VARIANTS[55] = { label: "Вариант 55", tasks: [ { text: `Определите, какое из данных выражений НЕ имеет смысла при $x = 0$:`, opts: [ ["а", "$\\dfrac{5x}{x^2+49}$"], ["б", "$4\\sqrt{x}-6x$"], ["в", "$\\dfrac{x-6}{2x}$"], ["г", "$\\dfrac{x}{x-9}$"], ["д", "$\\dfrac{x}{\\sqrt{x}-1}$"], ], sol: `Подставим $x=0$ в каждое выражение и проверим, определено ли оно:
Ответ: в) $\\dfrac{x-6}{2x}$.
` }, { text: `Запись числового выражения $\\dfrac{7^{13}}{7^6 \\cdot 7^5}$ в виде степени с основанием $7$ имеет вид:`, opts: [ ["а", "$7^1$"], ["б", "$7^{26}$"], ["в", "$7^3$"], ["г", "$7^4$"], ["д", "$7^5$"], ], sol: `Применяем свойства степеней: $$\\dfrac{7^{13}}{7^6\\cdot 7^5}=\\dfrac{7^{13}}{7^{6+5}}=\\dfrac{7^{13}}{7^{11}}=7^{13-11}=7^2.$$ Замечание: в предложенных вариантах нет $7^2$. Возможно, в условии опечатка (например, должно быть $7^{14}$ — тогда $\\dfrac{7^{14}}{7^{11}}=7^3$ и подходит вариант в)).
Ответ: $7^2$ (в предложенных вариантах отсутствует; вероятно, опечатка — тогда в) $7^3$).
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "прямой угол равен $90^{\\circ}$;"], ["б", "если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то наклонная меньше перпендикуляра;"], ["в", "углы при большем основании равнобедренной трапеции равны между собой;"], ["г", "у квадрата все углы равны между собой?"], ], sol: `Проверим каждое утверждение:
Ответ: б).
` }, { text: `В библиотеке $12\\%$ всех книг — словари. Какое количество книг в библиотеке, если словарей $900$?`, sol: `Пусть всего книг $N$. По условию $12\\%$ от $N$ равно $900$: $$0{,}12\\cdot N=900\\;\\implies\\; N=\\dfrac{900}{0{,}12}=\\dfrac{900\\cdot 100}{12}=\\dfrac{90000}{12}=7500.$$
Ответ: $7500$ книг.
` }, { text: `Постройте график функции $y = \\dfrac{2}{x} + 1$. Определите целое число, которое не принадлежит области значений функции.`, sol: `График функции $y=\\dfrac{2}{x}+1$ — гипербола, полученная из $y=\\dfrac{2}{x}$ сдвигом вверх на $1$. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная) и $y=1$ (горизонтальная).

Найдём область значений. Из равенства $y=1+\\dfrac{2}{x}$ выразим $\\dfrac{2}{x}=y-1$. Так как $\\dfrac{2}{x}\\neq 0$ (числитель $2\\neq 0$), то $y-1\\neq 0$, то есть $y\\neq 1$.
Значит, $E(y)=(-\\infty;1)\\cup(1;+\\infty)$. Целое число, которое не принадлежит области значений, — это $y=1$. y = 1 1 2 −1 −2 1 3 2 −1 x y (−2; 0) (1; 3) (2; 2) (−1; −1)
Ответ: $y=1$.
` }, { text: `Найдите радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$.`, sol: `Теорема синусов: в любом треугольнике $$\\dfrac{a}{\\sin\\alpha} = 2R,$$ где $a$ — сторона, $\\alpha$ — угол, противолежащий этой стороне, $R$ — радиус описанной окружности.
Шаг 1. В правильном (равностороннем) треугольнике все углы равны $60^{\\circ}$, поэтому угол, противолежащий стороне $a$, равен $60^{\\circ}$.
Шаг 2. Применяем теорему синусов: $$\\dfrac{a}{\\sin 60^{\\circ}} = 2R \\implies R = \\dfrac{a}{2 \\sin 60^{\\circ}}.$$ Шаг 3. Подставляем табличное значение $\\sin 60^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$: $$R = \\dfrac{a}{2 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\dfrac{a}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}.$$ (Последний шаг — умножение числителя и знаменателя на $\\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.)
R A B C O a
Ответ: $R=\\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}$.
` }, { text: `Решите систему неравенств $$\\begin{cases} 3 - x > 0, \\\\[4pt] 11x - 3x^2 + 14 \\geq 0 \\end{cases}$$ и определите количество натуральных решений системы.`, sol: `Первое неравенство: $3-x>0\\;\\implies\\; x<3$.
Второе неравенство: умножим на $-1$ (знак неравенства меняется): $$11x-3x^2+14\\geq 0\\;\\Leftrightarrow\\; 3x^2-11x-14\\leq 0.$$ Корни уравнения $3x^2-11x-14=0$: $D=121+168=289=17^2$, $$x=\\dfrac{11\\pm 17}{6}\\;\\implies\\; x_1=-1,\\quad x_2=\\dfrac{28}{6}=\\dfrac{14}{3}.$$ Парабола ветвями вверх, поэтому $3x^2-11x-14\\leq 0$ при $-1\\leq x\\leq \\dfrac{14}{3}$.

Пересечение: $-1\\leq x<3$.
Натуральные решения (целые $\\geq 1$): $x=1,\\;2$. Их 2.
Ответ: $x\\in[-1;3)$; натуральных решений $2$ (числа $1$ и $2$).
` }, { text: `Строительный подрядчик планирует купить $4$ т $300$ кг одинарного облицовочного кирпича. Масса одного кирпича — $4{,}3$ кг. Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант покупки у одного из трёх поставщиков:

ПоставщикЦена, р./шт.Доставка, р.Условие
А1,70700—
Б1,80600При заказе свыше 1500 р. — доставка бесплатно
В1,90500При заказе свыше 1600 р. — доставка со скидкой 50%
`, sol: `Количество кирпичей: $4$ т $300$ кг $=4300$ кг. $$N=\\dfrac{4300}{4{,}3}=1000\\text{ штук}.$$ Поставщик А: $1000\\cdot 1{,}70+700=1700+700=\\mathbf{2400}$ р.
Поставщик Б: стоимость кирпича $1000\\cdot 1{,}80=1800$ р. Так как $1800>1500$, доставка бесплатна. Итого $\\mathbf{1800}$ р.
Поставщик В: $1000\\cdot 1{,}90=1900$ р. Так как $1900>1600$, доставка со скидкой $50\\%$: $\\dfrac{500}{2}=250$ р. Итого $1900+250=\\mathbf{2150}$ р.

Сравниваем: $1800<2150<2400$. Самый дешёвый — поставщик Б.
Ответ: $1800$ р. (поставщик Б).
` }, { text: `Решите уравнение $\\dfrac{6}{x^2-36} + \\dfrac{1}{x^2-12x+36} + \\dfrac{1}{2x+12} = 0$.`, sol: `Формулы: разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$; квадрат разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Шаг 1. Раскладываем знаменатели. $$x^2 - 36 = (x-6)(x+6),\\quad x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2,\\quad 2x + 12 = 2(x+6).$$ Шаг 2. Находим ОДЗ.
Знаменатели не должны быть равны нулю: $x \\neq 6,\\; x \\neq -6$.
Шаг 3. Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель $2(x-6)^2(x+6)$.
Получаем (после сокращений): $$12(x-6) + 2(x+6) + (x-6)^2 = 0.$$ Шаг 4. Раскрываем скобки. $$12x - 72 + 2x + 12 + x^2 - 12x + 36 = 0,$$ $$x^2 + 2x - 24 = 0.$$ Шаг 5. Решаем квадратное уравнение.
Дискриминант: $D = 4 + 96 = 100$, $\\sqrt{D} = 10$. $$x = \\dfrac{-2 \\pm 10}{2} \\implies x_1 = 4,\\; x_2 = -6.$$ Шаг 6. Проверяем по ОДЗ.
$x = -6$ не входит в ОДЗ — отбрасываем. Остаётся $x = 4$.
Ответ: $x=4$.
` }, { text: `Основания трапеции равны $5$ см и $10$ см, диагонали трапеции равны $13$ см и $14$ см. Найдите площадь трапеции.`, sol: `Пусть в трапеции $ABCD$: $BC=5$, $AD=10$, $AC=13$, $BD=14$.
Метод параллельного переноса диагонали. Перенесём диагональ $BD$ параллельно на вектор $\\overrightarrow{BC}$: точка $B$ перейдёт в $C$, точка $D$ — в новую точку $D'$ на прямой $AD$. Тогда $CD'=BD=14$ и $DD'=BC=5$, поэтому $$AD'=AD+DD'=10+5=15.$$ В треугольнике $ACD'$ известны все три стороны: $AC=13$, $CD'=14$, $AD'=15$.
Площадь трапеции равна площади треугольника $ACD'$ (так как $BCDD'$ — параллелограмм, и площадь $\\triangle BCD$ равна площади $\\triangle DCD'$).
По формуле Герона: $p=\\dfrac{13+14+15}{2}=21$, $$S=\\sqrt{21\\cdot(21-13)\\cdot(21-14)\\cdot(21-15)}=\\sqrt{21\\cdot 8\\cdot 7\\cdot 6}=\\sqrt{7056}=84.$$ A B C D D' AD=10 BC=5 AC=13 BD=14 CD'=14 DD'=5 △ACD' (13-14-15)
Ответ: $S=84$ см².
` }, ] };