VARIANTS[49] = { label: "Вариант 49", tasks: [ { text: `Определите, какое из данных выражений НЕ является одночленом:`, opts: [ ["а", "$2abc$"], ["б", "$m^{11}$"], ["в", "$\\dfrac{4}{y}$"], ["г", "$-\\dfrac{2}{7}c^4$"], ["д", "$\\dfrac{t}{5}$"], ], sol: `Определение: одночлен — произведение чисел и переменных в натуральных степенях.
Выражение $\\dfrac{4}{y}=4y^{-1}$ содержит переменную в знаменателе (отрицательная степень), поэтому одночленом не является.
Остальные варианты — корректные одночлены.
Ответ: в) $\\dfrac{4}{y}$.
` }, { text: `Уравнение окружности с центром в точке $(5;\\; 0)$ и радиусом $\\sqrt{7}$ имеет вид:`, opts: [ ["а", "$(x+5)^2 + y^2 = 7$"], ["б", "$(x-5)^2 + y^2 = \\sqrt{7}$"], ["в", "$(x+5)^2 - y^2 = 7$"], ["г", "$(x-5)^2 + y^2 = 7$"], ["д", "$(x-5)^2 - y^2 = 7$"], ], sol: `Уравнение окружности с центром $(a;\\,b)$ и радиусом $R$: $$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}.$$ Подставляем $a=5,\\;b=0,\\;R=\\sqrt{7},\\;R^{2}=7$: $$(x-5)^{2}+y^{2}=7.$$
Ответ: г) $(x-5)^{2}+y^{2}=7$.
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "у подобных треугольников соответствующие углы равны;"], ["б", "если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен $90^{\\circ}$;"], ["в", "$\\operatorname{tg} 45^{\\circ} = 1$;"], ["г", "биссектриса любого треугольника делит сторону треугольника пополам?"], ], sol: `Проверим утверждения:
Ответ: г).
` }, { text: `Найдите значение выражения $15^0 + \\sqrt{16} - \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{-1} + \\sqrt{\\dfrac{1}{4}}$.`, sol: `Вычисляем по частям: Тогда $1+4-3+\\dfrac{1}{2}=2+\\dfrac{1}{2}=2{,}5.$
Ответ: $2{,}5$ (или $\\dfrac{5}{2}$).
` }, { text: `$ABCD$ — параллелограмм, биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, $BK = 6$ см, $KC = 4$ см. Найдите периметр параллелограмма.`, sol: ` A B C D K 6 4 Свойство биссектрисы и параллельных прямых.
Шаг 1. Обозначим $\\angle A = 2\\alpha$. Так как $AK$ — биссектриса угла $A$, то она делит этот угол пополам, поэтому $\\angle BAK = \\alpha$.
Шаг 2. По свойству параллелограмма $BC \\parallel AD$. Прямая $AK$ — секущая для этих параллельных прямых, значит накрест лежащие углы равны: $$\\angle AKB = \\angle KAD = \\alpha.$$ Шаг 3. В $\\triangle ABK$ два угла равны ($\\angle BAK = \\angle AKB = \\alpha$), значит треугольник равнобедренный, и стороны напротив равных углов равны: $$AB = BK = 6\\text{ см}.$$ Шаг 4. Находим $BC$: точка $K$ лежит на стороне $BC$, поэтому $$BC = BK + KC = 6 + 4 = 10\\text{ см}.$$ Так как $AD = BC$ (противоположные стороны параллелограмма), то $AD = 10$ см.
Шаг 5. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме соседних сторон: $$P = 2(AB + BC) = 2(6 + 10) = 32\\text{ см}.$$
Ответ: $32$ см.
` }, { text: `Упростите выражение $\\dfrac{x^2 - 4x + 4}{(x+5)^2 - 49}$.`, sol: `Формула квадрата разности: $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.
Формула разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Шаг 1. Раскладываем числитель по формуле квадрата разности (так как $4x=2\\cdot x\\cdot 2$ и $4=2^2$): $$x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.$$ Шаг 2. Раскладываем знаменатель по формуле разности квадратов (так как $49=7^2$): $$(x+5)^{2}-49=(x+5-7)(x+5+7)=(x-2)(x+12).$$ Шаг 3. Подставляем разложения в дробь и сокращаем общий множитель $(x-2)$: $$\\dfrac{(x-2)^{2}}{(x-2)(x+12)}=\\dfrac{x-2}{x+12}.$$ Шаг 4. Указываем ОДЗ: знаменатели исходного и сокращённого выражений не должны обращаться в ноль, поэтому $x\\ne 2$ и $x\\ne -12$.
Ответ: $\\dfrac{x-2}{x+12}$.
` }, { text: `Определите, сколько общих точек у прямой $y = -5$ и графика функции $y = -5x^2 - x + 1$. В ответ запишите координаты точек пересечения.`, sol: `Метод: чтобы найти общие точки графиков, приравнивают их правые части и решают полученное уравнение; каждый корень даёт одну общую точку.
Шаг 1. Приравниваем правые части (так как в общей точке значения $y$ совпадают): $$-5=-5x^{2}-x+1.$$ Шаг 2. Переносим всё в одну сторону: $$5x^{2}+x-6=0.$$ Шаг 3. Находим дискриминант квадратного уравнения по формуле $D=b^2-4ac$: $$D=1^{2}-4\\cdot 5\\cdot(-6)=1+120=121,\\quad \\sqrt{D}=11.$$ Шаг 4. По формуле корней $x_{1,2}=\\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$: $$x_{1,2}=\\dfrac{-1\\pm 11}{10}\\;\\implies\\;x_{1}=1,\\;x_{2}=-\\dfrac{6}{5}=-1{,}2.$$ Шаг 5. Так как уравнение имеет два различных корня, общих точек тоже две. При каждом из значений $y=-5$ (по условию прямой), значит точки пересечения: $(1;\\,-5)$ и $(-1{,}2;\\,-5)$.
Ответ: $2$ точки: $(1;\\,-5)$ и $(-1{,}2;\\,-5)$.
` }, { text: `Бригада маляров красит фасад здания площадью $2100$ м², ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число квадратных метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила $350$ м² фасада. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь фасад.`, sol: `Формула суммы $n$ членов арифметической прогрессии: $$S_n = \\dfrac{(a_1 + a_n) \\cdot n}{2}.$$ Шаг 1. По условию ежедневные нормы покраски увеличиваются на одно и то же число, значит они образуют арифметическую прогрессию $a_1, a_2, \\ldots, a_n$, где $n$ — количество дней.
Шаг 2. По условию сумма площадей в первый и последний день: $a_1 + a_n = 350$ м². Общая площадь — это сумма всех членов прогрессии: $S_n = 2100$ м².
Шаг 3. Подставляем в формулу суммы: $$2100 = \\dfrac{350 \\cdot n}{2} = 175n.$$ Шаг 4. Находим $n$: $$n = \\dfrac{2100}{175} = 12.$$
Ответ: $12$ дней.
` }, { text: `Найдите сумму целых решений системы неравенств $$\\begin{cases} \\dfrac{x+5}{x} \\leq 0, \\\\[6pt] x^2 + 4x > -3. \\end{cases}$$`, sol: `Метод интервалов: решаем каждое неравенство по отдельности, затем берём пересечение.
Шаг 1. Первое неравенство $\\dfrac{x+5}{x} \\leq 0$.
Находим нули числителя и знаменателя: $x = -5$ (включается, потому что $\\leq$) и $x = 0$ (выколота, так как делить на ноль нельзя).
Методом интервалов получаем $x \\in [-5;\\,0)$.
Шаг 2. Второе неравенство $x^2 + 4x \\gt -3$.
Переносим $-3$ влево: $x^2 + 4x + 3 \\gt 0$.
Раскладываем на множители: $x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$.
Парабола ветвями вверх, поэтому $(x+1)(x+3) \\gt 0$ при $x \\lt -3$ или $x \\gt -1$, то есть $$x \\in (-\\infty;\\,-3) \\cup (-1;\\,+\\infty).$$ Шаг 3. Пересечение двух решений: $$x \\in [-5;\\,-3) \\cup (-1;\\,0).$$ Шаг 4. Целые решения.
На $[-5;\\,-3)$ — это $-5$ и $-4$ (число $-3$ не входит); на $(-1;\\,0)$ целых чисел нет.
Шаг 5. Сумма: $-5 + (-4) = -9$.
Ответ: $-9$.
` }, { text: `В треугольнике $ABC$ проведены отрезки $MK \\| AC$ и $KE \\| AB$, где точки $M$, $K$ и $E$ принадлежат сторонам $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Площадь треугольника $MBK$ равна $9$ см², треугольника $EKC$ — $16$ см². Найдите площадь четырёхугольника $AMKE$.`, sol: ` A B C M K E S=9 S=16 AMKE = ? Теорема: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Шаг 1. Подобие $\\triangle MBK \\sim \\triangle ABC$.
Так как $MK \\parallel AC$, то $\\triangle MBK$ подобен $\\triangle ABC$ (углы $B$ общий, остальные — как соответственные при параллельных). Коэффициент подобия: $$k_1 = \\dfrac{BK}{BC}.$$ Шаг 2. Подобие $\\triangle KEC \\sim \\triangle ABC$.
Так как $KE \\parallel AB$, аналогично $\\triangle KEC \\sim \\triangle ABC$ с коэффициентом $$k_2 = \\dfrac{KC}{BC}.$$ Шаг 3. Связь коэффициентов.
Так как $BK + KC = BC$, то $$k_1 + k_2 = \\dfrac{BK + KC}{BC} = 1.$$ Шаг 4. Выражаем коэффициенты через площади.
Пусть $S = S_{ABC}$. По теореме об отношении площадей: $$\\dfrac{S_{MBK}}{S} = k_1^2 \\implies k_1 = \\dfrac{3}{\\sqrt{S}}; \\quad \\dfrac{S_{EKC}}{S} = k_2^2 \\implies k_2 = \\dfrac{4}{\\sqrt{S}}.$$ Шаг 5. Находим $S$.
Подставляем в равенство $k_1 + k_2 = 1$: $$\\dfrac{3}{\\sqrt{S}} + \\dfrac{4}{\\sqrt{S}} = 1 \\implies \\dfrac{7}{\\sqrt{S}} = 1 \\implies \\sqrt{S} = 7 \\implies S = 49.$$ Шаг 6. Площадь четырёхугольника $AMKE$.
Большой треугольник разбит на два маленьких и четырёхугольник: $$S_{AMKE} = S_{ABC} - S_{MBK} - S_{EKC} = 49 - 9 - 16 = 24\\text{ см}^2.$$
Ответ: $24$ см².
` }, ] };