VARIANTS[57] = { label: "Вариант 57", tasks: [ { text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = 3$:`, figure: ``, sol: `Уравнение $y = 3$ задаёт постоянную функцию: при любом значении $x$ значение $y$ равно $3$.
Графиком является горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0;\\,3)$ (на высоте $3$ над осью абсцисс). x y 0 y = 3 3
Ответ: горизонтальная прямая $y=3$, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0;\\,3)$.
` }, { text: `Определите, какой из данных одночленов записан в стандартном виде:`, opts: [ ["а", "$3xyuz$"], ["б", "$-x \\cdot \\dfrac{1}{2} \\cdot y \\cdot z$"], ["в", "$0{,}25x^5yz$"], ["г", "$0{,}5x^5y \\cdot 2z$"], ["д", "$x^5y \\cdot 2zy$"], ], sol: `Одночлен записан в стандартном виде, если он представлен как произведение одного числового коэффициента и переменных, каждая из которых встречается ровно один раз и возведена в натуральную степень.
Ответ: в) $0{,}25x^5yz$
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "$\\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"], ["б", "площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними;"], ["в", "сумма углов прямоугольника равна $270^{\\circ}$;"], ["г", "периметр квадрата со стороной $a$ равен $4a$?"], ], sol: `
Ответ: в)
` }, { text: `Известно, что функция $y = f(x)$ нечётная и $f(5) = -9$, $f(-3) = 4$. Найдите значение выражения $f(3) + f(-5)$.`, sol: `Для нечётной функции выполняется тождество $f(-x)=-f(x)$.
Тогда: $$f(-5) = -f(5) = -(-9) = 9,$$ $$f(3) = -f(-3) = -4.$$ Складываем: $$f(3)+f(-5) = -4 + 9 = 5.$$
Ответ: $5$
` }, { text: `Коробка конфет кондитерской фабрики «Коммунарка» стоит $17$ р. $60$ к. Какое наибольшее количество коробок можно купить на $130$ р.?`, sol: `Метод составления неравенства по условию: общая стоимость покупки не должна превосходить имеющейся суммы.
Шаг 1. Переведём цену в рубли: $17$ р. $60$ к. $= 17{,}60$ р.
Шаг 2. Обозначим $n$ — число коробок. Тогда стоимость $n$ коробок равна $17{,}60\\,n$ рублей. По условию её хватает на $130$ р., поэтому $$17{,}60\\,n \\leq 130.$$ Шаг 3. Решаем неравенство, делим обе части на положительное число $17{,}60$: $$n \\leq \\dfrac{130}{17{,}60} = 7{,}3863\\ldots$$ Шаг 4. Так как $n$ — натуральное число (количество коробок), наибольшее значение, удовлетворяющее $n\\leq 7{,}38\\ldots$, — это $n=7$.
Шаг 5. Проверим:
Ответ: $7$ коробок
` }, { text: `В квадрат, диагональ которого равна $8$ см, вписана окружность. Найдите длину этой окружности.`, sol: `Теорема Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.
Свойство квадрата: диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника, у которых катеты — стороны квадрата.
Свойство вписанной окружности: радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны.
Формула длины окружности: $C = 2\\pi R$.
Шаг 1. Находим сторону квадрата.
Пусть $a$ — сторона, $d = 8$ — диагональ. По теореме Пифагора в одном из треугольников (катеты $a$ и $a$): $$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \\implies 2a^2 = 64 \\implies a^2 = 32 \\implies a = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\text{ см}.$$ Шаг 2. Находим радиус вписанной окружности. $$R = \\dfrac{a}{2} = \\dfrac{4\\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{2}\\text{ см}.$$ Шаг 3. Находим длину окружности. $$C = 2\\pi R = 2\\pi \\cdot 2\\sqrt{2} = 4\\pi\\sqrt{2}\\text{ см}.$$ A B C D R O a = 4√2
Ответ: $C = 4\\pi\\sqrt{2}$ см
` }, { text: `Найдите наименьшее целое значение переменной, при котором сумма дробей $\\dfrac{2x-5}{4}$ и $\\dfrac{3-4x}{6}$ неположительна.`, sol: `Метод решения линейного неравенства с дробями: приводим к общему знаменателю, домножаем на положительное число (знак не меняется), решаем.
Шаг 1. «Неположительна» означает «не больше нуля», то есть $\\leq 0$. Записываем неравенство: $$\\dfrac{2x-5}{4} + \\dfrac{3-4x}{6} \\leq 0.$$ Шаг 2. Приводим к общему знаменателю $12$ (наименьшее общее кратное чисел $4$ и $6$): $$\\dfrac{3(2x-5) + 2(3-4x)}{12} \\leq 0.$$ Шаг 3. Раскрываем скобки в числителе: $$\\dfrac{6x-15+6-8x}{12} \\leq 0 \\iff \\dfrac{-2x-9}{12} \\leq 0.$$ Шаг 4. Так как знаменатель $12\\gt 0$, неравенство равносильно тому, что числитель $\\leq 0$: $$-2x-9 \\leq 0 \\iff -2x \\leq 9 \\iff x \\geq -\\dfrac{9}{2} = -4{,}5$$ (при делении на отрицательное число $-2$ знак неравенства меняется на противоположный).
Шаг 5. Ищем наименьшее целое $x$, удовлетворяющее $x\\geq -4{,}5$. Это $x=-4$.
Ответ: $-4$
` }, { text: `Упростите выражение $\\left(\\dfrac{9}{4-\\sqrt{7}} - \\dfrac{33}{6-\\sqrt{3}} - \\dfrac{4}{\\sqrt{7}+\\sqrt{3}}\\right)^{\\!2}$.`, sol: `Метод рационализации знаменателя: чтобы убрать корень из знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. При этом срабатывает формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Шаг 1. Преобразуем первую дробь. Сопряжённое к $4-\\sqrt{7}$ — это $4+\\sqrt{7}$: $$\\dfrac{9}{4-\\sqrt{7}} = \\dfrac{9(4+\\sqrt{7})}{(4-\\sqrt{7})(4+\\sqrt{7})} = \\dfrac{9(4+\\sqrt{7})}{16-7} = \\dfrac{9(4+\\sqrt{7})}{9} = 4+\\sqrt{7}.$$ Шаг 2. Преобразуем вторую дробь. Сопряжённое к $6-\\sqrt{3}$ — это $6+\\sqrt{3}$: $$\\dfrac{33}{6-\\sqrt{3}} = \\dfrac{33(6+\\sqrt{3})}{36-3} = \\dfrac{33(6+\\sqrt{3})}{33} = 6+\\sqrt{3}.$$ Шаг 3. Преобразуем третью дробь. Сопряжённое к $\\sqrt{7}+\\sqrt{3}$ — это $\\sqrt{7}-\\sqrt{3}$: $$\\dfrac{4}{\\sqrt{7}+\\sqrt{3}} = \\dfrac{4(\\sqrt{7}-\\sqrt{3})}{7-3} = \\dfrac{4(\\sqrt{7}-\\sqrt{3})}{4} = \\sqrt{7}-\\sqrt{3}.$$ Шаг 4. Подставляем в исходное выражение и приводим подобные слагаемые: $$(4+\\sqrt{7}) - (6+\\sqrt{3}) - (\\sqrt{7}-\\sqrt{3}) = 4+\\sqrt{7} - 6 - \\sqrt{3} - \\sqrt{7} + \\sqrt{3} = -2.$$ Шаг 5. По условию надо возвести в квадрат: $$(-2)^2 = 4.$$
Ответ: $4$
` }, { text: `Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ взята некоторая точка $M$. Отрезок $DM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $K$. Площади треугольников $MCK$ и $DCK$ равны соответственно $9$ см² и $15$ см². Найдите площадь параллелограмма.`, sol: ` A B C D M K 9 15 Треугольники $MCK$ и $DCK$ имеют общую вершину $C$, а основания $MK$ и $KD$ лежат на одной прямой $DM$. Значит, их площади относятся как длины оснований: $$\\dfrac{S_{MCK}}{S_{DCK}} = \\dfrac{MK}{KD} = \\dfrac{9}{15} = \\dfrac{3}{5}.$$ Так как $AD\\parallel BC$, то $\\triangle AKD \\sim \\triangle CKM$ (по двум углам: $\\angle AKD=\\angle CKM$ — вертикальные, $\\angle KAD=\\angle KCM$ — накрест-лежащие).
Коэффициент подобия: $$\\dfrac{AD}{CM} = \\dfrac{KD}{KM} = \\dfrac{5}{3} \\implies CM = \\dfrac{3}{5}AD.$$ Площадь треугольника $CDM$: $$S_{CDM} = S_{MCK} + S_{DCK} = 9 + 15 = 24\\text{ см}^2.$$ С другой стороны, если $h$ — высота параллелограмма, опущенная на $BC$, то $S_{CDM}=\\dfrac{1}{2}\\cdot CM\\cdot h$: $$24 = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{3}{5}AD\\cdot h \\implies AD\\cdot h = \\dfrac{24\\cdot 2\\cdot 5}{3} = 80.$$ Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту: $$S_{ABCD} = AD\\cdot h = 80\\text{ см}^2.$$
Ответ: $80$ см²
` }, { text: `Решите систему уравнений $$\\begin{cases} xy - x - y = 29, \\\\[4pt] x^2 + y^2 - x - y = 72. \\end{cases}$$`, sol: `Идея: в каждом уравнении встречается выражение $x+y$. Введём одну замену $s = x+y$.

Шаг 1. Из первого уравнения выражаем $xy$: $$xy = s + 29$$ Из второго — выражаем $x^2+y^2$: $$x^2+y^2 = s + 72$$ Шаг 2. Применяем тождество $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, то есть $x^2+y^2 = s^2 - 2xy$.
Подставляем найденные выражения: $$s + 72 = s^2 - 2(s+29)$$ $$s + 72 = s^2 - 2s - 58$$ $$s^2 - 3s - 130 = 0$$ Шаг 3. Решаем квадратное уравнение.
$D = 9+520 = 529 = 23^2$, корни: $$s = \\dfrac{3\\pm23}{2}: \\quad s_1 = 13,\\quad s_2 = -10$$ Шаг 4. Для каждого $s$ восстанавливаем $x$ и $y$.
Если $x+y = s$ и $xy = s+29$, то по обратной теореме Виета $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - st + (s+29) = 0$.

Случай 1: $s = 13$, $xy = 42$. $$t^2 - 13t + 42 = 0 \\implies (t-6)(t-7)=0 \\implies t = 6\\text{ или }7$$ $$(x;\\,y) = (6;\\,7)\\ \\text{или}\\ (7;\\,6)$$ Проверка: $6\\cdot7-6-7 = 42-13 = 29$ ✓;  $36+49-6-7 = 72$ ✓.

Случай 2: $s = -10$, $xy = 19$. $$t^2 + 10t + 19 = 0 \\implies D = 100-76 = 24 \\implies t = -5\\pm\\sqrt{6}$$ $$(x;\\,y) = (-5+\\sqrt{6};\\,-5-\\sqrt{6})\\ \\text{или}\\ (-5-\\sqrt{6};\\,-5+\\sqrt{6})$$
Ответ: $(6;\\,7),\\ (7;\\,6),\\ (-5+\\sqrt{6};\\,-5-\\sqrt{6}),\\ (-5-\\sqrt{6};\\,-5+\\sqrt{6})$
` }, ] };