`
},
{
text: `Запись выражения $\\dfrac{3m}{n^3} \\cdot \\dfrac{n}{m}$ в виде дроби имеет вид:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{3}{n^3}$"], ["б", "$\\dfrac{n^4}{3m^2}$"], ["в", "$\\dfrac{3}{n^2}$"],
["г", "$\\dfrac{3m^2}{n^4}$"], ["д", "$\\dfrac{3n}{m}$"],
],
sol: `Сокращаем $m$ и одну степень $n$:
$$\\dfrac{3m}{n^3}\\cdot\\dfrac{n}{m} = \\dfrac{3\\cancel{m}\\cdot\\cancel{n}}{n^3\\cdot\\cancel{m}\\cdot\\cancel{1}} = \\dfrac{3}{n^2}$$
Ответ: в) $\\dfrac{3}{n^2}$
`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "окружность, вписанная в треугольник, касается всех его сторон;"],
["б", "синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе;"],
["в", "средняя линия треугольника равна половине его основания;"],
["г", "радиус описанной окружности треугольника со стороной $a$ и углом $\\alpha$ находится из формулы $\\dfrac{a}{\\sin\\alpha} = 2R$?"],
],
sol: `
а) Вписанная окружность касается всех сторон — верно
б) «Синус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе» — НЕВЕРНО. Синус = противолежащий катет / гипотенуза. Прилежащий катет / гипотенуза — это косинус.
в) Средняя линия треугольника $=$ половина основания — верно
`
},
{
text: `Расстояние между городами на карте $5$ см.
Определите это расстояние на местности, если масштаб карты $1 : 100\\,000$.`,
sol: `Масштаб $1:100\\,000$ означает: $1$ см на карте $= 100\\,000$ см $= 1$ км на местности.
$$5\\text{ см}\\times100\\,000 = 500\\,000\\text{ см} = 5\\text{ км}$$
Ответ: $5$ км
`
},
{
text: `На покраску пола в спортивном зале школы израсходовали $32$ кг краски,
что составило $\\dfrac{1}{4}$ всей купленной краски.
Сколько всего килограммов краски было куплено?`,
sol: `Правило нахождения числа по его части: чтобы найти всё число, зная его часть $\\dfrac{m}{n}$, нужно эту часть разделить на $\\dfrac{m}{n}$ (или умножить на обратную дробь $\\dfrac{n}{m}$).
Шаг 1. Пусть всего было куплено $x$ кг краски. По условию израсходованные $32$ кг составляют $\\dfrac{1}{4}$ от $x$:
$$\\dfrac{1}{4}\\cdot x = 32.$$
Шаг 2. Умножим обе части уравнения на $4$, чтобы найти $x$:
$$x = 32\\cdot 4 = 128\\text{ кг}.$$
Проверка: $\\dfrac{1}{4}\\cdot 128 = 32$ — совпадает с условием.
Ответ: $128$ кг
`
},
{
text: `Найдите наименьшее целое решение двойного неравенства $-12 < 2x - 6 \\leq 4$.`,
sol: `Метод решения двойного неравенства: выполняем одинаковые действия со всеми тремя частями (прибавлять, вычитать, умножать или делить на положительное число — знак сохраняется; на отрицательное — меняется).
Шаг 1. Прибавим $6$ ко всем трём частям:
$$-12+6 \\lt 2x-6+6 \\leq 4+6$$
$$-6 \\lt 2x \\leq 10$$
Шаг 2. Разделим все части на $2$ (положительное число, знак не меняется):
$$-3 \\lt x \\leq 5$$
Шаг 3. Так как левое неравенство строгое, $x=-3$ не подходит. Наименьшее целое число, строго большее $-3$, — это $-2$.
Ответ: $-2$
`
},
{
text: `$ABCD$ — прямоугольник с периметром $28$ см, у которого $AC = 10$ см.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABD$.`,
sol: `Шаг 1. Находим стороны прямоугольника. Пусть $AB = a$, $AD = b$. Тогда:
$$2(a+b)=28 \\implies a+b=14$$
$$a^2+b^2 = AC^2 = 100$$
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \\implies 196 = 100+2ab \\implies ab=48$$
Из $a+b=14$, $ab=48$: решаем $t^2-14t+48=0 \\implies t=6$ или $t=8$.
Стороны: $AB=8$, $AD=6$ (или наоборот).
Шаг 2. Треугольник $ABD$. В прямоугольнике $\\angle DAB=90°$, поэтому $\\triangle ABD$ — прямоугольный с прямым углом при $A$.
Катеты: $AB=8$, $AD=6$. Гипотенуза: $BD=AC=10$.
Шаг 3. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:
$$r = \\dfrac{AB + AD - BD}{2} = \\dfrac{8+6-10}{2} = \\dfrac{4}{2} = 2\\text{ см}$$
Ответ: $r = 2$ см
`
},
{
text: `При каких действительных значениях $a$ график функции $y = x^2 - 5x + 5a$
имеет с осью абсцисс единственную общую точку?`,
sol: `Условие единственной общей точки параболы с осью $Ox$: уравнение $y=0$ должно иметь ровно один корень. Для квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ это значит, что дискриминант $D = B^2-4AC$ равен нулю.
Шаг 1. Точки пересечения графика с осью $Ox$ — это корни уравнения $y=0$, то есть:
$$x^2 - 5x + 5a = 0.$$
Шаг 2. Чтобы было ровно одно решение, нужно $D=0$. Вычислим дискриминант ($A=1$, $B=-5$, $C=5a$):
$$D = (-5)^2 - 4\\cdot 1\\cdot 5a = 25 - 20a.$$
Шаг 3. Приравниваем дискриминант к нулю и решаем:
$$25 - 20a = 0 \\;\\implies\\; 20a = 25 \\;\\implies\\; a = \\dfrac{25}{20} = \\dfrac{5}{4}.$$
Ответ: $a = \\dfrac{5}{4}$
`
},
{
text: `Какое наименьшее число членов прогрессии $32{,}5;\\; 37{,}5;\\; 42{,}5;\\; \\ldots$
нужно взять, чтобы их сумма была больше $2160$?`,
sol: `Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\\cdot n$.
Шаг 1. Из условия $a_1=32{,}5$. Разность прогрессии $d = 37{,}5-32{,}5 = 5$.
Шаг 2. Запишем формулу суммы:
$$S_n = \\dfrac{2\\cdot 32{,}5+(n-1)\\cdot 5}{2}\\cdot n = \\dfrac{65+5n-5}{2}\\cdot n = \\dfrac{n(60+5n)}{2}$$
Шаг 3. Запишем неравенство $S_n \\gt 2160$:
$$\\dfrac{n(60+5n)}{2} \\gt 2160$$
$$n(60+5n) \\gt 4320$$
$$5n^2+60n - 4320 \\gt 0$$
$$n^2+12n-864 \\gt 0$$
Шаг 4. Решаем квадратное уравнение $n^2+12n-864 = 0$:
$$D = 12^2+4\\cdot 864 = 144+3456 = 3600$$
$$\\sqrt{D} = 60,\\quad n = \\dfrac{-12+60}{2} = 24$$
Неравенство выполняется при $n \\gt 24$ (поскольку коэффициент при $n^2$ положителен и нас интересуют натуральные $n$).
Шаг 5. Проверим: при $n=24$ имеем $S_{24} = \\dfrac{24\\cdot(60+120)}{2} = \\dfrac{24\\cdot 180}{2} = 2160$ — равно, но нужно строго больше.
При $n=25$: $S_{25} = \\dfrac{25\\cdot(60+125)}{2} = \\dfrac{25\\cdot 185}{2} = 2312{,}5 \\gt 2160$ ✓.
Значит, наименьшее $n = 25$.
Ответ: наименьшее число членов $= 25$
`
},
{
text: `Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, $AB = CD$,
диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, угол $BAC$ равен углу $DAC$.
Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника $ACD$ равна $6$ см².`,
sol: `Шаг 1. Находим угол при вершине $A$. Пусть $\\angle DAC = \\angle BAC = \\alpha$. В прямоугольном $\\triangle ACD$ ($\\angle ACD=90°$):
$$\\angle DAC + \\angle ADC = 90° \\implies \\angle ADC = 90°-\\alpha$$
В равнобедренной трапеции ($AB=CD$) углы при основании $AD$ равны: $\\angle ADC = \\angle DAB$.
$$\\angle DAB = 2\\alpha \\implies 2\\alpha = 90°-\\alpha \\implies \\alpha = 30°$$
Значит, $\\angle DAB = \\angle ADC = 60°$.
Шаг 2. Определяем размеры трапеции. Треугольник $ACD$: $\\angle ACD=90°$, $\\angle DAC=30°$, $\\angle ADC=60°$ — это прямоугольный $30°$-$60°$-$90°$.
Пусть $CD = a$. Тогда $AC = a\\sqrt{3}$, $AD = 2a$.
Шаг 3. Треугольник $ABC$. В трапеции $AD\\|BC$, поэтому $\\angle DAB + \\angle ABC = 180°$, откуда $\\angle ABC = 120°$.
В $\\triangle ABC$: $\\angle BAC=30°$, $\\angle ABC=120°$, значит $\\angle BCA = 180°-30°-120°=30°$.
Поскольку $\\angle BAC = \\angle BCA = 30°$, треугольник $ABC$ — равнобедренный: $AB = BC = a$.
Шаг 4. Площади.
$$S_{ACD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot AC\\cdot CD = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\sqrt{3}\\cdot a = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{2} = 6$$
$$S_{ABC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot BC\\cdot\\sin(\\angle ABC) = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot a\\cdot\\sin120° = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{1}{2}\\cdot6 = 3\\text{ см}^2$$
$$S_{ABCD} = S_{ACD} + S_{ABC} = 6 + 3 = 9\\text{ см}^2$$