`
},
{
text: `Второй член арифметической прогрессии $(a_n)$,
у которой $d = 1{,}5$ и $a_1 = -0{,}5$, равен:`,
opts: [
["а", "$1$"], ["б", "$1{,}5$"], ["в", "$-2$"], ["г", "$2$"], ["д", "$-0{,}75$"],
],
sol: `$$a_2 = a_1 + d = -0{,}5 + 1{,}5 = 1$$
Ответ: а) $1$
`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "в равностороннем треугольнике все углы равны по $30^{\\circ}$;"],
["б", "диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника;"],
["в", "любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла;"],
["г", "если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то такие треугольники равны?"],
],
sol: `
а) В равностороннем треугольнике все углы равны по $30^\\circ$ — НЕВЕРНО
б) Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника — верно
в) Точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла — верно
г) Три равных стороны → равные треугольники — верно
В равностороннем треугольнике каждый угол $= 60^\\circ$, а не $30^\\circ$.
`
},
{
text: `Высоты параллелограмма, проведённые из вершины тупого угла, равны $10$ см и $6$ см.
Периметр параллелограмма равен $48$ см. Найдите площадь параллелограмма.`,
sol: `
Пусть стороны параллелограмма $a$ и $b$. Высоты из вершины тупого угла перпендикулярны к смежным сторонам: $h_a=10$ (к стороне $a$) и $h_b=6$ (к стороне $b$).
Площадь одна и та же: $S = a\\cdot h_a = b\\cdot h_b$, значит:
$$10a = 6b \\implies \\frac{a}{b} = \\frac{3}{5}$$
Периметр: $2(a+b)=48 \\Rightarrow a+b=24$.
С учётом $a=3k,\\ b=5k$: $8k=24 \\Rightarrow k=3$, т.е. $a=9$, $b=15$.
$$S = a\\cdot h_a = 9\\cdot 10 = 90\\text{ см}^2$$
Ответ: $90$ см²
`
},
{
text: `При каких натуральных значениях $n$ верно неравенство
$5{,}6(n - 3) - 3{,}2(2 - n) < 20{,}8$?`,
sol: `Свойства линейных неравенств: можно прибавлять к обеим частям одно и то же число и делить на положительное число — знак неравенства сохраняется.
Натуральные числа: $1, 2, 3, \\ldots$
`
},
{
text: `Известно, что график функции $y = f(x)$ симметричен относительно оси ординат
и $f(-5) = 2$, $f(4) = -5$.
Найдите значение выражения $2f(5) - f(-4)$.`,
sol: `Признак чётной функции: график функции симметричен относительно оси ординат тогда и только тогда, когда функция чётная.
Свойство чётной функции: $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.
Шаг 1. Из симметрии графика относительно оси $Oy$ следует, что функция чётная, то есть:
$$f(-x) = f(x)$$
Шаг 2. Выразим $f(5)$ через известное значение $f(-5)$, используя $f(5)=f(-5)$:
$$f(5) = f(-5) = 2$$
Шаг 3. Аналогично для $f(-4)$:
$$f(-4) = f(4) = -5$$
Шаг 4. Подставляем найденные значения:
$$2f(5) - f(-4) = 2\\cdot 2 - (-5) = 4 + 5 = 9$$
Ответ: $9$
`
},
{
text: `Определите число решений системы уравнений
$$\\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\\\[4pt] y = -x^2 + 3. \\end{cases}$$
Ответ обоснуйте.`,
sol: `Метод подстановки для системы уравнений: подставляем выражение для $y$ из одного уравнения в другое.
Геометрический смысл: первое уравнение — окружность радиуса $3$ с центром в начале координат; второе — парабола с вершиной $(0;3)$ и ветвями вниз.
Шаг 1. Из второго уравнения возьмём $y=-x^2+3$ и подставим в первое:
$$x^2+(-x^2+3)^2=9$$
Шаг 2. Раскрываем квадрат и приводим подобные:
$$x^2 + x^4 - 6x^2 + 9 = 9$$
$$x^4 - 5x^2 = 0$$
Шаг 3. Вынесем общий множитель:
$$x^2(x^2-5)=0$$
Произведение равно нулю, когда один из множителей нуль: $x=0$ или $x^2=5$, то есть $x=\\pm\\sqrt{5}$.
Шаг 4. Для каждого $x$ находим $y$ по формуле $y=-x^2+3$:
$x=0 \\Rightarrow y=3$ — точка $(0;3)$;
$x=\\pm\\sqrt{5} \\Rightarrow y=-5+3=-2$ — точки $(\\pm\\sqrt{5};-2)$.
Шаг 5. Получили три точки пересечения, значит, у системы 3 решения.
Ответ: 3 решения
`
},
{
text: `К раствору, содержащему $40$ г соли, добавили $200$ г воды,
после чего концентрация соли уменьшилась на $10\\%$.
Найдите первоначальную процентную концентрацию соли в растворе.`,
sol: `Формула концентрации: $c = \\dfrac{m_{\\text{соли}}}{m_{\\text{раствора}}}$ — отношение массы соли к массе всего раствора.
Ключевое наблюдение: при добавлении воды масса соли не меняется, изменяется только масса всего раствора и, следовательно, концентрация.
Шаг 1. Введём переменную: пусть $m$ (г) — начальная масса раствора.
В нём $40$ г соли. После добавления $200$ г воды масса раствора стала $m+200$ г, а соли по-прежнему $40$ г.
Шаг 2. Запишем концентрации до и после:
$$c_{\\text{до}} = \\dfrac{40}{m},\\qquad c_{\\text{после}} = \\dfrac{40}{m+200}$$
Шаг 3. По условию концентрация уменьшилась на $10\\%$, то есть $c_{\\text{до}} - c_{\\text{после}} = 0{,}1$:
$$\\dfrac{40}{m} - \\dfrac{40}{m+200} = 0{,}1$$
Шаг 4. Приводим к общему знаменателю $m(m+200)$:
$$\\dfrac{40(m+200) - 40m}{m(m+200)} = 0{,}1$$
$$\\dfrac{8000}{m(m+200)} = 0{,}1$$
$$m(m+200) = 80000$$
Шаг 5. Раскрываем скобки и получаем квадратное уравнение:
$$m^2 + 200m - 80000 = 0$$
Дискриминант: $D = 200^2 + 4\\cdot 80000 = 40000 + 320000 = 360000 = 600^2$.
$$m = \\dfrac{-200 + 600}{2} = 200\\text{ г}\\quad (m\\gt 0)$$
Шаг 6. Находим начальную концентрацию:
$$c_{\\text{до}} = \\dfrac{40}{200} = 0{,}2 = 20\\%$$
Проверка: после добавления $c_{\\text{после}} = \\dfrac{40}{400} = 10\\% = 20\\%-10\\%$ ✓
Ответ: $20\\%$
`
},
{
text: `Найдите площадь сектора круга, угол которого равен $150^{\\circ}$,
а длина дуги — $6$ см. Ответ округлите до целых см², взяв $\\pi \\approx 3{,}14$.`,
sol: `Формула длины дуги: $l = \\dfrac{\\pi r\\alpha°}{180°}$.
Формула площади сектора через длину дуги: $S = \\dfrac{l\\cdot r}{2}$.