VARIANTS[14] = { label: "Вариант 14", tasks: [ { text: `Определите, какая из следующих пар чисел является вершиной параболы $y = -(x-2)^2 - 1$:`, opts: [ ["а", "$(2;\\ 1)$"], ["б", "$(2;\\ {-1})$"], ["в", "$(-2;\\ 1)$"], ["г", "$(-2;\\ {-1})$"], ["д", "$(-1;\\ {-2})$"], ], sol: `Парабола $y = a(x-h)^2 + k$ имеет вершину $(h;\\,k)$. Здесь $h=2$, $k=-1$.

Ответ: б) $(2;\\,-1)$

` }, { text: `Определите, какие из чисел НЕ являются решением двойного неравенства $-6 < 3x \\leq 12$:`, opts: [ ["а", "$-2$"], ["б", "$0$"], ["в", "$4$"], ["г", "$-3$"], ["д", "$1$"], ], sol: `Разделим на $3$: $-2 \\lt x \\leq 4$.
Проверяем каждое число:

а) $-2$: не строго больше $-2$ ✗ — НЕ решение
б) $0$: $-2\\lt 0\\leq4$ ✓ — решение
в) $4$: $-2\\lt 4\\leq4$ ✓ — решение
г) $-3$: $-3\\lt-2$ ✗ — НЕ решение
д) $1$: ✓ — решение

Ответ: а) и г)

` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "медианы треугольника пересекаются в одной точке;"], ["б", "периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $3a$;"], ["в", "основания равнобедренной трапеции равны;"], ["г", "у прямоугольника все углы равны между собой?"], ], sol: `

а) Медианы пересекаются в центроиде — верно
б) Периметр равностороннего треугольника $= 3a$ — верно
в) Основания равнобедренной трапеции равны — НЕВЕРНО
г) У прямоугольника все углы по $90°$ — верно

В равнобедренной трапеции равны боковые стороны и углы при основаниях, но основания по определению различны по длине.

Ответ: в)

` }, { text: `Найдите значение выражения $4x - 9$, если $\\dfrac{2x^2 - 7x}{x} = 0$.`, sol: `При $x\\neq 0$: $$\\frac{2x^2-7x}{x} = \\frac{x(2x-7)}{x} = 2x-7 = 0 \\implies x = \\frac{7}{2}$$ $$4x-9 = 4\\cdot\\frac{7}{2}-9 = 14-9 = 5$$

Ответ: $5$

` }, { text: `Диагональ $BD$ ромба $ABCD$ равна $24$ см. Угол между стороной $AB$ и диагональю $AC$ равен $30^{\\circ}$. Найдите периметр ромба.`, sol: ` Свойства ромба: все четыре стороны равны; диагонали — биссектрисы углов ромба.
Признак равностороннего треугольника: равнобедренный треугольник с углом $60°$ является равносторонним.

Шаг 1. Диагональ $AC$ — биссектриса угла $A$ ромба, поэтому $\\angle BAC = \\dfrac{\\angle BAD}{2}$. По условию $\\angle BAC = 30°$, значит: $$\\angle BAD = 2\\cdot 30° = 60°$$ Шаг 2. Рассмотрим треугольник $ABD$:

$AB = AD = a$ (стороны ромба равны),
$\\angle BAD = 60°$.

Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60°$ — равносторонний. Значит, $BD = AB = a$.
Шаг 3. По условию $BD = 24$ см, поэтому $a = 24$ см.
Шаг 4. Периметр ромба: $$P = 4a = 4\\cdot 24 = 96\\text{ см}$$

Ответ: $P = 96$ см

` }, { text: `Сократите дробь $\\dfrac{25m^2 - 4n^2}{4n^2 + 25m^2 + 20mn}$.`, sol: `Формула разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Шаг 1. Разложим числитель по формуле разности квадратов ($a=5m$, $b=2n$): $$25m^2 - 4n^2 = (5m)^2 - (2n)^2 = (5m-2n)(5m+2n)$$ Шаг 2. Разложим знаменатель. Это квадрат суммы: $$25m^2 + 20mn + 4n^2 = (5m)^2 + 2\\cdot 5m\\cdot 2n + (2n)^2 = (5m+2n)^2$$ Шаг 3. Сокращаем общий множитель $(5m+2n)$: $$\\dfrac{(5m-2n)(5m+2n)}{(5m+2n)^2} = \\dfrac{5m-2n}{5m+2n}$$

Ответ: $\\dfrac{5m-2n}{5m+2n}$

` }, { text: `Решите систему уравнений $$\\begin{cases} x - 3y = 4, \\\\[4pt] xy - 7y = 6 \\end{cases}$$ и найдите значение выражения $x_1 \\cdot y_1 + x_2 \\cdot y_2$, где $(x_1;\\, y_1)$, $(x_2;\\, y_2)$ — решения системы.`, sol: `Метод подстановки: выражаем одну переменную через другую и подставляем.
Теорема Виета (обратная): $y^2+py+q=(y-y_1)(y-y_2)$, где $y_1+y_2=-p$, $y_1\\cdot y_2=q$.

Шаг 1. Из первого уравнения выразим $x$: $$x = 4 + 3y$$ Шаг 2. Подставим во второе: $$(4+3y)y - 7y = 6$$ $$4y + 3y^2 - 7y = 6$$ $$3y^2 - 3y - 6 = 0$$ Шаг 3. Разделим на $3$: $$y^2 - y - 2 = 0$$ Шаг 4. По теореме Виета: $y_1+y_2=1$, $y_1\\cdot y_2=-2$. Подходят $2$ и $-1$: $$(y-2)(y+1)=0$$ Шаг 5. Находим $x = 4+3y$ для каждого $y$:

$y_1=2$:	$x_1=4+6=10$
$y_2=-1$:	$x_2=4-3=1$

Шаг 6. Вычисляем требуемое выражение: $$x_1y_1+x_2y_2 = 10\\cdot 2 + 1\\cdot(-1) = 20-1 = 19$$

Ответ: $19$

` }, { text: `Найдите значение выражения $\\sqrt{19 - 6\\sqrt{10}} + \\sqrt{26 - 8\\sqrt{10}}$. В ответ запишите число, противоположное полученному.`, sol: `Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Формула выноса корня из квадрата: $\\sqrt{a^2}=|a|$. Если $a\\geq 0$, то $|a|=a$; если $a\\lt 0$, то $|a|=-a$.
Идея: подкоренное выражение вида $A - 2\\sqrt{B}$ часто можно представить как квадрат разности $(\\sqrt{m}-\\sqrt{n})^2$, где $m+n=A$ и $mn=B$.

Шаг 1. Преобразуем первое подкоренное выражение: $19 - 6\\sqrt{10}$.
Здесь $2\\sqrt{mn}=6\\sqrt{10}$, то есть $\\sqrt{mn}=3\\sqrt{10}$, $mn=90$. И $m+n=19$. Подходят $m=9$, $n=10$: $$19 - 6\\sqrt{10} = 9 - 6\\sqrt{10} + 10 = 3^2 - 2\\cdot 3\\cdot\\sqrt{10} + (\\sqrt{10})^2 = (3-\\sqrt{10})^2$$ Извлекаем корень. Оценим $\\sqrt{10}$: так как $9\\lt 10\\lt 16$, имеем $3\\lt\\sqrt{10}\\lt 4$, точнее $\\sqrt{10}\\approx 3{,}16$. Значит, $3-\\sqrt{10}\\lt 0$, и модуль раскрывается как $|3-\\sqrt{10}|=\\sqrt{10}-3$: $$\\sqrt{19-6\\sqrt{10}} = |3-\\sqrt{10}| = \\sqrt{10}-3$$ Шаг 2. Преобразуем второе подкоренное выражение: $26 - 8\\sqrt{10}$. Здесь $2\\sqrt{mn}=8\\sqrt{10}$, $mn=160$, $m+n=26$. Подходят $m=16$, $n=10$: $$26 - 8\\sqrt{10} = 16 - 8\\sqrt{10} + 10 = 4^2 - 2\\cdot 4\\cdot\\sqrt{10} + (\\sqrt{10})^2 = (4-\\sqrt{10})^2$$ Так как $\\sqrt{10}\\approx 3{,}16\\lt 4$, имеем $4-\\sqrt{10}\\gt 0$: $$\\sqrt{26-8\\sqrt{10}} = 4-\\sqrt{10}$$ Шаг 3. Складываем оба корня: $$(\\sqrt{10}-3) + (4-\\sqrt{10}) = -3 + 4 + (\\sqrt{10}-\\sqrt{10}) = 1$$ Шаг 4. Запишем число, противоположное $1$: $$-1$$

Ответ: $-1$

` }, { text: `Периметр параллелограмма равен $32$ см, соседние стороны относятся как $3:5$. Угол между высотами, проведёнными к соседним сторонам из вершины тупого угла параллелограмма, равен $30^{\\circ}$. Найдите площадь параллелограмма.`, sol: `Формула периметра параллелограмма: $P = 2(a+b)$.
Формула площади параллелограмма: $S = a\\cdot b\\cdot\\sin\\alpha$, где $\\alpha$ — угол между сторонами.
Свойство: угол между двумя высотами, проведёнными из вершины тупого угла параллелограмма к соседним сторонам, равен острому углу параллелограмма.

Шаг 1 — стороны.
Пусть соседние стороны $a = 3k$ и $b = 5k$ (по условию относятся как $3:5$). Из формулы периметра: $$2(3k + 5k) = 32$$ $$16k = 32 \\implies k = 2$$ Значит, $a = 6$ см, $b = 10$ см.
Шаг 2 — острый угол параллелограмма. Так как угол между двумя высотами из вершины тупого угла равен острому углу параллелограмма, получаем $\\beta = 30°$.
Шаг 3 — площадь.
По формуле площади параллелограмма: $$S = a\\cdot b\\cdot\\sin\\beta = 6\\cdot 10\\cdot\\sin 30° = 60\\cdot\\dfrac{1}{2} = 30\\text{ см}^2$$

Ответ: $30$ см²

` }, { text: `Во время строительных работ на Всебелорусской молодёжной стройке в Брестской крепости двое студентов были определены на подсобные работы. Работая с одной скоростью, они выполнили половину отведённой работы, затем увеличили скорость: один — на $25\\%$, а второй — на $30\\%$, и вторую половину работы выполнили на один день раньше запланированного времени. Успеют ли студенты выполнить работу за $7$ дней? Ответ обоснуйте.`, sol: `Пусть $n$ — плановое число дней. Скорость каждого $s = \\dfrac{1}{2n}$, вместе: $\\dfrac{1}{n}$.
Первая половина: $$t_1 = \\frac{1/2}{1/n} = \\frac{n}{2}\\text{ дней}$$ Вторая половина — скорости увеличились: $$\\text{1-й: }1{,}25s,\\quad \\text{2-й: }1{,}30s,\\quad \\text{вместе: }2{,}55s = \\frac{1{,}275}{n}$$ $$t_2 = \\frac{1/2}{1{,}275/n} = \\frac{n}{2{,}55} = \\frac{20n}{51}\\text{ дней}$$ Фактическое время: $$t = \\frac{n}{2}+\\frac{20n}{51} = \\frac{51n+40n}{102} = \\frac{91n}{102}$$ Условие «на 1 день раньше»: $$n - \\frac{91n}{102} = \\frac{11n}{102} = 1 \\implies n = \\frac{102}{11} \\approx 9{,}3$$ Фактическое время: $$t = \\frac{91}{11} = 8\\frac{3}{11} \\approx 8{,}3\\text{ дней}$$ Так как $8{,}3 \\gt 7$, студенты не успеют за $7$ дней.

Ответ: нет, не успеют ($\\approx 8{,}3$ дней $\\gt 7$ дней)

` }, ] };