VARIANTS[80] = { label: "Вариант 80", tasks: [ { text: `Определите наименьшее из значений числовых выражений:`, opts: [ ["а", "$3^2$"], ["б", "$3^{-2}$"], ["в", "$3^{-1}$"], ["г", "$(-3)^0$"], ["д", "$\\left(\\dfrac{1}{8}\\right)^{-1}$"], ], sol: `а)$9$; б)$\\dfrac{1}{9}$; в)$\\dfrac{1}{3}$; г)$1$; д)$8$. Наименьшее $\\dfrac{1}{9}$.
Ответ: б) $3^{-2}=\\dfrac{1}{9}$
` }, { text: `Наименьшим целым решением неравенства $2x > -3$ является:`, opts: [ ["а", "$1$"], ["б", "$-1{,}5$"], ["в", "$-2$"], ["г", "$-1$"], ["д", "$0$"], ], sol: `$2x > -3 \\implies x > -1{,}5$. Наименьшее целое, строго большее $-1{,}5$: $x=-1$.
Ответ: г) $-1$
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = a h_a$;"], ["б", "если диагонали трапеции равны, то она — равнобедренная;"], ["в", "$\\operatorname{tg} 45^{\\circ} = 1$;"], ["г", "окружность, вписанная в четырёхугольник, проходит через все его вершины?"], ], sol: `а) верно; б) верно; в) верно.
г) НЕВЕРНО — вписанная окружность касается сторон, а не проходит через вершины (через вершины проходит описанная).
Ответ: г)
` }, { text: `Упростите выражение $\\dfrac{t^2-b^2}{t-b} - (2t+b)$ и найдите его значение при $t = -12$.`, sol: `$\\dfrac{(t-b)(t+b)}{t-b}-(2t+b)=(t+b)-(2t+b)=-t$ (при $t\\neq b$).
При $t=-12$: $-(-12)=12$.
Ответ: $-t$;  при $t=-12$ значение равно $12$
` }, { text: `При каком значении $x$ числа $x-4$, $2x-4$, $5x+2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии?`, sol: `Характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый член (начиная со второго) равен среднему арифметическому соседних. Если $a$, $b$, $c$ — три последовательных члена АП, то $2b = a + c$.
Шаг 1. Применим свойство для $a = x-4$, $b = 2x-4$, $c = 5x+2$: $$2(2x - 4) = (x - 4) + (5x + 2).$$ Шаг 2. Раскроем скобки и приведём подобные: $$4x - 8 = 6x - 2.$$ Шаг 3. Перенесём $x$-ы в одну часть, числа в другую: $$4x - 6x = -2 + 8,$$ $$-2x = 6.$$ Шаг 4. Разделим на $-2$: $$x = -3.$$ Проверка. При $x = -3$ члены: $x-4 = -7$, $2x-4 = -10$, $5x+2 = -13$. Разности: $-10-(-7) = -3$, $-13-(-10) = -3$ — равны, прогрессия ✓.
Ответ: $x=-3$
` }, { text: `Найдите площадь треугольника $ABC$, если размеры одной клетки $1$ см $\\times$ $1$ см.`, figure: ``, sol: `Формула площади треугольника по координатам вершин (формула «шнурков»): $$S = \\dfrac{1}{2}\\bigl|x_{A}(y_{B}-y_{C}) + x_{B}(y_{C}-y_{A}) + x_{C}(y_{A}-y_{B})\\bigr|.$$ Альтернатива — метод «описанного прямоугольника»: описать вокруг треугольника прямоугольник со сторонами по линиям клеток; его площадь подсчитать по клеткам, а затем вычесть площади трёх прямоугольных треугольников, отсекаемых по углам.
Шаг 1. По рисунку определить координаты вершин $A$, $B$, $C$ в клетках.
Шаг 2. Подставить координаты в формулу или применить метод описанного прямоугольника.
Шаг 3. Поскольку клетка имеет размер $1\\times 1$ см, площадь сразу получается в см².
Ответ: определяется по рисунку
` }, { text: `Из всех учащихся, участвующих в спортивных соревнованиях, семиклассников было $8$, учащихся восьмых классов — $10$, девятых — $12$, десятых — $14$, одиннадцатиклассников — $16$. Какой процент всех участников составили учащиеся X–XI классов?`, sol: `Формула вычисления процентного отношения: чтобы найти, какой процент составляет число $a$ от числа $b$, надо отношение $\\dfrac{a}{b}$ умножить на $100\\%$.
Шаг 1. Найдём общее число участников, сложив количество учащихся всех классов: $$N = 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 60.$$ Шаг 2. Найдём число учащихся X–XI классов (десятиклассников и одиннадцатиклассников): $$N_{10-11} = 14 + 16 = 30.$$ Шаг 3. Найдём процентное отношение: $$\\dfrac{N_{10-11}}{N}\\cdot 100\\% = \\dfrac{30}{60}\\cdot 100\\% = \\dfrac{1}{2}\\cdot 100\\% = 50\\%.$$
Ответ: $50\\%$
` }, { text: `Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы $y = -x^2 + 3$ и прямой $y = -2x - 5$.`, sol: `Метод поиска точек пересечения графиков: в точках пересечения значения функций совпадают — приравниваем правые части.
Теорема Виета (обратная): если $x_{1}+x_{2}=-p$ и $x_{1}\\cdot x_{2}=q$, то $x_{1}$, $x_{2}$ — корни уравнения $x^{2}+px+q=0$.
Шаг 1. Приравняем правые части: $$-x^2 + 3 = -2x - 5.$$ Шаг 2. Перенесём всё в левую часть и приведём к стандартному виду. Удобнее сразу умножить на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным: $$x^2 - 2x - 8 = 0.$$ Шаг 3. По теореме Виета ищем два числа, у которых сумма $2$, произведение $-8$. Подходят $4$ и $-2$. Значит, $(x-4)(x+2) = 0$, откуда $x_{1} = 4$, $x_{2} = -2$.
Шаг 4. Найдём ординаты, подставив корни в уравнение прямой $y = -2x - 5$: $$\\text{при } x = 4:\\;\\; y = -2\\cdot 4 - 5 = -8 - 5 = -13;$$ $$\\text{при } x = -2:\\;\\; y = -2\\cdot(-2) - 5 = 4 - 5 = -1.$$
Ответ: $(4;\\,-13)$ и $(-2;\\,-1)$
` }, { text: `В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 5$ см, $AD = 12$ см. В треугольники $ABC$ и $ADC$ вписаны окружности, которые касаются диагонали $AC$ в точках $M$ и $K$. Найдите длину отрезка $MK$.`, figure: ``, sol: `Диагональ $AC = \\sqrt{AB^2+BC^2} = \\sqrt{25+144} = \\sqrt{169} = 13$ см.
Оба треугольника $ABC$ и $ACD$ прямоугольные с катетами $5$ и $12$, гипотенузой $13$.
Шаг 1. Радиус вписанной окружности: $r = \\dfrac{5+12-13}{2} = 2$ см
Шаг 2. В $\\triangle ABC$: касательная из $A$ = $s - BC = \\dfrac{5+12+13}{2} - 12 = 3$ см, $AM = 3$ см.
Шаг 3. В $\\triangle ACD$: касательная из $A$ = $s - CD = \\dfrac{12+5+13}{2} - 5 = 10$ см, $AK = 10$ см. $$MK = AK - AM = 10 - 3 = 7\\text{ см}$$
Ответ: $MK = 7$ см
` }, { text: `Упростите выражение $\\dfrac{|x-1| + |x+3| - |x-4|}{|2x+12|}$ при $x < -6$.`, sol: `Определение модуля: $|a| = a$ при $a \\geq 0$ и $|a| = -a$ при $a \\lt 0$.
Метод раскрытия модулей: для каждого выражения под модулем определяем знак при заданном условии на $x$, после чего снимаем модуль.
Шаг 1. Определим знаки подмодульных выражений при $x \\lt -6$. Шаг 2. Упростим числитель, подставив раскрытые модули: $$|x-1| + |x+3| - |x-4| = (1-x) + (-x-3) - (4-x).$$ Раскроем скобки (минус перед скобкой меняет знак): $$= 1 - x - x - 3 - 4 + x = -6 - x = -(x+6).$$ Шаг 3. Запишем знаменатель: $|2x+12| = -2(x+6)$.
Шаг 4. Сократим дробь. При $x \\lt -6$ имеем $x + 6 \\neq 0$, поэтому сокращение возможно: $$\\dfrac{-(x+6)}{-2(x+6)} = \\dfrac{1}{2}.$$
Ответ: $\\dfrac{1}{2}$
` }, ] };