`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "если катет лежит против угла в $30^{\\circ}$, то он равен половине гипотенузы;"],
["б", "если в треугольнике $ABC$ $R$ — радиус описанной окружности, то $\\dfrac{BC}{\\sin A} = 2R$;"],
["в", "сумма углов любого четырёхугольника равна $180^{\\circ}$;"],
["г", "около любого квадрата можно описать окружность?"],
],
sol: `
а) Катет напротив угла $30°$ равен половине гипотенузы — верно
в) «Сумма углов четырёхугольника $=180°$» — НЕВЕРНО. Сумма углов любого четырёхугольника равна $360°$.
г) Около любого квадрата можно описать окружность — верно
Ответ: в)
`
},
{
text: `Раскройте скобки $-4 - (5x + 3)$ и упростите полученное выражение.`,
sol: `Минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри:
$$-4 - (5x + 3) = -4 - 5x - 3 = -5x - 7$$
Ответ: $-5x-7$
`
},
{
text: `Решите неравенство $5 + 2x > 7$.
Определите количество целых чисел из первого десятка, которые являются решениями этого неравенства.`,
sol: `Свойства линейного неравенства: из обеих частей можно вычитать одно и то же число, а также делить обе части на положительное число — знак неравенства не меняется.
Шаг 1. Вычитаем $5$ из обеих частей:
$$5 + 2x - 5 > 7 - 5 \\implies 2x > 2$$
Шаг 2. Делим обе части на $2$ (положительное число):
$$x > 1$$
Шаг 3. Первый десяток — натуральные числа от $1$ до $10$ (числа $1,\\,2,\\,\\ldots,\\,10$).
Решениями (т.е. $x > 1$ строго) являются те, что больше $1$:
$$2,\\,3,\\,4,\\,5,\\,6,\\,7,\\,8,\\,9,\\,10$$
Всего $9$ чисел.
Ответ: $x > 1$; целых из первого десятка — $9$
`
},
{
text: `Меньшая диагональ $BD$ ромба $ABCD$ равна $10$ см, тупой угол $B$ ромба равен $120^{\\circ}$.
Найдите периметр ромба.`,
sol: `
Свойства ромба: 1) Все четыре стороны ромба равны.
2) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
3) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Шаг 1. Обозначим точку пересечения диагоналей через $O$. По свойству диагоналей:
$$BO = \\dfrac{BD}{2} = \\dfrac{10}{2} = 5\\text{ см}$$
Шаг 2. Поскольку $BD$ — биссектриса тупого угла $B = 120°$:
$$\\angle OBC = \\dfrac{\\angle B}{2} = \\dfrac{120°}{2} = 60°$$
Шаг 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBC$ (прямой угол при $O$).
По определению косинуса: $\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.
Прилежащий к углу $B$ катет — $BO$, гипотенуза — $BC$:
$$\\cos 60° = \\dfrac{BO}{BC} \\implies \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{5}{BC} \\implies BC = 10\\text{ см}$$
Шаг 4. Периметр ромба — это сумма всех сторон, а они равны:
$$P = 4\\cdot BC = 4\\cdot 10 = 40\\text{ см}$$
Ответ: $P = 40$ см
`
},
{
text: `В арифметической прогрессии третий и десятый члены соответственно равны $12$ и $-2$.
Чему равна сумма второго и одиннадцатого членов этой прогрессии?`,
sol: `Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1)d$.
Из неё следует: $a_m - a_k = (m - k)\\cdot d$.
Шаг 1. Находим разность $d$.
Между $a_3$ и $a_{10}$ — $10 - 3 = 7$ шагов:
$$a_{10} - a_3 = 7d \\implies -2 - 12 = 7d \\implies 7d = -14 \\implies d = -2$$
Шаг 2. Находим $a_2$ и $a_{11}$.
$a_2 = a_3 - d = 12 - (-2) = 14$ (предыдущий член = следующий $-\\,d$).
$a_{11} = a_{10} + d = -2 + (-2) = -4$.
Шаг 3. Складываем:
$$a_2 + a_{11} = 14 + (-4) = 10$$
Ответ: $10$
`
},
{
text: `Двое сотрудников по озеленению Национального историко-культурного
музея-заповедника «Несвиж» могут выполнить уборку части парка за $12$ дней.
За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый сотрудник,
если он за $2$ дня выполняет такую же часть работы, какую второй выполняет за $3$ дня?`,
sol: `Пусть производительности (часть работы за день): первый — $r_1$, второй — $r_2$.
Условие 1: «первый за $2$ дня выполняет столько же, сколько второй за $3$»:
$$2r_1 = 3r_2 \\implies r_2 = \\dfrac{2}{3}r_1$$
Условие 2: вместе за $12$ дней выполнили всю работу ($=1$):
$$12(r_1 + r_2) = 1 \\implies 12\\left(r_1 + \\dfrac{2}{3}r_1\\right) = 1$$
$$12\\cdot\\dfrac{5r_1}{3} = 1 \\implies 20r_1 = 1 \\implies r_1 = \\dfrac{1}{20}$$
Первый сотрудник один выполнит работу за $\\dfrac{1}{r_1} = 20$ дней.
Ответ: $20$ дней
`
},
{
text: `Окружности с радиусами $9$ см и $16$ см касаются внешним образом.
Найдите отрезок общей внешней касательной, заключённый между точками касания.`,
sol: `$O_1O_2 = R+r = 16+9 = 25$ см (внешнее касание). Радиусы перпендикулярны касательной: $O_1T_1\\perp T_1T_2$ и $O_2T_2\\perp T_1T_2$, поэтому $O_1T_1\\parallel O_2T_2$.
Опустим из $O_2$ перпендикуляр на прямую $O_1T_1$ — получим точку $H$.
Тогда $O_2T_2T_1H$ — прямоугольник, значит $O_2H = T_1T_2$ (то, что ищем).
$$O_1H = O_1T_1 - T_1H = R - r = 16 - 9 = 7\\text{ см}$$
В прямоугольном $\\triangle O_1HO_2$ ($\\angle H = 90°$) — узнаём тройку 7–24–25:
$$O_1O_2^2 = O_1H^2 + O_2H^2 \\implies 25^2 = 7^2 + (T_1T_2)^2$$
$$625 = 49 + (T_1T_2)^2 \\implies (T_1T_2)^2 = 576 \\implies T_1T_2 = 24\\text{ см}$$
Ответ: $24$ см
`
},
{
text: `Определите знак выражения $\\dfrac{2}{9}x_1 - x_2$, где $x_1$, $x_2$ — корни уравнения
$(5 - 2\\sqrt{6})\\,x^2 - 10x + 9(5 + 2\\sqrt{6}) = 0$ и $x_1 \\gt x_2$.`,
sol: `Формула разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Шаг 1. Подготовка. Замечаем красивое равенство:
$$(5 - 2\\sqrt{6})(5 + 2\\sqrt{6}) = 5^2 - (2\\sqrt{6})^2 = 25 - 24 = 1$$
Числа $5 - 2\\sqrt{6}$ и $5 + 2\\sqrt{6}$ — взаимно обратны: $\\dfrac{1}{5 - 2\\sqrt{6}} = 5 + 2\\sqrt{6}$.
Шаг 2. Замена переменной. Сделаем замену $y = (5 - 2\\sqrt{6})\\,x$. Тогда $x = y\\cdot(5 + 2\\sqrt{6})$.
Подставляем в исходное уравнение, помня, что $(5 - 2\\sqrt{6})\\cdot x^2 = \\dfrac{y^2}{5 - 2\\sqrt{6}} = y^2(5 + 2\\sqrt{6})$... Удобнее иначе: умножим обе части исходного уравнения на $(5 - 2\\sqrt{6})$. Учитывая, что $9(5 + 2\\sqrt{6})\\cdot(5 - 2\\sqrt{6}) = 9\\cdot 1 = 9$:
$$(5 - 2\\sqrt{6})^2 x^2 - 10(5 - 2\\sqrt{6})\\,x + 9 = 0$$
В переменной $y = (5 - 2\\sqrt{6})\\,x$ это:
$$y^2 - 10y + 9 = 0$$
Шаг 3. Решаем по теореме Виета. Корни уравнения $y^2 - 10y + 9 = 0$: ищем числа с суммой $10$ и произведением $9$. Это $1$ и $9$:
$$(y - 1)(y - 9) = 0 \\implies y_1 = 1,\\; y_2 = 9$$
Шаг 4. Возвращаемся к $x$. $x = y\\cdot(5 + 2\\sqrt{6})$, причём $5 + 2\\sqrt{6} \\gt 0$. По условию $x_1 \\gt x_2$, поэтому большему $y$ соответствует больший $x$:
$$x_1 = 9(5 + 2\\sqrt{6}), \\quad x_2 = 5 + 2\\sqrt{6}$$
Шаг 5. Вычисляем $\\dfrac{2}{9}x_1 - x_2$.
$$\\dfrac{2}{9}\\cdot 9(5 + 2\\sqrt{6}) - (5 + 2\\sqrt{6}) = 2(5 + 2\\sqrt{6}) - (5 + 2\\sqrt{6}) = 5 + 2\\sqrt{6}$$
Так как $5 \\gt 0$ и $2\\sqrt{6} \\gt 0$, то $5 + 2\\sqrt{6} \\gt 0$.