`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон;"],
["б", "сумма углов треугольника равна $360^{\\circ}$;"],
["в", "средняя линия трапеции равна полусумме оснований;"],
["г", "на плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой?"],
],
sol: `
а) Неравенство треугольника — верно
б) Сумма углов треугольника $= 360°$ — НЕВЕРНО
в) Средняя линия трапеции $=\\frac{a+b}{2}$ — верно
г) Транзитивность параллельности — верно
Сумма углов любого треугольника равна $\\mathbf{180°}$, а не $360°$.
`
},
{
text: `Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе,
и одним из катетов равен $60^{\\circ}$. Второй катет равен $16$ см.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.`,
sol: `В прямоугольном $\\triangle ABC$ ($\\angle C=90°$) высота $CH$ опущена на гипотенузу $AB$.
Свойство высоты в прямоугольном треугольнике: угол между высотой $CH$ и катетом $BC$ равен $\\angle A$.
$$\\angle BCH = \\angle A = 60°$$
Значит $\\angle A=60°$, $\\angle B=30°$.
«Второй катет» $AC$ — тот, что не связан напрямую с $60°$:
$$\\sin(\\angle B) = \\frac{AC}{AB} \\implies \\sin 30° = \\frac{16}{AB} \\implies \\frac{1}{2} = \\frac{16}{AB}$$
$$AB = 32\\text{ см}$$
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника:
$$R = \\frac{AB}{2} = \\frac{32}{2} = 16\\text{ см}$$
Ответ: $R = 16$ см
`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$\\dfrac{1}{1+\\sqrt{2}} + \\dfrac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}} + \\dfrac{1}{\\sqrt{3}+2}$.`,
sol: `Метод рационализации знаменателя: чтобы избавиться от радикала в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение — то же выражение с противоположным знаком.
Формула разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ — позволяет «сворачивать» произведение сопряжённых выражений.
Идея: после рационализации возникает телескопическая сумма, в которой соседние слагаемые попарно сокращаются.
Шаг 1. Рационализируем первую дробь. Сопряжённое выражение для $1+\\sqrt{2}$ — это $\\sqrt{2}-1$. Умножим числитель и знаменатель на него:
$$\\dfrac{1}{1+\\sqrt{2}} = \\dfrac{\\sqrt{2}-1}{(1+\\sqrt{2})(\\sqrt{2}-1)} = \\dfrac{\\sqrt{2}-1}{(\\sqrt{2})^2-1^2} = \\dfrac{\\sqrt{2}-1}{2-1} = \\sqrt{2}-1$$
Шаг 2. Рационализируем вторую дробь. Сопряжённое к $\\sqrt{2}+\\sqrt{3}$ — $\\sqrt{3}-\\sqrt{2}$:
$$\\dfrac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})} = \\dfrac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{3-2} = \\sqrt{3}-\\sqrt{2}$$
Шаг 3. Рационализируем третью дробь. Сопряжённое к $\\sqrt{3}+2$ — $2-\\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{1}{\\sqrt{3}+2} = \\dfrac{2-\\sqrt{3}}{(\\sqrt{3}+2)(2-\\sqrt{3})} = \\dfrac{2-\\sqrt{3}}{4-3} = 2-\\sqrt{3}$$
Шаг 4. Складываем полученные выражения. Заметим, что сумма телескопическая — соседние слагаемые сокращаются:
$$(\\sqrt{2}-1) + (\\sqrt{3}-\\sqrt{2}) + (2-\\sqrt{3})$$
Группируем подобные:
$$= -1 + (\\sqrt{2}-\\sqrt{2}) + (\\sqrt{3}-\\sqrt{3}) + 2 = -1 + 0 + 0 + 2 = 1$$
Ответ: $1$
`
},
{
text: `Определите количество целых решений системы неравенств
$$\\begin{cases} \\dfrac{x+2}{2} - 3 \\leq \\dfrac{x-3}{3}, \\\\[6pt] x^2 < 5x + 6. \\end{cases}$$`,
sol: `Решение системы неравенств: решаем каждое неравенство отдельно, затем берём пересечение множеств решений.
Метод интервалов для квадратного неравенства: раскладываем квадратный трёхчлен на множители $(x-x_1)(x-x_2)$ и находим знаки на интервалах между корнями.
Шаг 1. Решаем первое неравенство. Умножим обе части на $6$ (общий знаменатель):
$$3(x+2) - 18 \\leq 2(x-3)$$
$$3x + 6 - 18 \\leq 2x - 6$$
$$3x - 12 \\leq 2x - 6$$
$$x \\leq 6$$
Шаг 2. Решаем второе неравенство. Перенесём всё влево:
$$x^2 - 5x - 6 \\lt 0$$
Шаг 3. По теореме Виета: $x_1+x_2=5$, $x_1\\cdot x_2=-6$. Подходят $6$ и $-1$:
$$(x-6)(x+1) \\lt 0$$
Произведение отрицательно, когда множители разных знаков, что выполнено при $-1\\lt x\\lt 6$.
Шаг 4. Берём пересечение решений двух неравенств: $\\{x\\leq 6\\}\\cap\\{-1\\lt x\\lt 6\\} = \\{-1\\lt x\\lt 6\\}$.
Шаг 5. Считаем целые числа из промежутка $(-1;6)$: $0,1,2,3,4,5$ — всего 6 чисел.
Ответ: $6$
`
},
{
text: `Найдите все значения переменной, при которых разность дробей
$\\dfrac{x}{x+1}$ и $\\dfrac{1}{x}$ равна дроби $\\dfrac{1}{x^2+x}$.`,
sol: `Решение дробно-рациональных уравнений: 1) найти ОДЗ (знаменатели $\\neq 0$); 2) привести к общему знаменателю или умножить обе части на него; 3) решить полученное уравнение; 4) проверить, входят ли корни в ОДЗ.
Теорема Виета (обратная): $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
Шаг 1. Запишем условие в виде уравнения:
$$\\dfrac{x}{x+1} - \\dfrac{1}{x} = \\dfrac{1}{x^2+x}$$
Шаг 2. Разложим знаменатель правой части: $x^2+x = x(x+1)$. Это и есть общий знаменатель всех трёх дробей.
ОДЗ: знаменатели не равны нулю, поэтому $x\\neq 0$ и $x\\neq -1$.
Шаг 3. Умножим обе части уравнения на $x(x+1)$:
$$\\dfrac{x}{x+1}\\cdot x(x+1) - \\dfrac{1}{x}\\cdot x(x+1) = \\dfrac{1}{x(x+1)}\\cdot x(x+1)$$
$$x\\cdot x - (x+1)\\cdot 1 = 1$$
$$x^2 - (x+1) = 1$$
Шаг 4. Раскрываем скобки и приводим к стандартному виду:
$$x^2 - x - 1 = 1$$
$$x^2 - x - 2 = 0$$
Шаг 5. По теореме Виета: $x_1+x_2=1$, $x_1\\cdot x_2=-2$. Подходят $-1$ и $2$:
$$(x+1)(x-2) = 0 \\implies x = -1 \\text{ или } x = 2$$
Шаг 6. Проверяем ОДЗ: $x=-1$ не входит в ОДЗ (отбрасываем). Остаётся $x=2$.
Проверка подстановкой $x=2$:
$$\\dfrac{2}{3} - \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{4-3}{6} = \\dfrac{1}{6};\\quad \\dfrac{1}{4+2} = \\dfrac{1}{6} \\checkmark$$
Ответ: $x = 2$
`
},
{
text: `Число $a$ равно $70\\%$ от числа $b$, число $c$ на $42$ больше числа $b$.
Найдите значение выражения $a + b + c$,
если известно, что число $a$ равно $40\\%$ от числа $c$.`,
sol: `Перевод процентов в дроби: $p\\%$ от числа $N$ — это $\\dfrac{p}{100}\\cdot N$.
Метод составления уравнения: переводим условия с процентами в равенства, получаем систему и решаем её.
Шаг 1. Запишем каждое условие в виде уравнения.
• «$a$ равно $70\\%$ от $b$»:
$$a = 0{,}7b \\quad (1)$$
• «$c$ на $42$ больше $b$»:
$$c = b + 42 \\quad (2)$$
• «$a$ равно $40\\%$ от $c$»:
$$a = 0{,}4c \\quad (3)$$
Шаг 2. Подставляем $(1)$ и $(2)$ в $(3)$, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $b$:
$$0{,}7b = 0{,}4(b+42)$$
Шаг 3. Раскрываем скобки:
$$0{,}7b = 0{,}4b + 16{,}8$$
$$0{,}3b = 16{,}8$$
$$b = 56$$
Шаг 4. Находим $a$ из $(1)$ и $c$ из $(2)$:
$$a = 0{,}7\\cdot 56 = 39{,}2$$
$$c = 56 + 42 = 98$$
Проверка $(3)$: $0{,}4\\cdot 98 = 39{,}2 = a$ ✓
Шаг 5. Вычисляем сумму:
$$a + b + c = 39{,}2 + 56 + 98 = 193{,}2$$
Ответ: $193{,}2$
`
},
{
text: `Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ взята точка $K$, такая, что
$AK$ — биссектриса угла $A$, а $DK$ — биссектриса угла $D$ параллелограмма.
Найдите площадь параллелограмма, если $AK = 8$ см, $DK = 6$ см.`,
figure: ``,
sol: `Шаг 1 — угол при K в треугольнике AKD. В параллелограмме $\\angle A + \\angle D = 180°$. Делим на 2:
$$\\angle KAD + \\angle KDA = \\frac{\\angle A}{2}+\\frac{\\angle D}{2} = 90°$$
В $\\triangle AKD$ сумма углов $= 180°$:
$$\\angle AKD = 180° - (\\angle KAD + \\angle KDA) = 180° - 90° = \\mathbf{90°}$$
Треугольник $AKD$ — прямоугольный!
Шаг 2 — длина AD.
$$AD = \\sqrt{AK^2 + DK^2} = \\sqrt{64+36} = \\sqrt{100} = 10\\text{ см}$$
Шаг 3 — длина AB. В $\\triangle ABK$: $\\angle BAK = \\angle A/2$, $\\angle ABK = 180°-\\angle A$, поэтому $\\angle AKB = \\angle A/2$.
Треугольник $ABK$ — равнобедренный: $BK = AB$.
Аналогично в $\\triangle DKC$: $KC = DC = AB$.
$$BC = BK + KC = AB + AB = 2\\cdot AB$$
Так как $BC = AD = 10$: $\\quad AB = 5$ см.