`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "диагонали прямоугольника равны между собой;"],
["б", "для прямоугольного треугольника с катетами $m$ и $n$ и гипотенузой $k$ справедливо $m^2 + n^2 = k^2$;"],
["в", "в треугольнике может быть два прямых угла;"],
["г", "вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла?"],
],
sol: `Анализ утверждений:
а) верно — свойство прямоугольника;
б) верно — теорема Пифагора;
в) не верно — сумма углов треугольника равна $180^{\\circ}$, а два прямых угла дают $90^{\\circ}+90^{\\circ}=180^{\\circ}$, тогда на третий угол не остаётся;
г) верно — теорема о вписанном угле.
Ответ: в)
`
},
{
text: `Найдите значения аргумента, при которых значения функции $y = -9x + 7$ неположительны.`,
sol: `Условие: $y \\leq 0$, то есть $-9x + 7 \\leq 0$.
`
},
{
text: `Найдите значение выражения $(18n^4 + 27n^3) : (9n^2) - 10n^3 : (5n)$ при $n = -4$.`,
sol: `Правило деления многочлена на одночлен: делим каждый член многочлена на этот одночлен. Для степеней: $\\dfrac{a^m}{a^k}=a^{m-k}$. Шаг 1. Сначала упростим выражение, а потом подставим число — так считать проще, чем сразу подставлять $n=-4$. Шаг 2. Делим первый многочлен на $9n^2$ почленно:
$$\\dfrac{18n^4 + 27n^3}{9n^2} = \\dfrac{18n^4}{9n^2} + \\dfrac{27n^3}{9n^2} = 2n^2 + 3n.$$
Шаг 3. Делим второй одночлен:
$$\\dfrac{10n^3}{5n} = 2n^2.$$
Шаг 4. Вычитаем результаты:
$$(2n^2 + 3n) - 2n^2 = 3n.$$
Шаг 5. Подставляем $n=-4$:
$$3 \\cdot (-4) = -12.$$
Ответ: $-12$
`
},
{
text: `$ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD = 10$ см, $BC = 6$ см.
Диагональ $BD$ равна $10$ см. Найдите площадь трапеции.`,
sol: `
Свойство равнобедренной трапеции: высоты, опущенные из вершин меньшего основания на большее, отсекают по краям равные отрезки длины $\\dfrac{AD - BC}{2}$. Теорема Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$ в прямоугольном треугольнике. Формула площади трапеции: $S = \\dfrac{a + b}{2} \\cdot h$. Шаг 1. Находим положение основания высоты.
Опустим высоту $BH \\perp AD$. Так как трапеция равнобедренная,
$$AH = \\dfrac{AD - BC}{2} = \\dfrac{10 - 6}{2} = 2\\text{ см},$$
а $HD = AD - AH = 10 - 2 = 8$ см. Шаг 2. Находим высоту $BH$ по теореме Пифагора.
В прямоугольном $\\triangle BHD$ гипотенуза $BD = 10$ и катет $HD = 8$:
$$BH = \\sqrt{BD^2 - HD^2} = \\sqrt{100 - 64} = \\sqrt{36} = 6\\text{ см}.$$
Шаг 3. Находим площадь.
$$S = \\dfrac{AD + BC}{2} \\cdot BH = \\dfrac{10 + 6}{2} \\cdot 6 = 8 \\cdot 6 = 48\\text{ см}^2.$$
Ответ: $48$ см²
`
},
{
text: `Решите уравнение $1 + \\dfrac{5}{m^2 - m - 6} = \\dfrac{-1}{m + 2}$.`,
sol: `План решения дробного уравнения: разложить знаменатели, найти ОДЗ, умножить на общий знаменатель, решить полученное уравнение и проверить корни. Шаг 1. Раскладываем знаменатель.
По теореме Виета подбираем числа $-3$ и $2$ (произведение $-6$, сумма $-1$):
$$m^2 - m - 6 = (m - 3)(m + 2).$$
Шаг 2. Находим ОДЗ.
Знаменатели не должны равняться нулю: $m \\neq 3,\\; m \\neq -2$. Шаг 3. Умножаем обе части на общий знаменатель $(m-3)(m+2)$.
$$(m-3)(m+2) + 5 = -(m-3).$$
Шаг 4. Раскрываем скобки.
$m^2 - m - 6 + 5 = -m + 3$;
$m^2 - m - 1 = -m + 3$;
$m^2 = 4$, откуда $m = \\pm 2$. Шаг 5. Проверяем корни по ОДЗ.
$m = -2$ не входит в ОДЗ — отбрасываем. Значит, остаётся $m = 2$.
Ответ: $m = 2$
`
},
{
text: `Найдите значение выражения $\\dfrac{9}{2-\\sqrt{13}} - \\dfrac{12}{5+\\sqrt{13}}$.
В ответ запишите число, обратное полученному.`,
sol: `Метод рационализации знаменателя: чтобы убрать корень из знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. При этом используется формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Шаг 1. Преобразуем первую дробь. Сопряжённое к $2-\\sqrt{13}$ — это $2+\\sqrt{13}$:
$$\\dfrac{9}{2-\\sqrt{13}} = \\dfrac{9(2+\\sqrt{13})}{(2-\\sqrt{13})(2+\\sqrt{13})} = \\dfrac{9(2+\\sqrt{13})}{4-13} = \\dfrac{9(2+\\sqrt{13})}{-9} = -(2+\\sqrt{13}).$$
Шаг 2. Преобразуем вторую дробь. Сопряжённое к $5+\\sqrt{13}$ — это $5-\\sqrt{13}$:
$$\\dfrac{12}{5+\\sqrt{13}} = \\dfrac{12(5-\\sqrt{13})}{25-13} = \\dfrac{12(5-\\sqrt{13})}{12} = 5-\\sqrt{13}.$$
Шаг 3. Считаем разность дробей:
$$-(2+\\sqrt{13}) - (5-\\sqrt{13}) = -2 - \\sqrt{13} - 5 + \\sqrt{13} = -7.$$
Шаг 4. По условию записываем число, обратное полученному. Обратное к $-7$ — это
$$\\dfrac{1}{-7} = -\\dfrac{1}{7}.$$
Ответ: $-\\dfrac{1}{7}$
`
},
{
text: `Плиточник планирует уложить $300$ м² плитки. Если он будет укладывать на $5$ м²
в день больше, чем запланировал, то закончит работу на $5$ дней раньше.
Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?
Успеет ли он выполнить заказ за $20$ рабочих дней, если будет работать с опережением?
Ответ обоснуйте.`,
sol: `Пусть $x$ м²/день — плановая производительность ($x>0$).
Плановое время: $\\dfrac{300}{x}$ дней; ускоренное: $\\dfrac{300}{x+5}$ дней.
Плановая производительность: $15$ м²/день; плановый срок $\\dfrac{300}{15}=20$ дней.
С опережением: $15+5=20$ м²/день, тогда срок $\\dfrac{300}{20}=15$ дней $< 20$ дней — успеет.
Ответ: $15$ м²/день; да, успеет (закончит за $15$ дней).
`
},
{
text: `В треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 5$, $BC = 7$, $AC = 8$ вписана окружность.
Касательная $MK$ к окружности пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$
так, что $MK$ не параллельна $BC$.
Найдите периметр треугольника $AMK$.`,
sol: `
Шаг 1. Точки касания вписанной окружности. Окружность касается стороны $AB$ в точке $P$, стороны $AC$ — в точке $Q$, а касательной $MK$ — в точке $T$.
Шаг 2. Длина $AP$ через полупериметр. Полупериметр: $s=\\dfrac{5+7+8}{2}=10$.
По известной формуле, касательная из вершины $A$ равна $s$ минус противоположная сторона:
$$AP = AQ = s - BC = 10 - 7 = 3\\text{ см}$$
Шаг 3. Касательные из точек $M$ и $K$. Из точки $M$ проведены две касательные: одна вдоль $AB$ (касается в $P$), другая — отрезок $MT$. По свойству касательных из одной внешней точки:
$$MP = MT$$
Аналогично из $K$:
$$KQ = KT$$
Шаг 4. Периметр $\\triangle AMK$. Распишем периметр и заменим $MT \\to MP$, $TK \\to KQ$:
$$P_{AMK} = \\underbrace{AM}_{\\text{на }AB} + \\underbrace{MK}_{=MT+TK} + \\underbrace{KA}_{\\text{на }AC}$$
$$= AM + MT + TK + KA = AM + MP + KQ + KA$$
Группируем по сторонам $AB$ и $AC$:
$$= \\underbrace{(AM + MP)}_{=\\,AP} + \\underbrace{(KQ + KA)}_{=\\,AQ} = AP + AQ$$
$$= 3 + 3 = 6\\text{ см}$$