Раздел 3. Перпендикулярность

Прямая $l$ называется перпендикулярной плоскости $\alpha$, если она перпендикулярна каждой прямой в $\alpha$, проходящей через точку их пересечения.

Обозначение: $l \perp \alpha$.

Если прямая $l$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $m$ и $n$ плоскости $\alpha$, то $l \perp \alpha$.

Это основной инструмент для доказательства перпендикулярности.

Если $l \perp \alpha$, то $l$ перпендикулярна любой прямой плоскости $\alpha$ (не только проходящей через точку пересечения, но и параллельной ей).

$l \perp \alpha,\ a \subset \alpha \Rightarrow l \perp a$.

Если $l \perp \alpha$ и $l \parallel l'$, то $l' \perp \alpha$.

Если $l_1 \perp \alpha$ и $l_2 \perp \alpha$, то $l_1 \parallel l_2$.

Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, всегда параллельны между собой.

Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Через любую точку плоскости — единственная прямая, перпендикулярная этой плоскости.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$: ребро $AA_1$ перпендикулярно нижней грани $ABCD$, потому что $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AD$ (две пересек. прямые в плоскости).

Аналогично — каждое боковое ребро перпендикулярно обоим основаниям.

Длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\alpha$.

Перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.

Если $a \parallel \alpha$, то расстояние от $a$ до $\alpha$ — это расстояние от любой точки прямой $a$ до $\alpha$ (оно постоянно).

Длина общего перпендикуляра между $\alpha \parallel \beta$. Равна расстоянию от любой точки одной плоскости до другой.

Длина общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.

Общий перпендикуляр существует, единствен и перпендикулярен обеим прямым.

Перпендикуляр из точки на плоскость — это кратчайший отрезок от точки до плоскости.

Если из точки опущен перпендикуляр $AO$ и наклонная $AB$, то $|AO| \le |AB|$, причём равенство — только если $B = O$.

В кубе с ребром $a$:

• Расстояние от $A$ до плоскости $A_1B_1C_1D_1$ равно $a$ (ребро $AA_1$).
• Расстояние между рёбрами $AB$ и $C_1D_1$ равно $a\sqrt{2}$ (диагональ грани).
• Расстояние между $AB$ и $CC_1$ равно $a$ (ребро $BC$).