VARIANTS[13] = { label: "Вариант 13", tasks: [ { text: `Определите, какая из следующих пар чисел является вершиной параболы $y = -(x-3)^2 + 1$:`, opts: [ ["а", "$(3;\\ 1)$"], ["б", "$(3;\\ {-1})$"], ["в", "$(-3;\\ 1)$"], ["г", "$(-1;\\ 3)$"], ["д", "$(1;\\ {-3})$"], ], sol: `Парабола $y = a(x-h)^2 + k$ имеет вершину $(h;\\,k)$.
Здесь $a=-1$, $h=3$, $k=1$ — вершина $(3;\\,1)$. xy (3; 1) 1 3
Ответ: а) $(3;\\,1)$
` }, { text: `Определите, какие из чисел НЕ являются решением двойного неравенства $-6 < 2x < 8$:`, opts: [ ["а", "$-2$"], ["б", "$0$"], ["в", "$5$"], ["г", "$-3$"], ["д", "$1$"], ], sol: `Разделим на $2$: $-3 < x < 4$.
Проверяем каждое число:
Ответ: в) и г)
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке;"], ["б", "периметр квадрата со стороной $a$ равен $4a$;"], ["в", "углы при основании равнобедренной трапеции равны между собой;"], ["г", "у любого параллелограмма все углы равны между собой?"], ], sol: ` В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $180°$. Равны все только у прямоугольника.
Ответ: г)
` }, { text: `Найдите значение выражения $6x - 12$, если $\\dfrac{3x^2 - 5x}{x} = 0$.`, sol: `При $x\\neq 0$: $$\\frac{3x^2-5x}{x} = \\frac{x(3x-5)}{x} = 3x-5 = 0 \\implies x = \\frac{5}{3}$$ $$6x-12 = 6\\cdot\\frac{5}{3}-12 = 10-12 = -2$$
Ответ: $-2$
` }, { text: `Периметр ромба $ABCD$ равен $48$ см. Угол между стороной $AD$ и диагональю $AC$ равен $30^{\\circ}$. Найдите диагональ $BD$ ромба.`, sol: `Свойства ромба: все четыре стороны равны; диагонали перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и делят углы ромба пополам (являются биссектрисами).
Признак равностороннего треугольника: равнобедренный треугольник с углом $60°$ является равносторонним.

Шаг 1. Так как все стороны ромба равны, найдём сторону через периметр: $$a = \\dfrac{P}{4} = \\dfrac{48}{4} = 12\\text{ см}$$ 30° 60° A B C D 12 AC BD = ? Шаг 2. Диагональ $AC$ — биссектриса угла $A$ ромба, поэтому $\\angle DAC = \\dfrac{\\angle DAB}{2}$. По условию $\\angle DAC = 30°$, значит: $$\\angle DAB = 2\\cdot 30° = 60°$$ Шаг 3. Рассмотрим треугольник $ABD$: Это равнобедренный треугольник с углом $60°$ — значит, он равносторонний, и все стороны равны: $$BD = AB = 12\\text{ см}$$ Проверка по теореме косинусов: $BD^2 = 12^2+12^2-2\\cdot 12\\cdot 12\\cdot\\cos 60° = 144$ ✓
Ответ: $BD = 12$ см
` }, { text: `Сократите дробь $\\dfrac{4n^2 - 9m^2}{9m^2 + 4n^2 + 12mn}$.`, sol: `Формула разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Шаг 1. Разложим числитель по формуле разности квадратов ($a=2n$, $b=3m$): $$4n^2 - 9m^2 = (2n)^2 - (3m)^2 = (2n-3m)(2n+3m)$$ Шаг 2. Разложим знаменатель. Замечаем, что это квадрат суммы: $$9m^2 + 4n^2 + 12mn = (3m)^2 + 2\\cdot 3m\\cdot 2n + (2n)^2 = (3m+2n)^2$$ Так как $3m+2n = 2n+3m$, можно записать: $$(3m+2n)^2 = (2n+3m)^2$$ Шаг 3. Сокращаем общий множитель $(2n+3m)$: $$\\dfrac{(2n-3m)(2n+3m)}{(2n+3m)^2} = \\dfrac{2n-3m}{2n+3m}$$
Ответ: $\\dfrac{2n-3m}{2n+3m}$
` }, { text: `Решите систему уравнений $$\\begin{cases} x - 4y = 2, \\\\[4pt] xy + 2y = 8 \\end{cases}$$ и найдите значение выражения $x_1 \\cdot y_1 + x_2 \\cdot y_2$, где $(x_1;\\, y_1)$, $(x_2;\\, y_2)$ — решения системы.`, sol: `Метод подстановки: выражаем одну переменную через другую и подставляем.
Теорема Виета (обратная): $y^2+py+q=(y-y_1)(y-y_2)$, где $y_1+y_2=-p$, $y_1\\cdot y_2=q$.

Шаг 1. Из первого уравнения выразим $x$: $$x = 2 + 4y$$ Шаг 2. Подставим во второе уравнение: $$(2+4y)y + 2y = 8$$ $$2y + 4y^2 + 2y = 8$$ $$4y^2 + 4y - 8 = 0$$ Шаг 3. Разделим на $4$: $$y^2 + y - 2 = 0$$ Шаг 4. По теореме Виета: $y_1+y_2=-1$, $y_1\\cdot y_2=-2$. Подходят $-2$ и $1$: $$(y+2)(y-1)=0$$ Шаг 5. Для каждого $y$ находим $x = 2+4y$:
$y_1=-2$:$x_1=2-8=-6$
$y_2=1$:$x_2=2+4=6$
Шаг 6. Вычисляем требуемое выражение: $$x_1y_1+x_2y_2 = (-6)(-2)+(6)(1) = 12+6 = 18$$
Ответ: $18$
` }, { text: `Найдите значение выражения $\\sqrt{8 - 2\\sqrt{7}} + \\sqrt{32 - 10\\sqrt{7}}$. В ответ запишите число, обратное полученному.`, sol: `Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Формула выноса корня из квадрата: $\\sqrt{a^2}=|a|$. При $a\\geq 0$ модуль раскрывается как $|a|=a$, при $a\\lt 0$ — как $|a|=-a$.
Идея: подкоренное выражение вида $A - 2\\sqrt{B}$ часто можно представить как квадрат разности $(\\sqrt{m}-\\sqrt{n})^2$, где $m+n=A$ и $mn=B$.

Шаг 1. Преобразуем первое подкоренное выражение: $8 - 2\\sqrt{7}$.
Ищем представление в виде $(\\sqrt{m}-\\sqrt{n})^2 = m + n - 2\\sqrt{mn}$. Нужно $m+n=8$ и $mn=7$. Подходят $m=7$, $n=1$: $$8 - 2\\sqrt{7} = 7 - 2\\sqrt{7} + 1 = (\\sqrt{7})^2 - 2\\cdot\\sqrt{7}\\cdot 1 + 1^2 = (\\sqrt{7}-1)^2$$ Извлекаем корень. Так как $\\sqrt{7}\\approx 2{,}65\\gt 1$, выражение $\\sqrt{7}-1\\gt 0$: $$\\sqrt{8-2\\sqrt{7}} = \\sqrt{(\\sqrt{7}-1)^2} = \\sqrt{7}-1$$ Шаг 2. Преобразуем второе подкоренное выражение: $32 - 10\\sqrt{7}$. Здесь $2\\sqrt{mn}=10\\sqrt{7}$, то есть $\\sqrt{mn}=5\\sqrt{7}$, $mn=175$. И $m+n=32$. Подходят $m=25$, $n=7$: $$32 - 10\\sqrt{7} = 25 - 10\\sqrt{7} + 7 = 5^2 - 2\\cdot 5\\cdot\\sqrt{7} + (\\sqrt{7})^2 = (5-\\sqrt{7})^2$$ Так как $5\\gt\\sqrt{7}$, имеем $5-\\sqrt{7}\\gt 0$: $$\\sqrt{32-10\\sqrt{7}} = 5-\\sqrt{7}$$ Шаг 3. Складываем оба корня: $$\\sqrt{8-2\\sqrt{7}} + \\sqrt{32-10\\sqrt{7}} = (\\sqrt{7}-1) + (5-\\sqrt{7}) = -1 + 5 + (\\sqrt{7}-\\sqrt{7}) = 4$$ Шаг 4. Запишем число, обратное $4$: $$\\dfrac{1}{4}$$
Ответ: $\\dfrac{1}{4}$
` }, { text: `Периметр параллелограмма равен $30$ см, соседние стороны относятся как $2:3$. Угол между высотами, проведёнными к соседним сторонам из вершины тупого угла параллелограмма, равен $60^{\\circ}$. Найдите площадь параллелограмма.`, sol: `Шаг 1 — стороны.
Пусть $a=2k$, $b=3k$. Периметр: $2(2k+3k)=30 \\Rightarrow k=3$, т.е. $a=6$, $b=9$ см.
Шаг 2 — острый угол. 60° A B C D $h_1$ $h_2$ Из геометрии параллелограмма можно показать, что угол между двумя высотами из вершины тупого угла равен острому углу параллелограмма. Значит, острый угол $\\beta = 60°$.
Шаг 3 — площадь. $$S = a\\cdot b\\cdot\\sin\\beta = 6\\cdot 9\\cdot\\sin 60° = 54\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2} = 27\\sqrt{3}\\text{ см}^2$$
Ответ: $27\\sqrt{3}$ см²
` }, { text: `Во время строительных работ на Всебелорусской молодёжной стройке в Хатыни двое студентов были определены на подсобные работы. Работая с одной скоростью, они выполнили половину отведённой работы, затем увеличили скорость: один — на $20\\%$, а второй — на $16\\%$, и вторую половину работы выполнили на один день раньше запланированного времени. Успеют ли студенты выполнить работу за $14$ дней? Ответ обоснуйте.`, sol: `Пусть $n$ — плановое число дней. Скорость каждого $s = \\dfrac{1}{2n}$ ед/день, вместе: $\\dfrac{1}{n}$.
Первая половина (работа $=\\tfrac{1}{2}$) — скорость не менялась: $$t_1 = \\frac{1/2}{1/n} = \\frac{n}{2}\\text{ дней}$$ Вторая половина — скорости увеличились: $$\\text{1-й: }1{,}2s,\\quad \\text{2-й: }1{,}16s,\\quad \\text{вместе: }2{,}36s = \\frac{2{,}36}{2n} = \\frac{1{,}18}{n}$$ $$t_2 = \\frac{1/2}{1{,}18/n} = \\frac{n}{2{,}36} = \\frac{25n}{59}\\text{ дней}$$ Фактическое время: $$t = t_1+t_2 = \\frac{n}{2}+\\frac{25n}{59} = \\frac{59n+50n}{118} = \\frac{109n}{118}$$ Условие «на 1 день раньше»: $$n - \\frac{109n}{118} = \\frac{9n}{118} = 1 \\implies n = \\frac{118}{9} \\approx 13{,}1\\text{ дней}$$ Фактическое время выполнения: $$t = \\frac{109n}{118} = \\frac{109}{9} = 12\\frac{1}{9} \\approx 12{,}1\\text{ дней}$$ Так как $12{,}1 < 14$, студенты успеют выполнить работу за $14$ дней — с запасом около $2$ дней.
Ответ: да, успеют ($\\approx 12{,}1$ дней $< 14$ дней)
` }, ] };