`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "треугольник со сторонами $3$, $4$, $5$ — прямоугольный;"],
["б", "центр описанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам;"],
["в", "если у параллелограмма диагонали равны, то это прямоугольник;"],
["г", "вписанный угол равен соответствующему центральному углу?"],
],
sol: `
а) $3^2+4^2=25=5^2$ ⟹ прямоугольный — верно
б) Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров — верно
в) Если диагонали параллелограмма равны — это прямоугольник — верно
г) «Вписанный угол равен центральному» — НЕВЕРНО. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Ответ: г)
`
},
{
text: `Последовательность $-18;\\; -16;\\; -14;\\; \\ldots$ — арифметическая прогрессия.
Продолжите её далее, записав ещё три члена прогрессии.`,
sol: `Разность прогрессии: $d = -16-(-18) = 2$.
Продолжаем, прибавляя $2$ к каждому члену:
$$-14+2=-12; \\ -12+2=-10; \\ -10+2=-8$$
Ответ: $-12;\;-10;\;-8$
`
},
{
text: `В треугольнике две стороны равны $6$ см и $10$ см,
а сумма углов, противолежащих этим сторонам, равна $120^{\\circ}$.
Найдите третью сторону треугольника.`,
sol: `Пусть $a=6$, $b=10$ — данные стороны, $\\alpha$ и $\\beta$ — углы, им противолежащие.
По условию: $\\alpha+\\beta=120°$. Значит, третий угол:
$$\\gamma = 180°-120°=60°$$
Угол $\\gamma$ заключён между сторонами $a=6$ и $b=10$.
По теореме косинусов (для стороны $c$, противолежащей углу $\\gamma=60°$):
$$c^2 = a^2+b^2-2ab\\cos\\gamma = 6^2+10^2-2\\cdot6\\cdot10\\cdot\\cos60°$$
$$c^2 = 36+100-120\\cdot\\tfrac{1}{2} = 136-60 = 76$$
$$c = \\sqrt{76} = 2\\sqrt{19}\\text{ см}$$
Ответ: $2\\sqrt{19}$ см
`
},
{
text: `После проведения профилактических мероприятий необходимо наполнить один из бассейнов
спорткомплекса объёмом $1500$ л.
Через первый кран в бассейн вливается $30$ л воды в минуту, а через второй — $20$ л в минуту.
За какое время бассейн будет наполнен, если открыть оба крана одновременно?`,
sol: `Правило совместной работы: при одновременной работе производительности (скорости наполнения) складываются. Формула времени: $t=\\dfrac{V}{v}$, где $V$ — объём, $v$ — суммарная производительность.
Шаг 1. Найдём суммарную производительность двух кранов. Так как краны работают одновременно, объёмы воды, поступающие в минуту, складываются:
$$v = 30 + 20 = 50\\text{ л/мин}.$$
Шаг 2. Делим объём бассейна на совместную производительность, чтобы найти время наполнения:
$$t = \\dfrac{V}{v} = \\dfrac{1500}{50} = 30\\text{ мин}.$$
Ответ: $30$ минут
`
},
{
text: `Найдите наибольшее целое число, принадлежащее множеству решений системы неравенств
$$\\begin{cases} \\dfrac{1}{3}(x+3) \\geq \\dfrac{6x-7}{4}, \\\\[6pt] \\dfrac{1}{4}x + 3 \\leq 6{,}5x + 2. \\end{cases}$$`,
sol: `Метод решения системы неравенств: решаем каждое неравенство отдельно, затем берём пересечение решений.
Шаг 1. Решаем первое неравенство. Умножим обе части на $12$ (общий знаменатель), чтобы избавиться от дробей:
$$\\dfrac{1}{3}(x+3) \\geq \\dfrac{6x-7}{4} \\;\\;\\bigg|\\cdot 12$$
$$4(x+3) \\geq 3(6x-7)$$
$$4x+12 \\geq 18x-21$$
$$12+21 \\geq 18x-4x$$
$$33 \\geq 14x \\;\\implies\\; x \\leq \\dfrac{33}{14}\\approx 2{,}36$$
Шаг 2. Решаем второе неравенство.
$$\\dfrac{1}{4}x + 3 \\leq 6{,}5x + 2$$
$$3-2 \\leq 6{,}5x - 0{,}25x$$
$$1 \\leq 6{,}25x \\;\\implies\\; x \\geq \\dfrac{1}{6{,}25}=\\dfrac{4}{25}=0{,}16$$
Шаг 3. Пересечение решений: $\\dfrac{4}{25}\\leq x\\leq\\dfrac{33}{14}$, то есть приблизительно $0{,}16\\leq x\\leq 2{,}36$.
Шаг 4. Среди целых чисел в промежутке $[0{,}16;\\,2{,}36]$ есть $1$ и $2$. Наибольшее из них — $x=2$.
Ответ: $2$
`
},
{
text: `Постройте график функции $y = \\dfrac{(2x-5)^2}{2x-5}$.
Определите, при каких значениях аргумента значение функции не больше $7$.`,
sol: `Правило сокращения дроби: если множитель встречается в числителе и в знаменателе, его можно сократить, но только при условии, что он не равен нулю.
Шаг 1. Найдём ОДЗ. Знаменатель не должен равняться нулю:
$$2x-5\\neq 0 \\;\\implies\\; x\\neq\\dfrac{5}{2}.$$
Шаг 2. Упростим выражение. В числителе $(2x-5)^2=(2x-5)\\cdot(2x-5)$, поэтому при $x\\neq\\dfrac{5}{2}$ один множитель $(2x-5)$ сокращается:
$$y = \\dfrac{(2x-5)^2}{2x-5} = 2x-5,\\quad x\\neq\\dfrac{5}{2}.$$
Значит, график — это прямая $y=2x-5$ с выколотой точкой при $x=\\dfrac{5}{2}$, где $y=2\\cdot\\dfrac{5}{2}-5=0$.
Шаг 3. Решаем неравенство $y\\leq 7$. Подставляем упрощённое выражение:
$$2x-5\\leq 7 \\;\\implies\\; 2x\\leq 12 \\;\\implies\\; x\\leq 6.$$
Шаг 4. Учитываем ОДЗ — точка $x=\\dfrac{5}{2}$ выколота из графика, значит её исключаем из ответа.
Ответ: $x\\leq 6$, $x\\neq\\dfrac{5}{2}$
`
},
{
text: `На плане размеры прямоугольника $32$ мм $\\times$ $25$ мм.
В реальности площадь прямоугольника равна $200$ см².
Изобразите в заданном масштабе квадрат, если по реальным измерениям
его периметр на $230$ мм больше периметра прямоугольника.`,
sol: `Шаг 1. Масштаб. Площадь прямоугольника на плане: $32\\cdot25=800$ мм². В реальности: $200$ см² $=20000$ мм².
$$k^2=\\dfrac{20000}{800}=25 \\implies k=5$$
Масштаб $1:5$ (1 мм на плане = 5 мм в реальности).
Шаг 2. Периметр прямоугольника (реальный). Реальные размеры: $32\\cdot5=160$ мм и $25\\cdot5=125$ мм.
$$P_{\\text{пр}} = 2(160+125) = 570\\text{ мм}$$
Шаг 3. Сторона квадрата.
$$P_{\\text{кв}} = 570+230 = 800\\text{ мм} \\implies a = \\dfrac{800}{4}=200\\text{ мм}$$
Шаг 4. Сторона квадрата на плане.
$$a_{\\text{план}} = \\dfrac{200}{5} = 40\\text{ мм}$$
Ответ: квадрат со стороной $40$ мм на плане ($200$ мм в реальности)
`
},
{
text: `Точка $M$ — середина стороны $BC$ квадрата $ABCD$, площадь которого равна $20$ см².
К отрезку $AM$ проведён перпендикуляр $DK$.
Найдите площадь четырёхугольника $DKMC$.`,
sol: `Пусть сторона квадрата $a$, тогда $a^2=20$.
Пусть сторона квадрата $a$, тогда $a^2=20$.
Шаг 1. Квадрат разбивается отрезком $AM$ и перпендикуляром $DK$ на три части:
$$S_{ABCD} = S_{\\triangle ABM} + S_{\\triangle ADK} + S_{DKMC}$$
Шаг 2. Находим $S_{\\triangle ABM}$. Прямой угол при $B$, катеты $AB=a$ и $BM=\\dfrac{a}{2}$:
$$S_{\\triangle ABM}=\\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot\\dfrac{a}{2}=\\dfrac{a^2}{4}=5\\text{ см}^2$$
Шаг 3. Находим $AM$. В прямоугольном $\\triangle ABM$ по теореме Пифагора:
$$AM=\\sqrt{AB^2+BM^2}=\\sqrt{a^2+\\dfrac{a^2}{4}}=\\dfrac{a\\sqrt{5}}{2}$$
Шаг 4. Находим $S_{\\triangle ADM}$. Основание $AD=a$, высота из $M$ на $AD$ = ширина квадрата $= a$:
$$S_{\\triangle ADM}=\\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot a=\\dfrac{a^2}{2}=10\\text{ см}^2$$
Шаг 5. Находим $DK$. $DK$ — высота треугольника $ADM$, проведённая к основанию $AM$:
$$S_{\\triangle ADM}=\\dfrac{1}{2}\\cdot AM\\cdot DK \\implies DK=\\dfrac{2\\cdot S_{\\triangle ADM}}{AM}=\\dfrac{2\\cdot\\dfrac{a^2}{2}}{\\dfrac{a\\sqrt{5}}{2}}=\\dfrac{2a}{\\sqrt{5}}$$
Шаг 6. Находим $AK$. В прямоугольном $\\triangle ADK$ (прямой угол при $K$) по теореме Пифагора:
$$AK=\\sqrt{AD^2-DK^2}=\\sqrt{a^2-\\dfrac{4a^2}{5}}=\\sqrt{\\dfrac{a^2}{5}}=\\dfrac{a}{\\sqrt{5}}$$
Шаг 7. Находим $S_{\\triangle ADK}$.
$$S_{\\triangle ADK}=\\dfrac{1}{2}\\cdot AK\\cdot DK=\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{a}{\\sqrt{5}}\\cdot\\dfrac{2a}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{a^2}{5}=4\\text{ см}^2$$
Шаг 8. Итог.
$$S_{DKMC}=S_{ABCD}-S_{\\triangle ABM}-S_{\\triangle ADK}=20-5-4=11\\text{ см}^2$$