`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета;"],
["б", "сумма углов четырёхугольника равна $180^{\\circ}$;"],
["в", "средняя линия треугольника равна половине основания;"],
["г", "на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой?"],
],
sol: `
а) Гипотенуза — наибольшая сторона прямоугольного треугольника — верно
`
},
{
text: `Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе,
и катетом, длина которого $12$ см, равен $30^{\\circ}$.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.`,
sol: `В прямоугольном $\\triangle ABC$ ($\\angle C=90°$) высота $CH$ опущена на гипотенузу $AB$.
Свойство высоты в прямоугольном треугольнике: угол между высотой $CH$ и катетом $BC$ равен $\\angle A$.
$$\\angle BCH = \\angle A = 30°$$
Значит $\\angle A=30°$, $\\angle B=60°$.
Катет $BC=12$ см, $\\angle A=30°$:
$$\\sin(\\angle A) = \\dfrac{BC}{AB} \\implies \\sin 30° = \\dfrac{12}{AB} \\implies \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{12}{AB}$$
$$AB = 24\\text{ см}$$
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника:
$$R = \\dfrac{AB}{2} = \\dfrac{24}{2} = 12\\text{ см}$$
Ответ: $R = 12$ см
`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$\\dfrac{1}{2-\\sqrt{3}} + \\dfrac{1}{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}} + \\dfrac{1}{\\sqrt{2}-1}$.`,
sol: `Метод рационализации знаменателя: чтобы избавиться от радикала в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение.
Формула разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ — позволяет «сворачивать» произведение сопряжённых.
Шаг 1. Рационализируем первую дробь. Сопряжённое к $2-\\sqrt{3}$ — это $2+\\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{1}{2-\\sqrt{3}} = \\dfrac{2+\\sqrt{3}}{(2-\\sqrt{3})(2+\\sqrt{3})} = \\dfrac{2+\\sqrt{3}}{4-3} = 2+\\sqrt{3}$$
Шаг 2. Рационализируем вторую дробь. Сопряжённое к $\\sqrt{2}-\\sqrt{3}$ — это $\\sqrt{2}+\\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{1}{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{(\\sqrt{2})^2-(\\sqrt{3})^2} = \\dfrac{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{2-3} = -(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})$$
Шаг 3. Рационализируем третью дробь. Сопряжённое к $\\sqrt{2}-1$ — это $\\sqrt{2}+1$:
$$\\dfrac{1}{\\sqrt{2}-1} = \\dfrac{\\sqrt{2}+1}{(\\sqrt{2}-1)(\\sqrt{2}+1)} = \\dfrac{\\sqrt{2}+1}{2-1} = \\sqrt{2}+1$$
Шаг 4. Складываем полученные выражения и группируем подобные:
$$(2+\\sqrt{3}) + \\bigl(-(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})\\bigr) + (\\sqrt{2}+1)$$
$$= 2 + \\sqrt{3} - \\sqrt{2} - \\sqrt{3} + \\sqrt{2} + 1$$
$$= 2 + 1 + (\\sqrt{3}-\\sqrt{3}) + (-\\sqrt{2}+\\sqrt{2}) = 3$$
Ответ: $3$
`
},
{
text: `Определите количество целых решений системы неравенств
$$\\begin{cases} x^2 \\leq 6 - x, \\\\[6pt] \\dfrac{x+3}{2} - 1 > \\dfrac{x-4}{7}. \\end{cases}$$`,
sol: `Решение системы неравенств: решаем каждое неравенство отдельно, затем берём пересечение множеств решений.
Метод интервалов для квадратного неравенства: раскладываем квадратный трёхчлен и определяем знаки.
Шаг 1. Решаем первое неравенство. Перенесём $6-x$ влево:
$$x^2 + x - 6 \\leq 0$$
По теореме Виета корни — $-3$ и $2$ (так как $x_1+x_2=-1$, $x_1\\cdot x_2=-6$). Раскладываем:
$$(x+3)(x-2) \\leq 0$$
Произведение неположительно при $-3\\leq x\\leq 2$.
Шаг 2. Решаем второе неравенство. Умножим обе части на $14$ (общий знаменатель):
$$7(x+3) - 14 \\gt 2(x-4)$$
$$7x + 21 - 14 \\gt 2x - 8$$
$$7x + 7 \\gt 2x - 8$$
$$5x \\gt -15$$
$$x \\gt -3$$
Шаг 3. Берём пересечение: $\\{-3\\leq x\\leq 2\\}\\cap\\{x\\gt -3\\} = \\{-3\\lt x\\leq 2\\}$.
Шаг 4. Целые числа из $(-3;2]$: $-2,-1,0,1,2$ — всего 5 чисел.
Ответ: $5$
`
},
{
text: `Найдите все значения переменной, при которых разность дробей
$\\dfrac{x}{x-2}$ и $\\dfrac{1}{x}$ равна дроби $\\dfrac{4}{x^2-2x}$.`,
sol: `Решение дробно-рациональных уравнений: 1) находим ОДЗ; 2) умножаем обе части на общий знаменатель; 3) решаем полученное уравнение; 4) проверяем корни на принадлежность ОДЗ.
Теорема Виета (обратная): $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
Шаг 1. Запишем уравнение:
$$\\dfrac{x}{x-2} - \\dfrac{1}{x} = \\dfrac{4}{x^2-2x}$$
Шаг 2. Разложим знаменатель правой части: $x^2-2x = x(x-2)$ — это и есть общий знаменатель.
ОДЗ: $x\\neq 0$ и $x\\neq 2$.
Шаг 3. Умножим обе части на $x(x-2)$:
$$\\dfrac{x}{x-2}\\cdot x(x-2) - \\dfrac{1}{x}\\cdot x(x-2) = \\dfrac{4}{x(x-2)}\\cdot x(x-2)$$
$$x\\cdot x - (x-2) = 4$$
$$x^2 - x + 2 = 4$$
$$x^2 - x - 2 = 0$$
Шаг 4. По теореме Виета: $x_1+x_2=1$, $x_1\\cdot x_2=-2$. Подходят $2$ и $-1$:
$$(x-2)(x+1) = 0 \\implies x=2 \\text{ или } x=-1$$
Шаг 5. Проверяем ОДЗ: $x=2$ не входит (отбрасываем). Остаётся $x=-1$.
Проверка $x=-1$:
$$\\dfrac{-1}{-3} - \\dfrac{1}{-1} = \\dfrac{1}{3} + 1 = \\dfrac{4}{3};\\quad \\dfrac{4}{1+2} = \\dfrac{4}{3} \\checkmark$$
Ответ: $x = -1$
`
},
{
text: `Число $a$ равно $80\\%$ от числа $b$. Число $c$ равно $140\\%$ от числа $b$.
Найдите значение выражения $a + b + c$,
если известно, что число $c$ на $72$ больше числа $a$.`,
sol: `Перевод процентов в дроби: $p\\%$ от числа $N$ — это $\\dfrac{p}{100}\\cdot N$.
Метод составления уравнения: переводим условия с процентами в равенства и решаем.
Шаг 1. Запишем условия в виде уравнений.
• «$a$ равно $80\\%$ от $b$»:
$$a = 0{,}8b \\quad (1)$$
• «$c$ равно $140\\%$ от $b$»:
$$c = 1{,}4b \\quad (2)$$
• «$c$ на $72$ больше $a$»:
$$c - a = 72 \\quad (3)$$
Шаг 2. Подставляем $(1)$ и $(2)$ в $(3)$:
$$1{,}4b - 0{,}8b = 72$$
$$0{,}6b = 72$$
$$b = 120$$
Шаг 3. Находим $a$ из $(1)$ и $c$ из $(2)$:
$$a = 0{,}8\\cdot 120 = 96$$
$$c = 1{,}4\\cdot 120 = 168$$
Проверка $(3)$: $c - a = 168 - 96 = 72$ ✓
Шаг 4. Вычисляем сумму:
$$a + b + c = 96 + 120 + 168 = 384$$
Ответ: $384$
`
},
{
text: `Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $AD$ взята точка $M$, такая, что
$BM$ — биссектриса угла $B$, а $CM$ — биссектриса угла $C$ параллелограмма.
Найдите площадь параллелограмма, если $BM = 12$ см, $CM = 16$ см.`,
figure: ``,
sol: `Свойство параллелограмма: сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$ (соседние углы дополнительны).
Свойство биссектрис: биссектриса делит угол пополам.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2+b^2$.
Формула площади параллелограмма: $S = a\\cdot b\\cdot\\sin\\alpha$, где $\\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$.
Формула синуса двойного угла: $\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha$.
Шаг 1 — найдём угол BMC. В параллелограмме $\\angle B + \\angle C = 180°$ (соседние углы). Делим на 2:
$$\\angle MBC + \\angle MCB = \\dfrac{\\angle B}{2} + \\dfrac{\\angle C}{2} = 90°$$
В $\\triangle BMC$ сумма углов $180°$, значит:
$$\\angle BMC = 180° - 90° = 90°$$
Треугольник $BMC$ — прямоугольный!
Шаг 2 — длина BC. По теореме Пифагора:
$$BC = \\sqrt{BM^2 + CM^2} = \\sqrt{144+256} = \\sqrt{400} = 20\\text{ см}$$
Шаг 3 — длина AB. В $\\triangle ABM$: углы $\\angle BAM = \\angle A/2$ и $\\angle AMB = \\angle MAD = \\angle A/2$ (накрест лежащие при параллельных $BC$ и $AD$). Значит, $\\triangle ABM$ — равнобедренный, и $AM = AB$.
Аналогично в $\\triangle DCM$: $DM = DC = AB$.
Так как $AD = AM + MD$:
$$AD = AB + AB = 2\\cdot AB$$
$AD = BC = 20$, значит $AB = 10$ см.
Шаг 4 — синус угла B. Из прямоугольного $\\triangle BMC$:
$$\\sin(\\angle MBC) = \\dfrac{CM}{BC} = \\dfrac{16}{20} = \\dfrac{4}{5},\\quad \\cos(\\angle MBC) = \\dfrac{BM}{BC} = \\dfrac{12}{20} = \\dfrac{3}{5}$$
Поскольку $\\angle B = 2\\angle MBC$, применяем формулу двойного угла:
$$\\sin(\\angle B) = 2\\sin(\\angle MBC)\\cos(\\angle MBC) = 2\\cdot\\dfrac{4}{5}\\cdot\\dfrac{3}{5} = \\dfrac{24}{25}$$
Шаг 5 — площадь.
$$S = AB\\cdot BC\\cdot\\sin(\\angle B) = 10\\cdot 20\\cdot\\dfrac{24}{25} = \\dfrac{4800}{25} = 192\\text{ см}^2$$