$
Значит, $\\triangle ABC$ — прямоугольный, причём прямой угол лежит против гипотенузы $AB = 15$, т.е. $\\angle C = 90°$.
Шаг 2. Центр и радиус описанной окружности. Свойство: в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — это середина гипотенузы, а её радиус равен половине гипотенузы:
$$R = \\dfrac{AB}{2} = \\dfrac{15}{2} = 7{,}5\\text{ см}$$
Шаг 3. Радиус вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$:
$$r = \\dfrac{a + b - c}{2} = \\dfrac{9 + 12 - 15}{2} = \\dfrac{6}{2} = 3\\text{ см}$$
Шаг 4. Координаты центров. Поместим $C = (0;\\,0)$, $A = (9;\\,0)$, $B = (0;\\,12)$.
— Центр $O$ описанной окружности — середина $AB$: $O = \\left(\\dfrac{9}{2};\\,\\dfrac{12}{2}\\right) = (4{,}5;\\,6)$.
— Центр $I$ вписанной окружности удалён на $r = 3$ от каждого катета, значит $I = (3;\\,3)$.
Шаг 5. Расстояние между центрами по формуле расстояния между точками:
$$OI = \\sqrt{(4{,}5 - 3)^2 + (6 - 3)^2} = \\sqrt{1{,}5^2 + 3^2} = \\sqrt{2{,}25 + 9} = \\sqrt{11{,}25}$$
$$\\sqrt{11{,}25} = \\sqrt{\\dfrac{45}{4}} = \\dfrac{\\sqrt{45}}{2} = \\dfrac{3\\sqrt{5}}{2}\\text{ см}$$