`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $30^{\\circ}$;"],
["б", "если в треугольнике $ABC$ $R$ — радиус описанной окружности, то $\\dfrac{AC}{\\sin B} = 2R$;"],
["в", "в любой квадрат можно вписать окружность;"],
["г", "сумма углов любого треугольника равна $360^{\\circ}$?"],
],
sol: `
а) Катет $=$ половина гипотенузы ⟹ напротив угла $30°$ — верно
г) «Сумма углов треугольника $= 360°$» — НЕВЕРНО. Сумма углов любого треугольника равна $\\mathbf{180°}$.
Ответ: г)
`
},
{
text: `Раскройте скобки $-10 - (-5x - 12)$ и упростите полученное выражение.`,
sol: `Минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри:
$$-10 - (-5x - 12) = -10 + 5x + 12 = 5x + 2$$
Ответ: $5x+2$
`
},
{
text: `Решите неравенство $2x - 5 > 17$.
Определите количество целых чисел из второго десятка, которые являются решениями этого неравенства.`,
sol: `Свойства линейного неравенства: к обеим частям можно прибавлять одно и то же число, а также можно делить обе части на положительное число — знак неравенства не меняется.
Шаг 1. Прибавляем $5$ к обеим частям:
$$2x - 5 + 5 > 17 + 5 \\implies 2x > 22$$
Шаг 2. Делим обе части на $2$ (положительное число):
$$x > 11$$
Шаг 3. Второй десяток — это натуральные числа от $11$ до $20$ (числа $11,\\,12,\\,\\ldots,\\,20$).
Решениями (т.е. $x > 11$ строго) являются те, что больше $11$:
$$12,\\,13,\\,14,\\,15,\\,16,\\,17,\\,18,\\,19,\\,20$$
Всего $9$ чисел.
Треугольник $ABD$ — равнобедренный с углом при вершине $60°$. Углы при основании равны $\\dfrac{180°-60°}{2}=60°$ — все три угла $= 60°$, т.е. треугольник равносторонний.
Значит, $BD = AB = 12$ см.
Ответ: $BD = 12$ см
`
},
{
text: `В арифметической прогрессии второй и девятый члены соответственно равны $3$ и $10$.
Чему равна сумма третьего и десятого членов этой прогрессии?`,
sol: `Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1)d$, где $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии.
Из этой формулы следует: $a_m - a_k = (m - k)\\cdot d$ для любых номеров $m$, $k$.
Шаг 1. Находим разность $d$.
Между $a_2$ и $a_9$ — $9 - 2 = 7$ шагов:
$$a_9 - a_2 = 7d \\implies 10 - 3 = 7d \\implies 7d = 7 \\implies d = 1$$
Шаг 2. Находим $a_3$ и $a_{10}$.
$a_3 = a_2 + d = 3 + 1 = 4$ (следующий член = предыдущий $+\\,d$).
$a_{10} = a_9 + d = 10 + 1 = 11$.
Шаг 3. Складываем:
$$a_3 + a_{10} = 4 + 11 = 15$$
Ответ: $15$
`
},
{
text: `Двое сотрудников производственной лаборатории Слуцкого сыродельного комбината
$6$ дней обрабатывали результаты измерений.
За какое время может выполнить эту работу первый работник, работая отдельно,
если он за $2$ дня выполняет такую же часть работы, какую второй выполняет за $3$ дня?`,
sol: `Пусть производительности (часть работы за день): первый — $r_1$, второй — $r_2$.
Условие 1: «первый за $2$ дня выполняет столько же, сколько второй за $3$»:
$$2r_1 = 3r_2 \\implies r_2 = \\dfrac{2}{3}r_1$$
Условие 2: вместе за $6$ дней выполнили всю работу ($=1$):
$$6(r_1 + r_2) = 1 \\implies 6\\left(r_1 + \\dfrac{2}{3}r_1\\right) = 1$$
$$6\\cdot\\dfrac{5r_1}{3} = 1 \\implies 10r_1 = 1 \\implies r_1 = \\dfrac{1}{10}$$
Первый работник один выполнит работу за время $\\dfrac{1}{r_1} = 10$ дней.
Ответ: $10$ дней
`
},
{
text: `Окружности с радиусами $4$ см и $9$ см касаются внешним образом.
Найдите отрезок общей внешней касательной, заключённый между точками касания.`,
sol: `$O_1O_2 = R+r = 9+4 = 13$ см (внешнее касание). Радиусы перпендикулярны касательной: $O_1T_1\\perp T_1T_2$ и $O_2T_2\\perp T_1T_2$, поэтому $O_1T_1\\parallel O_2T_2$.
Ключевая идея: опустим из $O_2$ перпендикуляр на прямую $O_1T_1$ — получим точку $H$.
Тогда $O_2T_2T_1H$ — прямоугольник, значит $O_2H = T_1T_2$ (то, что ищем).
$$O_1H = O_1T_1 - T_1H = R - r = 9 - 4 = 5\\text{ см}$$
В прямоугольном $\\triangle O_1HO_2$ ($\\angle H = 90°$) — узнаём тройку 5–12–13:
$$O_1O_2^2 = O_1H^2 + O_2H^2 \\implies 13^2 = 5^2 + (T_1T_2)^2$$
$$169 = 25 + (T_1T_2)^2 \\implies (T_1T_2)^2 = 144 \\implies T_1T_2 = 12\\text{ см}$$
Ответ: $12$ см
`
},
{
text: `Определите знак выражения $8x_1 - x_2$, где $x_1$, $x_2$ — корни уравнения
$(6 + 2\\sqrt{5})\\,x^2 - 15x - (6 - 2\\sqrt{5}) = 0$ и $x_1 < x_2$.`,
sol: `Шаг 1. Замена переменной. Пусть $y = (6+2\\sqrt{5})\\,x$, тогда $x = \\dfrac{y}{6+2\\sqrt{5}}$. Подставляем в уравнение и умножаем на $(6+2\\sqrt{5})$:
$$y^2 - 15y - (6+2\\sqrt{5})(6-2\\sqrt{5}) = 0$$
По формуле разности квадратов: $(6+2\\sqrt{5})(6-2\\sqrt{5}) = 36 - 20 = 16$.
$$y^2 - 15y - 16 = 0$$
Шаг 2. Решаем простое уравнение.
$$D = 225 + 64 = 289 = 17^2 \\implies y = \\dfrac{15\\pm17}{2}$$
$$y_1 = -1, \\quad y_2 = 16$$
Шаг 3. Возвращаемся к $x$. $x = \\dfrac{y}{6+2\\sqrt{5}}$.
Так как $6+2\\sqrt{5} > 0$, знак $x$ совпадает со знаком $y$. Поэтому $x_1 < 0 < x_2$:
$$x_1 = \\dfrac{-1}{6+2\\sqrt{5}} = -\\dfrac{6-2\\sqrt{5}}{16} \\quad\\text{(домножили на сопряжённое)}$$
$$x_2 = \\dfrac{16}{6+2\\sqrt{5}} = \\dfrac{16(6-2\\sqrt{5})}{16} = 6-2\\sqrt{5}$$
Шаг 4. Считаем $8x_1 - x_2$.
$$8x_1 = 8\\cdot\\left(-\\dfrac{6-2\\sqrt{5}}{16}\\right) = -\\dfrac{6-2\\sqrt{5}}{2}$$
$$8x_1 - x_2 = -\\dfrac{6-2\\sqrt{5}}{2} - (6-2\\sqrt{5}) = -(6-2\\sqrt{5})\\left(\\dfrac{1}{2}+1\\right) = -\\dfrac{3(6-2\\sqrt{5})}{2}$$
Так как $6 > 2\\sqrt{5}$ (потому что $36 > 20$), значит $6-2\\sqrt{5} > 0$, и всё выражение отрицательно.