`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "если две окружности касаются, то они имеют единственную общую точку;"],
["б", "$\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"],
["в", "на плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой;"],
["г", "у любого прямоугольника все стороны равны?"],
],
sol: `Проверяем каждое утверждение:
а) верно — определение касания окружностей (внутреннего или внешнего);
б) верно — табличное значение $\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;
в) верно — транзитивность параллельности на плоскости;
г) неверно — в прямоугольнике все углы прямые, но стороны в общем случае различны (равные стороны у квадрата, являющегося частным случаем прямоугольника).
Ответ: г.
`
},
{
text: `Найдите значение выражения $\\left(2\\dfrac{3}{4}\\right)^{-2}$.
В ответ запишите противоположное ему число.`,
sol: `Превратим смешанное число в обыкновенную дробь: $2\\dfrac{3}{4} = \\dfrac{11}{4}$.
По свойству $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^{n}}$:
$$\\left(\\dfrac{11}{4}\\right)^{-2} = \\left(\\dfrac{4}{11}\\right)^{2} = \\dfrac{16}{121}.$$
Противоположное число: $-\\dfrac{16}{121}$.
Ответ: $-\\dfrac{16}{121}$.
`
},
{
text: `Вершина угла $ABC$ лежит на окружности с центром в точке $O$,
а стороны пересекают окружность в точках $A$ и $C$.
Угол $ABO$ равен $20^{\\circ}$, угол $ACO$ равен $40^{\\circ}$.
Найдите величину угла $BOC$.`,
sol: `
$OA=OB=OC=R$ (радиусы), значит треугольники $OAB$, $OAC$, $OBC$ равнобедренные, и углы при их основаниях равны.
В $\\triangle OAB$: $\\angle OAB = \\angle OBA = 20^{\\circ}$.
В $\\triangle OAC$: $\\angle OAC = \\angle OCA = 40^{\\circ}$.
Тогда $\\angle BAC = \\angle OAB + \\angle OAC = 20^{\\circ} + 40^{\\circ} = 60^{\\circ}$.
По сумме углов $\\triangle ABC$:
$$\\angle ABC + \\angle ACB = 180^{\\circ} - 60^{\\circ} = 120^{\\circ}.$$
Заметим, что $\\angle ABC = 20^{\\circ} + \\angle OBC$ и $\\angle ACB = 40^{\\circ} + \\angle OCB$. Подставляем:
$$20^{\\circ} + 40^{\\circ} + \\angle OBC + \\angle OCB = 120^{\\circ} \\implies \\angle OBC + \\angle OCB = 60^{\\circ}.$$
В $\\triangle OBC$ ($OB=OC$) углы при основании равны: $\\angle OBC = \\angle OCB = 30^{\\circ}$.
Значит $\\angle BOC = 180^{\\circ} - 30^{\\circ} - 30^{\\circ} = 120^{\\circ}$.
Ответ: $\\angle BOC = 120^{\\circ}$.
`
},
{
text: `Найдите число, $24\\%$ которого равны значению выражения $4{,}5 : 3 + 3{,}3$.`,
sol: `Правило нахождения числа по его проценту: если $p\\%$ числа $N$ равны $A$, то $N=\\dfrac{A}{p/100}$. Шаг 1. Сначала находим значение выражения. По порядку действий сначала выполняется деление, потом сложение:
$$4{,}5 : 3 + 3{,}3 = 1{,}5 + 3{,}3 = 4{,}8.$$
Шаг 2. Обозначим искомое число $N$. По условию $24\\%$ от $N$ равны $4{,}8$:
$$0{,}24\\,N = 4{,}8.$$
Шаг 3. Делим обе части на $0{,}24$:
$$N = \\dfrac{4{,}8}{0{,}24} = 20.$$
Ответ: $20$.
`
},
{
text: `График линейной функции проходит через точки $A(3;\\;6)$ и $B(0;\\;0)$.
Запишите формулу, задающую эту функцию,
и найдите значение выражения $f(1) + f(-2)$.`,
sol: `Линейная функция имеет вид $f(x) = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, $b$ — ордината точки пересечения с осью $Oy$ (значение функции при $x=0$). Шаг 1. Так как точка $B(0;\\,0)$ принадлежит графику, то $f(0)=b=0$. Значит формула имеет вид
$$f(x) = kx.$$
Шаг 2. Точка $A(3;\\,6)$ тоже принадлежит графику, поэтому $f(3)=6$. Подставляем:
$$6 = k \\cdot 3 \\implies k = 2.$$
Шаг 3. Записываем формулу: $f(x) = 2x$. Шаг 4. Находим значение выражения $f(1) + f(-2)$:
$$f(1) + f(-2) = 2\\cdot 1 + 2\\cdot(-2) = 2 - 4 = -2.$$
Ответ: $f(x) = 2x$, $\\ f(1)+f(-2) = -2$.
`
},
{
text: `Решите систему уравнений
$$\\begin{cases} 11x - 8y = -53, \\\\[4pt] 9x + 4y = -17 \\end{cases}$$
и найдите разность найденных значений $x$ и $y$.`,
sol: `Метод сложения: уравниваем коэффициенты при одной из переменных так, чтобы они стали противоположными, а при сложении уравнений она исчезла. Шаг 1. Уравниваем коэффициенты при $y$.
В первом уравнении $-8y$, во втором $4y$. Умножим второе уравнение на $2$, чтобы получить $8y$:
$$\\begin{cases} 11x - 8y = -53, \\\\ 18x + 8y = -34. \\end{cases}$$
Шаг 2. Складываем уравнения.
$y$ уничтожается:
$$29x = -87 \\implies x = -3.$$
Шаг 3. Находим $y$.
Подставим $x = -3$ во второе исходное уравнение $9x + 4y = -17$:
$$9 \\cdot (-3) + 4y = -17 \\implies -27 + 4y = -17 \\implies 4y = 10 \\implies y = 2{,}5.$$
Шаг 4. Находим разность.
$$x - y = -3 - 2{,}5 = -5{,}5.$$
Ответ: $x = -3,\\ y = 2{,}5,\\ x - y = -5{,}5$.
`
},
{
text: `Собственная скорость катера равна $28$ км/ч.
Через сколько минут катер, двигаясь по течению, догонит плот,
если он находится от плота на расстоянии $14$ км?`,
sol: `Плот плывёт со скоростью течения $v_p$ (км/ч). Катер идёт по течению, его скорость относительно берега $28 + v_p$.
Скорость сближения катера и плота:
$$(28 + v_p) - v_p = 28 \\text{ км/ч}.$$
Скорость течения сокращается, поэтому ответ от неё не зависит.
Время до встречи:
$$t = \\dfrac{14}{28} = 0{,}5\\text{ ч} = 30\\text{ мин}.$$
Ответ: через $30$ минут.
`
},
{
text: `Известно, что в равнобедренном треугольнике $ABC$ $AB = BC = 6$.
Найдите $AC$, если медиана $AM = 4$.`,
sol: `
Теорема косинусов: для любого треугольника со сторонами $a, b, c$ и углом $\\gamma$ между сторонами $a$ и $b$:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma.$$
Определение медианы: медиана $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой $M$ противоположной стороны $BC$. Идея: в $\\triangle ABM$ и $\\triangle ABC$ есть общий угол $B$. Найдём $\\cos\\angle B$ из первого треугольника, а затем используем его для второго. Шаг 1. Находим $BM$.
$M$ — середина $BC$, поэтому
$$BM = MC = \\dfrac{BC}{2} = \\dfrac{6}{2} = 3.$$
Шаг 2. Применяем теорему косинусов к $\\triangle ABM$.
Стороны $AB = 6$, $BM = 3$, $AM = 4$, угол между $AB$ и $BM$ — это $\\angle B$:
$$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BM \\cdot \\cos\\angle B,$$
$$16 = 36 + 9 - 2 \\cdot 6 \\cdot 3 \\cdot \\cos\\angle B,$$
$$16 = 45 - 36\\cos\\angle B.$$
Выражаем $\\cos\\angle B$:
$$36\\cos\\angle B = 29 \\implies \\cos\\angle B = \\dfrac{29}{36}.$$
Шаг 3. Применяем теорему косинусов к $\\triangle ABC$.
Стороны $AB = BC = 6$, угол между ними — тот же $\\angle B$:
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BC \\cdot \\cos\\angle B,$$
$$AC^2 = 36 + 36 - 2 \\cdot 6 \\cdot 6 \\cdot \\dfrac{29}{36} = 72 - 58 = 14.$$
Шаг 4. Находим $AC$.
$$AC = \\sqrt{14}\\text{ см}.$$