`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "если две окружности касаются внешним образом, то сумма их радиусов равна расстоянию между их центрами;"],
["б", "$\\sin 60^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$;"],
["в", "на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой;"],
["г", "у любого ромба все углы прямые?"],
],
sol: `Проверяем каждое утверждение:
а) верно — это свойство внешнего касания окружностей;
б) верно — табличное значение $\\sin 60^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$;
в) верно — признак параллельности прямых на плоскости;
г) неверно — прямые углы есть только у квадрата (частного случая ромба), а не у любого ромба.
Ответ: г.
`
},
{
text: `Найдите значение выражения $\\left(3\\dfrac{1}{3}\\right)^{-2}$.
В ответ запишите противоположное ему число.`,
sol: `Превратим смешанное число в обыкновенную дробь: $3\\dfrac{1}{3} = \\dfrac{10}{3}$.
По свойству $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^{n}}$:
$$\\left(\\dfrac{10}{3}\\right)^{-2} = \\left(\\dfrac{3}{10}\\right)^{2} = \\dfrac{9}{100} = 0{,}09.$$
Противоположное число: $-0{,}09$.
Ответ: $-0{,}09$ (или $-\\dfrac{9}{100}$).
`
},
{
text: `Вершина угла $ABC$ лежит на окружности с центром в точке $O$,
а стороны пересекают окружность в точках $A$ и $C$.
Угол $ABO$ равен $40^{\\circ}$, угол $ACO$ равен $30^{\\circ}$.
Найдите величину угла $BOC$.`,
sol: `
$OA=OB=OC=R$ (радиусы), значит треугольники $OAB$, $OAC$, $OBC$ равнобедренные, и углы при их основаниях равны.
В $\\triangle OAB$: $\\angle OAB = \\angle OBA = 40^{\\circ}$.
В $\\triangle OAC$: $\\angle OAC = \\angle OCA = 30^{\\circ}$.
Тогда $\\angle BAC = \\angle OAB + \\angle OAC = 40^{\\circ} + 30^{\\circ} = 70^{\\circ}$.
По сумме углов $\\triangle ABC$:
$$\\angle ABC + \\angle ACB = 180^{\\circ} - 70^{\\circ} = 110^{\\circ}.$$
Заметим, что $\\angle ABC = 40^{\\circ} + \\angle OBC$ и $\\angle ACB = 30^{\\circ} + \\angle OCB$. Подставляем:
$$40^{\\circ} + 30^{\\circ} + \\angle OBC + \\angle OCB = 110^{\\circ} \\implies \\angle OBC + \\angle OCB = 40^{\\circ}.$$
В $\\triangle OBC$ ($OB=OC$) углы при основании равны: $\\angle OBC = \\angle OCB = 20^{\\circ}$.
Значит $\\angle BOC = 180^{\\circ} - 20^{\\circ} - 20^{\\circ} = 140^{\\circ}$.
Ответ: $\\angle BOC = 140^{\\circ}$.
`
},
{
text: `Найдите число, $37\\%$ которого равны значению выражения $4{,}5 : 9 + 3{,}2$.`,
sol: `Правило нахождения числа по его проценту: если $p\\%$ числа $N$ равны $A$, то $N = \\dfrac{A}{p/100}$. Шаг 1. Сначала найдём значение выражения. По порядку действий деление выполняется раньше сложения:
$$4{,}5 : 9 + 3{,}2 = 0{,}5 + 3{,}2 = 3{,}7.$$
Шаг 2. Обозначим искомое число $N$. По условию $37\\%$ от $N$ равны $3{,}7$, то есть
$$0{,}37\\,N = 3{,}7.$$
Шаг 3. Находим $N$, разделив обе части на $0{,}37$:
$$N = \\dfrac{3{,}7}{0{,}37} = 10.$$
Ответ: $10$.
`
},
{
text: `График линейной функции проходит через точки $A(-2;\\;-4)$ и $B(0;\\;0)$.
Запишите формулу, задающую эту функцию,
и найдите значение выражения $f(-1) + f(3)$.`,
sol: `Линейная функция имеет вид $f(x) = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, $b$ — ордината точки пересечения с осью $Oy$ (значение при $x=0$). Шаг 1. Так как точка $B(0;\\,0)$ принадлежит графику, то $f(0) = b = 0$. Значит формула имеет вид
$$f(x) = kx.$$
Шаг 2. Точка $A(-2;\\,-4)$ тоже принадлежит графику, значит $f(-2) = -4$. Подставляем:
$$-4 = k \\cdot (-2) \\implies k = 2.$$
Шаг 3. Записываем формулу: $f(x) = 2x$. Шаг 4. Находим значение выражения $f(-1) + f(3)$:
$$f(-1) + f(3) = 2 \\cdot (-1) + 2 \\cdot 3 = -2 + 6 = 4.$$
Ответ: $f(x) = 2x$, $\\ f(-1)+f(3) = 4$.
`
},
{
text: `Решите систему уравнений
$$\\begin{cases} x - 2y = 1, \\\\[4pt] 3x + 4y = 23 \\end{cases}$$
и найдите разность найденных значений $x$ и $y$.`,
sol: `Метод сложения: уравниваем коэффициенты при одной из переменных так, чтобы при сложении уравнений эта переменная пропала. Шаг 1. Уравниваем коэффициенты при $y$.
В первом уравнении коэффициент при $y$ равен $-2$, во втором — $4$. Умножим первое уравнение на $2$, чтобы получить $-4y$:
$$\\begin{cases} 2x - 4y = 2, \\\\ 3x + 4y = 23. \\end{cases}$$
Шаг 2. Складываем уравнения.
$y$ взаимно уничтожается:
$$5x = 25 \\implies x = 5.$$
Шаг 3. Находим $y$.
Подставляем $x = 5$ в первое исходное уравнение $x - 2y = 1$:
$$5 - 2y = 1 \\implies 2y = 4 \\implies y = 2.$$
Шаг 4. Находим разность.
$$x - y = 5 - 2 = 3.$$
Ответ: $x = 5,\\ y = 2,\\ x - y = 3$.
`
},
{
text: `Собственная скорость катера равна $24$ км/ч.
Через сколько минут катер, двигаясь навстречу плоту, встретит его,
если он находится от плота на расстоянии $12$ км?`,
sol: `Плот плывёт со скоростью течения $v_p$ (км/ч). Катер идёт ему навстречу — значит против течения, его скорость относительно берега $24 - v_p$.
Скорость сближения катера и плота:
$$(24 - v_p) + v_p = 24 \\text{ км/ч}.$$
Скорость течения сокращается, поэтому ответ от неё не зависит.
Время до встречи:
$$t = \\dfrac{12}{24} = 0{,}5\\text{ ч} = 30\\text{ мин}.$$
Ответ: через $30$ минут.
`
},
{
text: `Известно, что в равнобедренном треугольнике $ABC$ $AB = BC = 4$.
Найдите $AC$, если медиана $AM = 3$.`,
sol: `
$M$ — середина $BC$, поэтому $BM = MC = \\dfrac{BC}{2} = 2$ см. Идея: используем теорему косинусов дважды с одним и тем же углом $B$ (общим для $\\triangle ABM$ и $\\triangle ABC$).