VARIANTS[47] = { label: "Вариант 47", tasks: [ { text: `Определите, какое из данных равенств является верным:`, opts: [ ["а", "$\\sqrt{72} = 36\\sqrt{2}$"], ["б", "$\\sqrt{72} = 2\\sqrt{6}$"], ["в", "$\\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}$"], ["г", "$\\sqrt{72} = 12\\sqrt{2}$"], ["д", "$\\sqrt{72} = 24\\sqrt{2}$"], ], sol: `Разложим подкоренное число так, чтобы выделить полный квадрат: $$\\sqrt{72} = \\sqrt{36 \\cdot 2} = \\sqrt{36}\\cdot\\sqrt{2} = 6\\sqrt{2}.$$ Проверим остальные варианты:
$36\\sqrt{2}\\approx 50{,}9$, $2\\sqrt{6}\\approx 4{,}9$, $12\\sqrt{2}\\approx 17$, $24\\sqrt{2}\\approx 33{,}9$, а $\\sqrt{72}\\approx 8{,}49$. Совпадает только $6\\sqrt{2}$.
Ответ: в) $\\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}$.
` }, { text: `Значение выражения $\\dfrac{6^4}{6^2} + 6^1$ равно:`, opts: [ ["а", "$36$"], ["б", "$37$"], ["в", "$18$"], ["г", "$42$"], ["д", "$48$"], ], sol: `Используем свойство степеней $\\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$: $$\\dfrac{6^4}{6^2} + 6^1 = 6^{4-2} + 6 = 6^2 + 6 = 36 + 6 = 42.$$
Ответ: г) $42$.
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "диагонали любого прямоугольника взаимно перпендикулярны;"], ["б", "высота ромба равна диаметру вписанной в него окружности;"], ["в", "центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;"], ["г", "угол, равный $89^{\\circ}$, — острый?"], ], sol: `Проанализируем каждое утверждение:
Ответ: а) — утверждение неверно.
` }, { text: `При каких значениях переменной $x$ равны значения трёхчленов $5x^2 - 3x + 4$ и $3x + 3 - 4x^2$?`, sol: `Приравняем трёхчлены: $$5x^2 - 3x + 4 = 3x + 3 - 4x^2.$$ Перенесём всё в левую часть: $$5x^2 - 3x + 4 - 3x - 3 + 4x^2 = 0,$$ $$9x^2 - 6x + 1 = 0.$$ Замечаем полный квадрат: $9x^2 - 6x + 1 = (3x-1)^2$. Значит, $$(3x-1)^2 = 0 \\;\\Longrightarrow\\; 3x - 1 = 0 \\;\\Longrightarrow\\; x = \\dfrac{1}{3}.$$
Ответ: $x = \\dfrac{1}{3}$.
` }, { text: `В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\\angle B = 90^{\\circ}$, $BC = 20$ см, высота $BH = 12$ см. Найдите синус угла $A$.`, sol: ` A C B H 15 20 25 12 В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\\angle B=90^{\\circ}$) $BH$ — высота, проведённая к гипотенузе $AC$. Запишем площадь двумя способами: $$S = \\tfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot BC = \\tfrac{1}{2}\\cdot AC\\cdot BH.$$ Отсюда $AB\\cdot 20 = AC\\cdot 12$, то есть $AC = \\dfrac{5\\,AB}{3}$.
По теореме Пифагора $AB^2 + BC^2 = AC^2$: $$AB^2 + 400 = \\dfrac{25\\,AB^2}{9} \\;\\Longrightarrow\\; \\dfrac{16\\,AB^2}{9} = 400 \\;\\Longrightarrow\\; AB^2 = 225 \\;\\Longrightarrow\\; AB = 15\\text{ см}.$$ Тогда $AC = \\dfrac{5\\cdot 15}{3} = 25$ см.
Синус угла $A$ — отношение противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AC$: $$\\sin A = \\dfrac{BC}{AC} = \\dfrac{20}{25} = \\dfrac{4}{5} = 0{,}8.$$
Ответ: $\\sin A = \\dfrac{4}{5} = 0{,}8$.
` }, { text: `Упростите выражение $\\dfrac{5x+6}{x^2-4} - \\dfrac{x}{x^2-4} : \\dfrac{x}{x-2} - \\dfrac{x+2}{x-2}$.`, sol: `Порядок действий: в выражении без скобок сначала выполняется деление и умножение, а затем сложение и вычитание (слева направо). Также применяется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Шаг 1. Раскладываем $x^2 - 4$ по формуле разности квадратов: $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ ОДЗ: $x \\neq 2$, $x \\neq -2$, $x \\neq 0$ (так как в выражении есть деление на $\\dfrac{x}{x-2}$).
Шаг 2. По порядку действий сначала выполняем деление $\\dfrac{x}{x^2-4} : \\dfrac{x}{x-2}$. Делим на дробь — умножаем на обратную: $$\\dfrac{x}{(x-2)(x+2)} \\cdot \\dfrac{x-2}{x} = \\dfrac{x\\cdot(x-2)}{(x-2)(x+2)\\cdot x} = \\dfrac{1}{x+2}$$ Шаг 3. Исходное выражение принимает вид: $$\\dfrac{5x+6}{(x-2)(x+2)} - \\dfrac{1}{x+2} - \\dfrac{x+2}{x-2}$$ Шаг 4. Приводим к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$. Домножаем числители: первой дроби — на $1$, второй — на $(x-2)$, третьей — на $(x+2)$: $$\\dfrac{(5x+6) - (x-2) - (x+2)^2}{(x-2)(x+2)}$$ Шаг 5. Раскрываем скобки в числителе, применяя формулу квадрата суммы $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$: $$5x + 6 - x + 2 - (x^2 + 4x + 4) = (5x - x - 4x) + (6 + 2 - 4) - x^2 = 0 + 4 - x^2 = 4 - x^2$$ Шаг 6. Получаем: $$\\dfrac{4 - x^2}{x^2 - 4} = \\dfrac{-(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = -1$$
Ответ: $-1$ (при $x \\neq \\pm 2$ и $x \\neq 0$).
` }, { text: `График функции $f(x) = a(x-m)^2 + n$ изображён на рисунке. Используя график функции, найдите $a$, $m$ и $n$. Запишите формулу функции $y = f(x)$ в виде многочлена.`, sol: `Функция $f(x)=a(x-m)^2+n$ — парабола с вершиной в точке $(m;\\,n)$; знак $a$ определяет направление ветвей ($a>0$ — вверх, $a<0$ — вниз), а $|a|$ — «крутизну».

Алгоритм по графику: Типичный вариант (вершина $(1;\\,-4)$, ветви вниз, через точку $(0;-5)$): $m=1$, $n=-4$, $a=\\dfrac{-5-(-4)}{(0-1)^2} = -1$. $$f(x) = -(x-1)^2 - 4 = -x^2 + 2x - 1 - 4 = -x^2 + 2x - 5.$$
Ответ: $a$, $m$, $n$ снимаются с графика по вершине $(m;n)$ и контрольной точке; $f(x)=ax^2-2am\\,x+(am^2+n)$. Например, при вершине $(1;-4)$ и $a=-1$: $f(x)=-x^2+2x-5$.
` }, { text: `Найдите сумму целых решений системы неравенств $$\\begin{cases} 9 - 4x < 0, \\\\[4pt] x^2 - 5x \\leq -4. \\end{cases}$$`, sol: `1) Первое неравенство: $$9 - 4x < 0 \\;\\Longrightarrow\\; 4x > 9 \\;\\Longrightarrow\\; x > 2{,}25.$$ 2) Второе неравенство: $$x^2 - 5x + 4 \\leq 0.$$ Корни квадратного трёхчлена: $x_{1,2} = \\dfrac{5\\pm\\sqrt{25-16}}{2} = \\dfrac{5\\pm 3}{2}$, то есть $x_1=1$, $x_2=4$. Так как ветви параболы $y=x^2-5x+4$ направлены вверх, неравенство $\\leq 0$ выполняется между корнями: $1 \\leq x \\leq 4$.
3) Пересечение: $x>2{,}25$ и $1\\leq x\\leq 4$ дают $2{,}25 < x \\leq 4$.
4) Целые решения: $x=3$ и $x=4$.
Сумма: $3+4=7$.
Ответ: $7$.
` }, { text: `Для перевозки партии щебня массой $1008$ т фирма использует самосвал МАЗ-5551. По плану норма перевозки ежедневно должна увеличиваться на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено $40$ т щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за $12$ дней.`, sol: `Метод арифметической прогрессии. По условию норма ежедневно увеличивается на одно и то же число тонн, значит дневные объёмы образуют арифметическую прогрессию.
Формулы арифметической прогрессии:
— $n$-й член: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.
— Сумма первых $n$ членов: $S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\\cdot n$.
Шаг 1. По условию $a_1 = 40$ т (за первый день), $n = 12$ дней, $S_{12} = 1008$ т (вся партия). Разность $d$ — неизвестна.
Шаг 2. Подставим в формулу суммы: $$S_{12} = \\dfrac{2\\cdot 40 + 11d}{2}\\cdot 12 = 6\\cdot(80 + 11d)$$ По условию $S_{12} = 1008$: $$6(80 + 11d) = 1008 \\implies 80 + 11d = 168 \\implies 11d = 88 \\implies d = 8$$ Шаг 3. Находим объём за девятый день по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$: $$a_9 = 40 + (9 - 1)\\cdot 8 = 40 + 64 = 104\\text{ т}$$
Ответ: $104$ т.
` }, { text: `$ABCD$ — прямоугольник, точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно, $MK \\| AD$. Диагональ $BD$ пересекает отрезок $MK$ в точке $P$. $S_{BMP} = 4$ см², $S_{PKD} = 9$ см². Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.`, sol: ` A B C D M K P S = 4 S = 9 BM=p AM=q Идея. $MK\\perp AB$ (т.к. $MK\\parallel AD$ и $AD\\perp AB$). Значит $\\triangle BMP$ — прямоугольный (∠M=90°), $\\triangle DKP$ — прямоугольный (∠K=90°).
Шаг 1. Подобие. $\\triangle BMP \\sim \\triangle BAD$ (по двум углам: ∠B общий, $MP\\parallel AD$). Аналогично $\\triangle DKP\\sim\\triangle DCB$.
Введём $BM=p$, $AM=q$. Так как $K$ под $M$: $DK=AM=q$. Высота прямоугольника $h=AD$.
Из подобия: $$MP = \\dfrac{BM}{BA}\\cdot AD = \\dfrac{p\\,h}{p+q}, \\quad PK = \\dfrac{DK}{DC}\\cdot CB = \\dfrac{q\\,h}{p+q}$$ Шаг 2. Площади. $$S_{BMP} = \\dfrac{1}{2}\\cdot p\\cdot\\dfrac{ph}{p+q} = \\dfrac{p^2 h}{2(p+q)} = 4$$ $$S_{DKP} = \\dfrac{1}{2}\\cdot q\\cdot\\dfrac{qh}{p+q} = \\dfrac{q^2 h}{2(p+q)} = 9$$ Шаг 3. Делим: $\\dfrac{p^2}{q^2}=\\dfrac{4}{9}$ → $\\dfrac{p}{q}=\\dfrac{2}{3}$. Пусть $p=2t$, $q=3t$.
Из первого уравнения: $$\\dfrac{4t^2 h}{2\\cdot5t} = \\dfrac{2th}{5}=4 \\implies th=10$$ Шаг 4. Площадь прямоугольника. $$S_{ABCD} = (p+q)\\cdot h = 5t\\cdot h = 5\\cdot10 = 50\\text{ см}^2$$ Универсальная формула: $S_{ABCD} = 2\\bigl(\\sqrt{S_{BMP}}+\\sqrt{S_{DKP}}\\bigr)^{2} = 2(2+3)^2 = 50$.
Ответ: $S_{ABCD} = 50$ см²
` }, ] };