`
},
{
text: `Определите промежуток, которому принадлежит значение выражения
$\\left(1\\dfrac{4}{5}+1\\right):2$:`,
opts: [
["а", "$(1;\\;2)$"], ["б", "$(2;\\;3)$"], ["в", "$(1;\\;1{,}1)$"],
["г", "$(0;\\;1)$"], ["д", "$(0;\\;0{,}5)$"],
],
sol: `Переводим смешанное число: $1\\dfrac{4}{5} = \\dfrac{9}{5}$.
$$\\left(\\dfrac{9}{5}+1\\right):2 = \\dfrac{14}{5}:2 = \\dfrac{14}{10} = \\dfrac{7}{5} = 1{,}4$$
Так как $1 < 1{,}4 < 2$, значение принадлежит промежутку $(1;\\,2)$.
Ответ: а) $(1;\\;2)$
`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту;"],
["б", "медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении $3:1$;"],
["в", "касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания;"],
["г", "катет в любом прямоугольном треугольнике всегда меньше гипотенузы?"],
],
sol: `
б) Медианы делятся точкой пересечения в отношении $\\mathbf{2:1}$ от вершины, а не $3:1$ — НЕВЕРНО
в) Касательная $\\perp$ радиусу в точке касания — верно
г) Катет $<$ гипотенузы — верно
Ответ: б)
`
},
{
text: `Решите неравенство $\\dfrac{(x-3)^2(x+1)}{(x-2)^3} \\leq 0$ и запишите ответ.`,
sol: `Числитель: $(x-3)^2\\geq0$ всегда, обнуляется при $x=3$. Знак числителя = знак $(x+1)$:
$x < -1$: числитель $< 0$
$x = -1$: числитель $= 0$
$x > -1$, $x\\neq3$: числитель $> 0$
$x = 3$: числитель $= 0$
Знаменатель: $(x-2)^3$ имеет знак $(x-2)$: отрицателен при $x<2$, равен $0$ при $x=2$ (ОДЗ: $x\\neq2$), положителен при $x>2$.
Дробь $\\leq0$:
Случай
Числитель
Знаменатель
Дробь
$x<-1$
$-$
$-$
$+$ ✗
$x=-1$
$0$
$-$
$0$ ✓
$-1\\lt x\\lt 2$
$+$
$-$
$-$ ✓
$x=2$
не определена ✗
$2\\lt x\\lt 3$
$+$
$+$
$+$ ✗
$x=3$
$0$
$+$
$0$ ✓
$x>3$
$+$
$+$
$+$ ✗
Ответ: $x\\in[-1;\\;2)\\cup\\{3\\}$
`
},
{
text: `Для украшения двух этажей поместья Деда Мороза было использовано $150$ лампочек.
Для украшения первого этажа потребовалось вдвое больше лампочек, чем для второго.
Сколько лампочек было использовано для украшения второго этажа?`,
sol: `Метод введения переменной: то, о чём спрашивают, обозначим переменной и составим уравнение по условию задачи.
Шаг 1. Пусть для украшения второго этажа использовали $x$ лампочек. По условию для первого этажа потребовалось вдвое больше, значит $2x$ лампочек.
Шаг 2. Всего на оба этажа израсходовано $150$ лампочек, значит:
$$x + 2x = 150.$$
Шаг 3. Решаем уравнение, приводя подобные слагаемые:
$$3x = 150 \\;\\implies\\; x = \\dfrac{150}{3} = 50.$$
Шаг 4. Значит, для второго этажа использовали $50$ лампочек (а для первого — $2\\cdot 50=100$, сумма $100+50=150$ — сходится с условием).
Ответ: $50$ лампочек
`
},
{
text: `Дан треугольник $ABC$, серединные перпендикуляры к его сторонам $AC$ и $BC$
пересекаются в точке $O$. Докажите, что серединный перпендикуляр к стороне $AB$
проходит через точку $O$.`,
sol: `Доказательство.
На рисунке: три серединных перпендикуляра (к $AC$, к $BC$, к $AB$) сходятся в одной точке $O$. Двойные засечки показывают $OA=OB=OC$.
Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AC$:
$$OA = OC \\quad \\text{(все точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка)}$$
Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $BC$:
$$OB = OC$$
Из двух равенств:
$$OA = OC = OB \\implies OA = OB$$
Значит, $O$ равноудалена от $A$ и $B$, то есть лежит на серединном перпендикуляре к $AB$. ∎
Доказано: $OA=OC=OB$, поэтому $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$
`
},
{
text: `Решите уравнение $0{,}2(x-2) = 2{,}5 : 0{,}5$
и запишите число, обратное корню уравнения.`,
sol: `Свойство обратного числа: число, обратное $a$ (при $a\\neq 0$), равно $\\dfrac{1}{a}$.
Шаг 1. Сначала упростим правую часть. По правилу деления: $2{,}5 : 0{,}5 = \\dfrac{2{,}5}{0{,}5} = 5$. Получаем уравнение:
$$0{,}2(x-2) = 5$$
Шаг 2. Чтобы найти $x-2$, разделим обе части на $0{,}2$:
$$x-2 = \\dfrac{5}{0{,}2} = 25$$
Шаг 3. Прибавим $2$ к обеим частям:
$$x = 25 + 2 = 27$$
Шаг 4. Число, обратное корню $x=27$, равно:
$$\\dfrac{1}{27}$$
Ответ: $\\dfrac{1}{27}$
`
},
{
text: `К задуманному числу $x$, умноженному на $4$, прибавили число, в $2$ раза большее задуманного.
Полученную сумму умножили на $5$ и от полученного произведения вычли число,
в $8$ раз большее $x$. В результате получили число $y$.
Определите вид зависимости числа $y$ от числа $x$.`,
sol: `Прямая пропорциональность: это зависимость вида $y=kx$, где $k$ — постоянное число, отличное от нуля. График такой функции — прямая, проходящая через начало координат.
Шаг 1. Запишем по условию, что значит «задуманное число $x$, умноженное на $4$»: это $4x$. Число, в $2$ раза большее задуманного, — это $2x$.
Шаг 2. Найдём сумму этих чисел:
$$4x + 2x = 6x.$$
Шаг 3. По условию полученную сумму умножили на $5$:
$$5\\cdot 6x = 30x.$$
Шаг 4. Из этого произведения вычли число, в $8$ раз большее $x$ (то есть $8x$):
$$y = 30x - 8x = 22x.$$
Шаг 5. Получили зависимость $y=22x$. Так как это запись вида $y=kx$ с $k=22\\neq 0$, перед нами прямая пропорциональность.
Ответ: прямая пропорциональность $y=22x$
`
},
{
text: `Сколько решений имеет система уравнений
$$\\begin{cases} x^2 + xy = 15, \\\\[4pt] y^2 + xy = 10? \\end{cases}$$
Ответ обоснуйте.`,
sol: `Формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
Формула разности квадратов: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.
Метод решения: комбинируя уравнения (сложение и вычитание), сводим систему к простой.
Шаг 1. Сложим уравнения почленно:
$$x^2+xy+y^2+xy = 15+10$$
$$x^2+2xy+y^2 = 25 \\;\\implies\\; (x+y)^2 = 25$$
Отсюда $x+y = 5$ или $x+y = -5$.
Шаг 2. Вычтем второе уравнение из первого:
$$x^2+xy - (y^2+xy) = 15 - 10$$
$$x^2 - y^2 = 5 \\;\\implies\\; (x-y)(x+y) = 5$$
Шаг 3. Случай 1: $x+y = 5$. Подставим в $(x-y)(x+y) = 5$:
$$(x-y)\\cdot 5 = 5 \\;\\implies\\; x-y = 1$$
Решаем систему $x+y=5$ и $x-y=1$: $x=3$, $y=2$.
Шаг 4. Случай 2: $x+y = -5$. Подставим:
$$(x-y)\\cdot (-5) = 5 \\;\\implies\\; x-y = -1$$
Решаем систему $x+y=-5$ и $x-y=-1$: $x=-3$, $y=-2$.
Шаг 5. Проверка. Для $(3;\\,2)$: $3^2+3\\cdot 2 = 9+6 = 15$ ✓, $2^2+3\\cdot 2 = 4+6 = 10$ ✓.
Для $(-3;\\,-2)$: $(-3)^2+(-3)\\cdot(-2) = 9+6 = 15$ ✓, $(-2)^2+(-3)\\cdot(-2) = 4+6 = 10$ ✓.
Получили ровно $2$ решения.
Ответ: $2$ решения — $(3;\\,2)$ и $(-3;\\,-2)$
`
},
{
text: `В параллелограмме $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны.
Высота $BH$, проведённая к стороне $AD$, пересекает диагональ $AC$ в точке $K$;
$BK = 10$ см, $KH = 6$ см. Найдите площадь параллелограмма.`,
sol: `Шаг 1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб. В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. Если они ещё и перпендикулярны, то по теореме Пифагора все стороны равны (ромб). Обозначим сторону $a$, угол $\\angle DAB = \\beta$.
Шаг 2. Диагональ $AC$ — биссектриса угла $A$ в ромбе. В ромбе диагональ делит угол пополам: $\\angle DAC = \\angle BAC = \\dfrac{\\beta}{2}$.
Шаг 3. Применяем теорему о биссектрисе к $\\triangle ABH$. В прямоугольном $\\triangle ABH$ ($\\angle H = 90°$) отрезок $AK$ является биссектрисой угла $A$ (т.к. $AK$ лежит на диагонали ромба $AC$, которая делит $\\angle BAH = \\beta$ пополам).
По теореме о биссектрисе треугольника биссектриса делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон:
$$\\dfrac{BK}{KH} = \\dfrac{AB}{AH}$$
В прямоугольном $\\triangle ABH$: $AH = AB\\cos\\beta$, поэтому:
$$\\dfrac{BK}{KH} = \\dfrac{AB}{AB\\cos\\beta} = \\dfrac{1}{\\cos\\beta}$$
$$\\cos\\beta = \\dfrac{KH}{BK} = \\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}$$
Шаг 4. Находим $\\sin\\beta$.
$$\\sin\\beta = \\sqrt{1 - \\cos^2\\beta} = \\sqrt{1 - \\dfrac{9}{25}} = \\sqrt{\\dfrac{16}{25}} = \\dfrac{4}{5}$$
Шаг 5. Находим сторону ромба $a$. В прямоугольном $\\triangle ABH$: $BH = AB\\cdot\\sin\\beta$:
$$BH = BK + KH = 10 + 6 = 16\\text{ см}$$
$$a = AB = \\dfrac{BH}{\\sin\\beta} = \\dfrac{16}{\\tfrac{4}{5}} = 20\\text{ см}$$
Шаг 6. Площадь параллелограмма.
$$S = AD\\cdot BH = a\\cdot BH = 20\\cdot16 = 320\\text{ см}^2$$