VARIANTS[7] = {
label: "Вариант 7",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из следующих равенств верно:`,
opts: [
["а", "$a^{-4} = -4a$"],
["б", "$a^{-4} = -a^4$"],
["в", "$a^{-4} = \\dfrac{1}{a^4}$"],
["г", "$a^{-4} = -\\dfrac{4}{a}$"],
["д", "$a^{-4} = -\\dfrac{1}{a^4}$"],
],
sol: `По определению отрицательного показателя: $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^n}$.
$$a^{-4} = \\frac{1}{a^4}$$
Остальные варианты неверны: знаменатель $a^{-4}$ всегда положителен при $a\\neq 0$.
Ответ: в) $a^{-4}=\\dfrac{1}{a^4}$
`
},
{
text: `Второй член геометрической прогрессии $(b_n)$,
у которой $q = 3$ и $b_1 = \\dfrac{2}{3}$, равен:`,
opts: [
["а", "$1$"], ["б", "$2$"], ["в", "$\\dfrac{2}{9}$"],
["г", "$-2\\dfrac{1}{3}$"], ["д", "$3\\dfrac{2}{3}$"],
],
sol: `Каждый следующий член геометрической прогрессии умножается на знаменатель $q$:
$$b_2 = b_1\\cdot q = \\dfrac{2}{3}\\cdot 3 = 2$$
Ответ: б) $2$
`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "накрест лежащие углы при двух параллельных прямых и секущей равны между собой;"],
["б", "средняя линия треугольника параллельна основанию;"],
["в", "$\\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"],
["г", "если диагонали параллелограмма равны, то это обязательно квадрат?"],
],
sol: `
а) Накрест лежащие углы при ∥ прямых равны — верно
б) Средняя линия треугольника ∥ основанию — верно
в) $\\sin 30^\\circ = \\frac{1}{2}$ — верно
г) Равные диагонали → квадрат — НЕВЕРНО
Если диагонали параллелограмма равны, он является прямоугольником, но не обязательно квадратом. Прямоугольник $3\\times 4$ имеет равные диагонали, но это не квадрат.
Ответ: г)
`
},
{
text: `Определите наименьшее целое решение двойного неравенства
$-2 < \\dfrac{3x + 1}{2} \\leq 5$.`,
sol: `Умножим все части на $2$:
$$-4 < 3x+1 \\leq 10$$
Вычтем $1$:
$$-5 < 3x \\leq 9$$
Разделим на $3$:
$$-\\dfrac{5}{3} < x \\leq 3$$
$x\\in\\left(-\\dfrac{5}{3};\\,3\\right]$. Наименьшее целое число, большее $-\\dfrac{5}{3}\\approx-1{,}67$: это $-1$.
Ответ: $-1$
`
},
{
text: `В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ точка $O$ — пересечение диагоналей,
$AD = 10$ см, $AO = 6$ см, $OC = 3$ см. Найдите среднюю линию трапеции.`,
sol: `Свойство диагоналей трапеции: точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ в одном и том же отношении, равном отношению оснований.
Формула средней линии трапеции: $m = \\dfrac{AD+BC}{2}$ — полусумма оснований.
Шаг 1. Точка $O$ — пересечение диагоналей трапеции. По свойству:
$$\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AD}{BC}$$
(основания $AD$ и $BC$, точка $O$ ближе к меньшему основанию).
Шаг 2. Подставляем известные значения $AO=6$, $OC=3$, $AD=10$:
$$\\dfrac{6}{3} = \\dfrac{10}{BC}$$
$$BC = \\dfrac{10\\cdot 3}{6} = 5\\text{ см}$$
Шаг 3. Находим среднюю линию трапеции по формуле:
$$m = \\dfrac{AD + BC}{2} = \\dfrac{10+5}{2} = 7{,}5\\text{ см}$$
Ответ: $7{,}5$ см
`
},
{
text: `Упростите выражение
$$\\dfrac{x - y}{\\sqrt{x} + \\sqrt{y}} - \\dfrac{x + 4\\sqrt{xy} + 4y}{\\sqrt{x} + 2\\sqrt{y}}.$$`,
sol: `Формула разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
Идея: представляем $x$ как $(\\sqrt{x})^2$, чтобы использовать формулы сокращённого умножения и сократить дроби.
`
},
{
text: `График функции $y = g(x)$ получен из графика функции $f(x) = x^2$
сдвигом на $1$ единицу вправо вдоль оси абсцисс и на $9$ единиц вниз
вдоль оси ординат. Найдите нули функции $y = g(x)$.`,
sol: `Правило сдвига графика функции: • сдвиг на $a$ единиц вправо по оси $Ox$: $f(x) \\to f(x-a)$;
• сдвиг на $b$ единиц вниз по оси $Oy$: $f(x) \\to f(x)-b$.
Нули функции: это значения $x$, при которых $f(x)=0$ (точки пересечения графика с осью $Ox$).
Формула разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Шаг 1. Применим первый сдвиг: $f(x)=x^2$ сдвигаем на $1$ единицу вправо. По правилу получим:
$$f_1(x) = (x-1)^2$$
Шаг 2. Применим второй сдвиг: $f_1(x)$ сдвигаем на $9$ единиц вниз:
$$g(x) = (x-1)^2 - 9$$
Шаг 3. Чтобы найти нули, решаем уравнение $g(x)=0$:
$$(x-1)^2 - 9 = 0$$
$$(x-1)^2 = 9$$
Шаг 4. Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$$x-1 = \\pm 3$$
Значит, $x-1=3$ (тогда $x=4$) или $x-1=-3$ (тогда $x=-2$).
Ответ: $x = -2$ и $x = 4$
`
},
{
text: `Решите уравнение $\\dfrac{5}{x^2 - x - 6} + \\dfrac{1}{x + 2} = -1$.`,
sol: `Решение дробно-рациональных уравнений состоит из трёх шагов:
1) найти ОДЗ — все значения переменной, при которых знаменатели не равны нулю;
2) привести к общему знаменателю и упростить;
3) проверить, входят ли найденные корни в ОДЗ.
Теорема Виета (обратная): $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
Шаг 1. Разложим знаменатель первой дроби. Ищем числа с суммой $1$ и произведением $-6$. Это $3$ и $-2$:
$$x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$$
Шаг 2. Запишем ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому
$$x\\neq 3,\\quad x\\neq -2$$
Шаг 3. Умножим обе части уравнения на $(x-3)(x+2)$, чтобы избавиться от дробей:
$$5 + (x-3) = -(x-3)(x+2)$$
Шаг 4. Упрощаем:
$$x+2 = -(x^2-x-6)$$
$$x+2 = -x^2+x+6$$
$$x^2 - 4 = 0$$
Шаг 5. Решаем как разность квадратов: $(x-2)(x+2)=0 \\Rightarrow x=2$ или $x=-2$.
Шаг 6. Проверяем ОДЗ: $x=-2$ не подходит (исключён). Проверяем $x=2$ подстановкой:
$$\\dfrac{5}{4-2-6}+\\dfrac{1}{4} = \\dfrac{5}{-4}+\\dfrac{1}{4} = -1 \\checkmark$$
Ответ: $x = 2$
`
},
{
text: `Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится $7$
и в остатке $6$. Если это же двузначное число разделить на произведение его цифр,
то в частном получится $3$ и в остатке $11$. Найдите это двузначное число.`,
sol: `Запись двузначного числа: любое двузначное число можно представить как $10a+b$, где $a$ — цифра десятков ($1\\leq a\\leq 9$), $b$ — цифра единиц ($0\\leq b\\leq 9$).
Теорема о делении с остатком: если число $N$ при делении на $d$ даёт частное $q$ и остаток $r$, то $N = d\\cdot q + r$, причём $0\\leq r\\lt d$.
Формула корней квадратного уравнения: $x=\\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$, где $D=b^2-4ac$.
Шаг 1. Обозначим за $10a+b$ искомое двузначное число (где $a$ — цифра десятков, $b$ — цифра единиц).
Шаг 2. Запишем первое условие. Сумма цифр — это $a+b$. При делении $10a+b$ на $a+b$ получили частное $7$ и остаток $6$:
$$10a + b = 7(a+b) + 6$$
$$10a + b = 7a + 7b + 6$$
$$3a - 6b = 6$$
$$a = 2b + 2 \\quad (*)$$
Шаг 3. Запишем второе условие. Произведение цифр — $ab$. При делении на $ab$ получили частное $3$ и остаток $11$:
$$10a + b = 3ab + 11$$
Шаг 4. Подставим выражение $(*)$ для $a$ во второе условие:
$$10(2b+2) + b = 3(2b+2)b + 11$$
$$20b + 20 + b = 6b^2 + 6b + 11$$
$$21b + 20 = 6b^2 + 6b + 11$$
$$6b^2 - 15b - 9 = 0$$
Делим на $3$:
$$2b^2 - 5b - 3 = 0$$
Шаг 5. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $D = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$$b = \\dfrac{5\\pm 7}{4} \\implies b = 3 \\text{ или } b = -\\dfrac{1}{2}$$
Цифра должна быть целым числом от $0$ до $9$, поэтому подходит только $b=3$.
Шаг 6. Из формулы $(*)$ находим $a$:
$$a = 2\\cdot 3 + 2 = 8$$
Искомое число: $\\boldsymbol{10\\cdot 8 + 3 = 83}$.
Проверка: • сумма цифр $= 8+3 = 11$; $83:11 = 7$ (ост. $6$): $7\\cdot 11+6 = 77+6=83$ ✓;
• произведение цифр $= 8\\cdot 3 = 24$; $83:24 = 3$ (ост. $11$): $3\\cdot 24+11 = 72+11=83$ ✓.
Ответ: $83$
`
},
{
text: `Внутри параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$, такая, что
$S_{BMC} = 6$ см², $S_{AMD} = 10$ см².
Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.`,
figure: ``,
sol: `Доказательство ключевого свойства:
$$S_{\\triangle BMC} + S_{\\triangle AMD} = \\dfrac{S_{ABCD}}{2}$$
Стороны $BC \\parallel DA$ и $|BC| = |DA| = a$ (как противоположные стороны параллелограмма).
Пусть $h_1$ — расстояние от $M$ до стороны $BC$, $h_2$ — расстояние от $M$ до стороны $DA$.
Так как $BC \\parallel DA$, то $h_1 + h_2 = H$ (полное расстояние между параллельными сторонами).
$$S_{\\triangle BMC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h_1 \\qquad S_{\\triangle AMD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h_2$$
$$S_{\\triangle BMC}+S_{\\triangle AMD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot(h_1+h_2) = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot H = \\boxed{\\dfrac{S_{ABCD}}{2}}$$
Вычисление:
$$\\dfrac{S_{ABCD}}{2} = S_{\\triangle BMC}+S_{\\triangle AMD} = 6+10 = 16 \\implies S_{ABCD} = 32\\text{ см}^2$$