VARIANTS[58] = { label: "Вариант 58", tasks: [ { text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = -2$:`, figure: ``, sol: `Уравнение $y = -2$ задаёт постоянную функцию. Граф — горизонтальная прямая через $(0;\\,-2)$.
Ответ: горизонтальная прямая $y=-2$, параллельная оси $Ox$, проходящая через $(0;\\,-2)$.
` }, { text: `Определите, какой из данных одночленов записан в стандартном виде:`, opts: [ ["а", "$-a \\cdot \\dfrac{1}{4} \\cdot b \\cdot c$"], ["б", "$5abcc$"], ["в", "$0{,}5a^7bc^2$"], ["г", "$0{,}35a^3b \\cdot 2c$"], ["д", "$a^4b \\cdot 2cb$"], ], sol: `Стандартный вид: один коэффициент, каждая переменная один раз. в) $0{,}5a^7bc^2$ — ✓
Ответ: в) $0{,}5a^7bc^2$
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "$\\cos 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$;"], ["б", "площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними;"], ["в", "сумма углов прямоугольника равна $300^{\\circ}$;"], ["г", "площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$?"], ], sol: `Сумма углов четырёхугольника $=360^{\\circ}$, а не $300^{\\circ}$ — НЕВЕРНО.
Ответ: в)
` }, { text: `Известно, что функция $y = f(x)$ нечётная и $f(-3) = 4$, $f(-5) = -8$. Найдите значение выражения $f(3) + f(5)$.`, sol: `Для нечётной функции $f(-x)=-f(x)$: $f(3)=-f(-3)=-4$; $f(5)=-f(-5)=8$. Сумма: $-4+8=4$.
Ответ: $4$
` }, { text: `Коробка конфет кондитерской фабрики «Спартак» стоит $15$ р. $50$ к. Какое наибольшее количество коробок можно купить на $150$ р.?`, sol: `Метод составления неравенства по условию: общая стоимость покупки не должна превосходить имеющейся суммы.
Шаг 1. Переводим цену в рубли: $15$ р. $50$ к. $= 15{,}50$ р.
Шаг 2. Пусть $n$ — число коробок. Стоимость $n$ коробок равна $15{,}50\\,n$ рублей. По условию её хватает на $150$ р., значит $$15{,}50\\,n \\leq 150.$$ Шаг 3. Делим обе части на положительное число $15{,}50$: $$n \\leq \\dfrac{150}{15{,}50} = 9{,}677\\ldots$$ Шаг 4. Так как $n$ — натуральное (количество коробок), наибольшее значение $n=9$.
Шаг 5. Проверим: $9\\cdot 15{,}50 = 139{,}50$ р. $\\leq 150$ р. — подходит; а $10\\cdot 15{,}50 = 155$ р. $\\gt 150$ р. — не подходит.
Ответ: $9$ коробок
` }, { text: `Около квадрата, периметр которого равен $12$ см, описана окружность. Найдите длину этой окружности.`, sol: `Формула периметра квадрата: $P = 4a$.
Свойство описанной окружности: у окружности, описанной около квадрата, диаметр равен диагонали квадрата, поэтому радиус $R = \\dfrac{a\\sqrt{2}}{2}$, где $a$ — сторона квадрата.
Формула длины окружности: $C = 2\\pi R$.
Шаг 1. Находим сторону квадрата.
$$P = 4a = 12 \\implies a = 3\\text{ см}.$$ Шаг 2. Находим радиус описанной окружности. $$R = \\dfrac{a\\sqrt{2}}{2} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{2}\\text{ см}.$$ Шаг 3. Находим длину окружности. $$C = 2\\pi R = 2\\pi \\cdot \\dfrac{3\\sqrt{2}}{2} = 3\\pi\\sqrt{2}\\text{ см}.$$ A B C D R O a = 3
Ответ: $C=3\\pi\\sqrt{2}$ см
` }, { text: `Найдите наибольшее целое значение переменной, при котором сумма дробей $\\dfrac{2x-1}{5}$ и $\\dfrac{3-4x}{7}$ неотрицательна.`, sol: `Метод решения линейного неравенства с дробями: приводим к общему знаменателю, домножаем на положительное число (знак не меняется), решаем.
Шаг 1. «Неотрицательна» значит «не меньше нуля», то есть $\\geq 0$. Записываем: $$\\dfrac{2x-1}{5} + \\dfrac{3-4x}{7} \\geq 0.$$ Шаг 2. Приводим к общему знаменателю $35$: $$\\dfrac{7(2x-1) + 5(3-4x)}{35} \\geq 0.$$ Шаг 3. Раскрываем скобки в числителе: $$\\dfrac{14x-7+15-20x}{35} \\geq 0 \\iff \\dfrac{-6x+8}{35} \\geq 0.$$ Шаг 4. Так как $35\\gt 0$, неравенство равносильно тому, что числитель $\\geq 0$: $$-6x+8 \\geq 0 \\iff -6x \\geq -8 \\iff x \\leq \\dfrac{4}{3}$$ (при делении на отрицательное число $-6$ знак меняется).
Шаг 5. Наибольшее целое $x$, удовлетворяющее $x\\leq \\dfrac{4}{3}\\approx 1{,}33$, — это $x=1$.
Ответ: $1$
` }, { text: `Упростите выражение $\\left(\\dfrac{18}{5-\\sqrt{7}} - \\dfrac{44}{7-\\sqrt{5}} - \\dfrac{2}{\\sqrt{7}+\\sqrt{5}}\\right)^{\\!2}$.`, sol: `Метод рационализации знаменателя: умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, используя формулу $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Шаг 1. Преобразуем первую дробь. Сопряжённое к $5-\\sqrt{7}$ — это $5+\\sqrt{7}$: $$\\dfrac{18}{5-\\sqrt{7}} = \\dfrac{18(5+\\sqrt{7})}{25-7} = \\dfrac{18(5+\\sqrt{7})}{18} = 5+\\sqrt{7}.$$ Шаг 2. Преобразуем вторую дробь. Сопряжённое к $7-\\sqrt{5}$ — это $7+\\sqrt{5}$: $$\\dfrac{44}{7-\\sqrt{5}} = \\dfrac{44(7+\\sqrt{5})}{49-5} = \\dfrac{44(7+\\sqrt{5})}{44} = 7+\\sqrt{5}.$$ Шаг 3. Преобразуем третью дробь. Сопряжённое к $\\sqrt{7}+\\sqrt{5}$ — это $\\sqrt{7}-\\sqrt{5}$: $$\\dfrac{2}{\\sqrt{7}+\\sqrt{5}} = \\dfrac{2(\\sqrt{7}-\\sqrt{5})}{7-5} = \\dfrac{2(\\sqrt{7}-\\sqrt{5})}{2} = \\sqrt{7}-\\sqrt{5}.$$ Шаг 4. Подставляем и приводим подобные: $$(5+\\sqrt{7})-(7+\\sqrt{5})-(\\sqrt{7}-\\sqrt{5}) = 5+\\sqrt{7}-7-\\sqrt{5}-\\sqrt{7}+\\sqrt{5} = -2.$$ Шаг 5. Возводим в квадрат: $(-2)^2 = 4$.
Ответ: $4$
` }, { text: `Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ взята некоторая точка $M$. Отрезок $DM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $K$. Площади треугольников $MCK$ и $DCK$ равны соответственно $4$ см² и $6$ см². Найдите площадь параллелограмма.`, sol: ` A B C D M K 4 6 Используемые факты: Шаг 1. Отношение $MK : KD$.
Треугольники $MCK$ и $DCK$ имеют общую вершину $C$, а их основания $MK$ и $KD$ лежат на одной прямой $DM$. Значит, их площади относятся как длины оснований: $$\\dfrac{S_{MCK}}{S_{DCK}} = \\dfrac{MK}{KD} = \\dfrac{4}{6} = \\dfrac{2}{3}.$$ Шаг 2. Подобие $\\triangle CKM \\sim \\triangle AKD$.
Так как $BC \\parallel AD$, то $\\angle KCM = \\angle KAD$ (накрест лежащие при секущей $AC$), а $\\angle CKM = \\angle AKD$ (вертикальные). По признаку подобия по двум углам: $$\\dfrac{CM}{AD} = \\dfrac{KM}{KD} = \\dfrac{2}{3} \\implies CM = \\dfrac{2}{3} AD.$$ Шаг 3. Площадь $\\triangle CDM$. $$S_{CDM} = S_{MCK} + S_{DCK} = 4 + 6 = 10\\text{ см}^2.$$ Шаг 4. Связь с высотой параллелограмма.
Пусть $h$ — высота параллелограмма, опущенная на $BC$ (она же высота $\\triangle CDM$ из вершины $D$): $$S_{CDM} = \\dfrac{1}{2} \\cdot CM \\cdot h = \\dfrac{1}{2} \\cdot \\dfrac{2}{3} AD \\cdot h = \\dfrac{1}{3} AD \\cdot h.$$ Значит, $AD \\cdot h = 3 \\cdot 10 = 30$.
Шаг 5. Площадь параллелограмма. $$S_{ABCD} = AD \\cdot h = 30\\text{ см}^2.$$
Ответ: $30$ см²
` }, { text: `Решите систему уравнений $$\\begin{cases} xy - x - y = 5, \\\\[4pt] x^2 + y^2 - x - y = 18. \\end{cases}$$`, sol: `Тождество: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, поэтому $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.
Обратная теорема Виета: если $x + y = s$ и $xy = p$, то $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - st + p = 0$.
Шаг 1. Замена $s = x + y$.
Из первого уравнения: $xy - s = 5 \\implies xy = s + 5$.
Из второго уравнения: $x^2 + y^2 - s = 18 \\implies x^2 + y^2 = s + 18$.
Шаг 2. Применяем тождество. $$x^2 + y^2 = s^2 - 2xy \\implies s + 18 = s^2 - 2(s+5).$$ Шаг 3. Получаем квадратное уравнение относительно $s$. $$s + 18 = s^2 - 2s - 10 \\implies s^2 - 3s - 28 = 0.$$ Дискриминант: $D = 9 + 112 = 121 = 11^2$, корни $s_1 = 7,\\; s_2 = -4$.
Шаг 4. Случай 1: $s = 7$.
Тогда $xy = 7 + 5 = 12$. По обратной теореме Виета $x, y$ — корни $t^2 - 7t + 12 = 0$, то есть $t = 3$ или $t = 4$.
Получаем $(x; y) = (3; 4)$ или $(4; 3)$.
Проверка: $3 \\cdot 4 - 3 - 4 = 12 - 7 = 5$ ✓; $9 + 16 - 7 = 18$ ✓.
Шаг 5. Случай 2: $s = -4$.
Тогда $xy = -4 + 5 = 1$. По обратной теореме Виета $x, y$ — корни $t^2 + 4t + 1 = 0$.
Дискриминант: $D = 16 - 4 = 12$, корни $t = \\dfrac{-4 \\pm 2\\sqrt{3}}{2} = -2 \\pm \\sqrt{3}$.
Получаем $(x; y) = (-2 + \\sqrt{3};\\, -2 - \\sqrt{3})$ или $(-2 - \\sqrt{3};\\, -2 + \\sqrt{3})$.
Ответ: $(3;\\,4),\\ (4;\\,3),\\ (-2+\\sqrt{3};\\,-2-\\sqrt{3}),\\ (-2-\\sqrt{3};\\,-2+\\sqrt{3})$
` }, ] };