`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то это ромб;"],
["б", "центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении его биссектрис;"],
["в", "треугольник со сторонами $5$, $12$, $13$ — прямоугольный;"],
["г", "центральный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается?"],
],
sol: `
а) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны — это ромб — верно
б) Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис — верно
г) «Центральный угол равен половине дуги» — НЕВЕРНО. Центральный угол в градусах равен градусной мере дуги, на которую он опирается (а не половине).
Ответ: г)
`
},
{
text: `Последовательность $-9;\\; -6;\\; -3;\\; \\ldots$ — арифметическая прогрессия.
Продолжите её далее, записав ещё три члена прогрессии.`,
sol: `Разность прогрессии: $d = -6-(-9) = 3$.
Продолжаем, прибавляя $3$ к каждому члену:
$$-3+3=0; \\ 0+3=3; \\ 3+3=6$$
Ответ: $0;\\;3;\\;6$
`
},
{
text: `В треугольнике две стороны равны $5$ см и $8$ см,
а внешний угол при вершине, противолежащей третьей стороне, равен $120^{\\circ}$.
Найдите третью сторону треугольника.`,
sol: `Свойство внешнего угла: внешний и внутренний углы при одной вершине в сумме дают $180°$.
Теорема косинусов: $c^2 = a^2+b^2-2ab\\cos C$, где $C$ — угол между сторонами $a$ и $b$, $c$ — противолежащая сторона.
Шаг 1. Внешний угол при вершине $C$ равен $120°$. Тогда внутренний угол:
$$\\angle C = 180°-120° = 60°$$
Шаг 2. По условию вершина $C$ противолежит третьей стороне, значит стороны $a=5$ и $b=8$ выходят из этой вершины — угол $C$ заключён между ними.
Шаг 3. Применяем теорему косинусов, подставив $a=5$, $b=8$, $\\angle C=60°$ и зная, что $\\cos 60°=\\dfrac{1}{2}$:
$$c^2 = a^2+b^2-2ab\\cos C = 5^2+8^2-2\\cdot 5\\cdot 8\\cdot\\dfrac{1}{2}$$
$$c^2 = 25+64-40 = 49$$
Шаг 4. Извлекаем корень:
$$c = \\sqrt{49} = 7\\text{ см}$$
Ответ: $7$ см
`
},
{
text: `После проведения профилактических мероприятий необходимо наполнить один из бассейнов
спорткомплекса объёмом $2500$ л.
Через первый кран в бассейн вливается $60$ л воды в минуту.
Сколько литров воды в минуту вливается через второй кран, если при работе двух кранов
одновременно бассейн заполняется через $20$ минут?`,
sol: `Метод введения переменной: неизвестную скорость наполнения второго крана обозначим за $x$. Правило совместной работы: при одновременной работе кранов их производительности складываются.
Шаг 1. Пусть второй кран вливает $x$ л воды в минуту.
Шаг 2. Запишем выражение для объёма воды, поступающего в бассейн за $20$ минут. Первый кран за это время даст $20\\cdot 60 = 1200$ л, второй — $20\\cdot x$ л. Суммарно бассейн заполняется на $2500$ л:
$$20\\cdot 60 + 20\\cdot x = 2500.$$
Шаг 3. Решаем уравнение:
$$1200 + 20x = 2500;$$
$$20x = 2500-1200 = 1300;$$
$$x = \\dfrac{1300}{20} = 65\\text{ л/мин}.$$
Ответ: $65$ л/мин
`
},
{
text: `Найдите наименьшее целое число, принадлежащее множеству решений системы неравенств
$$\\begin{cases} \\dfrac{1}{3}(3-6x) + 3x \\leq 1, \\\\[6pt] \\dfrac{1}{2}(2x-12) - 5x \\leq 0. \\end{cases}$$`,
sol: `Метод решения: решаем каждое неравенство отдельно и берём пересечение решений.
Шаг 1. Решаем первое неравенство. Раскроем скобки:
$$\\dfrac{1}{3}(3-6x)+3x \\leq 1$$
$$1 - 2x + 3x \\leq 1$$
$$1 + x \\leq 1 \\;\\implies\\; x \\leq 0$$
Шаг 2. Решаем второе неравенство. Раскроем скобки:
$$\\dfrac{1}{2}(2x-12) - 5x \\leq 0$$
$$x - 6 - 5x \\leq 0$$
$$-4x \\leq 6 \\;\\implies\\; x \\geq -\\dfrac{3}{2}$$
(при делении на $-4$ знак неравенства меняется)
Шаг 3. Пересечение решений: $-\\dfrac{3}{2}\\leq x \\leq 0$, то есть $x\\in[-1{,}5;\\;0]$.
Шаг 4. Целые числа в $[-1{,}5;\\;0]$ — это $-1$ и $0$. Наименьшее из них — $-1$.
Ответ: $-1$
`
},
{
text: `Постройте график функции $y = \\dfrac{(x-4)^2}{x-4}$.
Определите, при каких значениях аргумента значение функции не меньше $-2$.`,
sol: `Правило сокращения дроби: множитель из числителя и знаменателя можно сократить только при условии, что он не равен нулю.
Шаг 1. Найдём ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$$x-4\\neq 0 \\;\\implies\\; x\\neq 4.$$
Шаг 2. Упростим выражение. Числитель $(x-4)^2=(x-4)\\cdot(x-4)$, поэтому при $x\\neq 4$ один множитель $(x-4)$ сокращается:
$$y = \\dfrac{(x-4)^2}{x-4} = x-4,\\quad x\\neq 4.$$
Значит, график — прямая $y=x-4$ с выколотой точкой при $x=4$, где $y=4-4=0$.
Шаг 3. Решаем неравенство $y\\geq -2$. Подставляем упрощённое выражение:
$$x-4\\geq -2 \\;\\implies\\; x\\geq 2.$$
Шаг 4. С учётом ОДЗ исключаем точку $x=4$ из ответа.
Ответ: $x\\geq 2$, $x\\neq 4$
`
},
{
text: `На плане размеры прямоугольника $20$ мм $\\times$ $15$ мм.
В реальности площадь прямоугольника равна $300$ см².
Изобразите в заданном масштабе квадрат, если по реальным измерениям
его периметр на $100$ мм больше периметра прямоугольника.`,
sol: `Шаг 1. Масштаб. Площадь на плане: $20\\cdot15=300$ мм². В реальности: $300$ см² $=30000$ мм².
$$k^2=\\dfrac{30000}{300}=100 \\implies k=10$$
Масштаб $1:10$ (1 мм на плане = 10 мм в реальности).
Шаг 2. Периметр прямоугольника (реальный). Реальные размеры: $20\\cdot10=200$ мм и $15\\cdot10=150$ мм.
$$P_{\\text{пр}} = 2(200+150) = 700\\text{ мм}$$
Шаг 3. Сторона квадрата.
$$P_{\\text{кв}} = 700+100 = 800\\text{ мм} \\implies a = \\dfrac{800}{4}=200\\text{ мм}$$
Шаг 4. Сторона квадрата на плане.
$$a_{\\text{план}} = \\dfrac{200}{10} = 20\\text{ мм}$$
Ответ: квадрат со стороной $20$ мм на плане ($200$ мм в реальности)
`
},
{
text: `Точка $M$ — середина стороны $BC$ квадрата $ABCD$, площадь которого равна $40$ см².
К отрезку $DM$ проведён перпендикуляр $AK$.
Найдите площадь четырёхугольника $ABMK$.`,
sol: `
Формула площади квадрата: $S_{ABCD}=a^2$, где $a$ — сторона. По условию $a^2 = 40$.
Метод решения: используем координаты, чтобы найти точку $K$ — пересечение прямой $DM$ и проходящего через $A$ перпендикуляра к ней.
Шаг 1. Введём координаты: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;a)$, $D(0;a)$. Точка $M$ — середина $BC$, поэтому $M\\bigl(a;\\,\\dfrac{a}{2}\\bigr)$.
Шаг 2. Уравнение прямой $DM$: проходит через $D(0;a)$ и $M(a;\\,a/2)$. Угловой коэффициент:
$$k_{DM} = \\dfrac{a/2-a}{a-0} = -\\dfrac{1}{2}$$
Уравнение: $y = -\\dfrac{1}{2}x + a$.
Шаг 3. Прямая $AK$ перпендикулярна $DM$. Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно $-1$, значит $k_{AK}=2$. Прямая проходит через $A(0;0)$, поэтому $y=2x$.
Шаг 4. Точка $K$ — пересечение этих прямых:
$$2x = -\\dfrac{1}{2}x + a \\;\\implies\\; \\dfrac{5}{2}x = a \\;\\implies\\; x = \\dfrac{2a}{5}$$
$$y = 2\\cdot\\dfrac{2a}{5} = \\dfrac{4a}{5}$$
Значит, $K\\bigl(\\dfrac{2a}{5};\\,\\dfrac{4a}{5}\\bigr)$.
Шаг 5. Найдём площадь четырёхугольника $ABMK$ (вершины обходятся по порядку $A\\to B\\to M\\to K$) по формуле площади многоугольника через координаты (формула «шнурков»):
$$S = \\dfrac{1}{2}|x_A(y_B-y_K)+x_B(y_M-y_A)+x_M(y_K-y_B)+x_K(y_A-y_M)|$$
$$= \\dfrac{1}{2}\\left|0+a\\cdot\\dfrac{a}{2}+a\\cdot\\dfrac{4a}{5}+\\dfrac{2a}{5}\\cdot\\left(-\\dfrac{a}{2}\\right)\\right|$$
$$= \\dfrac{1}{2}\\left|\\dfrac{a^2}{2}+\\dfrac{4a^2}{5}-\\dfrac{a^2}{5}\\right| = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{11a^2}{10} = \\dfrac{11a^2}{20}$$
Шаг 6. Подставим $a^2=40$:
$$S = \\dfrac{11\\cdot 40}{20} = 22\\text{ см}^2$$