`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "радиус описанной окружности прямоугольного треугольника с гипотенузой $c$ находится по формуле $R = \\dfrac{c}{2}$;"],
["б", "площадь прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ находится по формуле $S = \\dfrac{ab}{2}$;"],
["в", "расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, проведённого к этой прямой;"],
["г", "если в треугольнике $ABC$ сторона $BC$ — наибольшая, то угол $C$ — наибольший?"],
],
sol: `
а) $R=c/2$ для прямоугольного треугольника — верно
б) $S=ab/2$ — верно
в) Расстояние = длина перпендикуляра — верно
г) Сторона $BC$ лежит напротив угла $A$. Наибольшая сторона ⟹ наибольший противолежащий угол. Значит наибольший угол — $\\angle A$, а не $\\angle C$ — НЕВЕРНО
Ответ: г)
`
},
{
text: `График функции $y = kx - 4$ проходит через точку $K\\!\\left(-\\dfrac{1}{2};\\; 4\\right)$.
Найдите коэффициент $k$.`,
sol: `Подставляем координаты точки $K$ в уравнение:
$$4 = k\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) - 4 \\implies 8 = -\\dfrac{k}{2} \\implies k = -16$$
Ответ: $k = -16$
`
},
{
text: `Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$,
площадь треугольника $AOB$ равна $15$ см².
Высота, проведённая из вершины $C$ к $AD$, равна $6$ см.
Найдите длину стороны $BC$ параллелограмма.`,
sol: `Шаг 1. Площадь параллелограмма. Диагонали делят параллелограмм на $4$ равновеликих треугольника:
$$S_{ABCD} = 4\\cdot S_{AOB} = 4\\cdot15 = 60\\text{ см}^2$$
Шаг 2. Длина $AD$. Высота из $C$ к $AD$ — это расстояние между параллельными сторонами $BC$ и $AD$ (высота параллелограмма):
$$S_{ABCD} = AD\\cdot h \\implies 60 = AD\\cdot6 \\implies AD = 10\\text{ см}$$
Шаг 3. В параллелограмме $BC\\parallel AD$, поэтому $BC = AD = 10$ см.
Ответ: $BC = 10$ см
`
},
{
text: `Определите, при каких значениях переменной разность дробей
$\\dfrac{4a-3}{5}$ и $\\dfrac{4a-5}{7}$ неотрицательна.
В ответ запишите наименьшее натуральное значение переменной.`,
sol: `Метод решения линейного неравенства с дробями: приводим дроби к общему знаменателю, затем избавляемся от знаменателя (если он положителен — знак сохраняется).
Шаг 1. По условию разность дробей неотрицательна, значит составим неравенство:
$$\\dfrac{4a-3}{5} - \\dfrac{4a-5}{7} \\geq 0$$
Шаг 2. Приводим к общему знаменателю $35$:
$$\\dfrac{7(4a-3) - 5(4a-5)}{35} \\geq 0$$
Шаг 3. Раскрываем скобки в числителе:
$$7(4a-3) = 28a - 21, \\quad 5(4a-5) = 20a - 25$$
$$28a - 21 - (20a - 25) = 28a - 21 - 20a + 25 = 8a + 4$$
Неравенство принимает вид:
$$\\dfrac{8a + 4}{35} \\geq 0$$
Шаг 4. Так как $35 \\gt 0$, можно умножить обе части на $35$ без изменения знака:
$$8a + 4 \\geq 0 \\implies 8a \\geq -4 \\implies a \\geq -\\dfrac{1}{2}$$
Шаг 5. Среди натуральных чисел ($1, 2, 3,\\ldots$) условию $a \\geq -\\dfrac{1}{2}$ удовлетворяют все. Наименьшее натуральное число — это $a = 1$.
Ответ: $1$
`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$\\left(\\dfrac{4}{3-\\sqrt{5}}\\right)^{\\!2} - \\left(\\dfrac{6-5\\sqrt{6}}{5-\\sqrt{6}}\\right)^{\\!2}$.
В ответ запишите число, противоположное найденному.`,
sol: `Метод рационализации знаменателя: чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе вида $a - \\sqrt{b}$, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое $a + \\sqrt{b}$ и применяем формулу разности квадратов: $(a-\\sqrt{b})(a+\\sqrt{b}) = a^2 - b$.
Шаг 1. Упростим первую дробь $\\dfrac{4}{3 - \\sqrt{5}}$, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое $3 + \\sqrt{5}$:
$$\\dfrac{4}{3-\\sqrt{5}} = \\dfrac{4(3+\\sqrt{5})}{(3-\\sqrt{5})(3+\\sqrt{5})} = \\dfrac{4(3+\\sqrt{5})}{9 - 5} = \\dfrac{4(3+\\sqrt{5})}{4} = 3 + \\sqrt{5}$$
Шаг 2. Упростим вторую дробь $\\dfrac{6 - 5\\sqrt{6}}{5 - \\sqrt{6}}$, умножив на сопряжённое $5 + \\sqrt{6}$:
$$\\dfrac{(6-5\\sqrt{6})(5+\\sqrt{6})}{(5-\\sqrt{6})(5+\\sqrt{6})} = \\dfrac{30 + 6\\sqrt{6} - 25\\sqrt{6} - 5\\cdot 6}{25 - 6}$$
В числителе: $30 - 30 + (6 - 25)\\sqrt{6} = -19\\sqrt{6}$. В знаменателе: $19$. Значит:
$$\\dfrac{-19\\sqrt{6}}{19} = -\\sqrt{6}$$
Шаг 3. Подставим в исходное выражение, применяя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$$(3+\\sqrt{5})^2 - (-\\sqrt{6})^2 = (9 + 6\\sqrt{5} + 5) - 6 = 14 + 6\\sqrt{5} - 6 = 8 + 6\\sqrt{5}$$
Шаг 4. По условию надо записать число, противоположное найденному. Противоположное к $8 + 6\\sqrt{5}$ — это $-(8 + 6\\sqrt{5})$.
Ответ: $-(8+6\\sqrt{5})$
`
},
{
text: `В ботаническом саду ландшафтный дизайнер решил разместить кусты роз так,
чтобы в каждом ряду было одинаковое количество кустов,
при этом рядов — на $8$ больше, чем кустов в каждом ряду.
Определите, можно ли на клумбе посадить $128$ кустов роз. Ответ обоснуйте.`,
sol: `Метод введения переменной и составления квадратного уравнения. Шаг 1. Пусть $x$ — количество кустов в каждом ряду ($x$ — натуральное число). По условию рядов на $8$ больше, значит число рядов равно $x + 8$.
Шаг 2. Общее число кустов = (число в одном ряду) $\\times$ (число рядов). По условию оно равно $128$, поэтому:
$$x(x + 8) = 128 \\implies x^2 + 8x - 128 = 0$$
Шаг 3. Решаем квадратное уравнение по формуле дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$$D = 8^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-128) = 64 + 512 = 576 = 24^2$$
$$x = \\dfrac{-8 \\pm 24}{2} \\implies x_1 = 8, \\quad x_2 = -16$$
Шаг 4. Так как $x$ — количество кустов, оно должно быть натуральным, поэтому $x_2 = -16$ не подходит. Остаётся $x = 8$.
Шаг 5. Проверка: $8$ кустов в каждом ряду, рядов $8 + 8 = 16$, всего кустов $8\\cdot 16 = 128$ $\\checkmark$.
Ответ: да, можно — $8$ кустов в ряду и $16$ рядов
`
},
{
text: `Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $10$ см, радиус вписанной окружности — $2$ см.
Найдите площадь треугольника.`,
sol: `Формула радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника: с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$:
$$r = \\dfrac{a + b - c}{2}$$
Формула площади через вписанную окружность: $S = r\\cdot s$, где $s = \\dfrac{a + b + c}{2}$ — полупериметр.
Шаг 1. Из формулы радиуса находим сумму катетов:
$$2 = \\dfrac{a + b - 10}{2} \\implies a + b - 10 = 4 \\implies a + b = 14$$
Шаг 2. Считаем полупериметр:
$$s = \\dfrac{a + b + c}{2} = \\dfrac{14 + 10}{2} = 12\\text{ см}$$
Шаг 3. Находим площадь:
$$S = r\\cdot s = 2\\cdot 12 = 24\\text{ см}^2$$
Проверка: по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2 = 100$. Из $(a + b)^2 = 14^2 = 196$ получаем $a^2 + 2ab + b^2 = 196$, значит $2ab = 196 - 100 = 96$, то есть $ab = 48$. Площадь прямоугольного треугольника $= \\dfrac{ab}{2} = 24$ ✓
Ответ: $24$ см²
`
},
{
text: `Решите уравнение $x(x-1)(x-3)(x-4) = 40$.
В ответ запишите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $|x| < 5$.`,
sol: `Идея решения: в уравнении вида $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = k$ удобно группировать множители так, чтобы суммы корней внутри пар были одинаковы.
Шаг 1. Сгруппируем так: $\\{0,\\,4\\}$ и $\\{1,\\,3\\}$ — обе пары имеют сумму $4$.
$$[x(x - 4)]\\cdot[(x - 1)(x - 3)] = 40$$
Раскрываем скобки в каждой паре:
$$x(x - 4) = x^2 - 4x$$
$$(x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$$
Тогда уравнение принимает вид:
$$(x^2 - 4x)(x^2 - 4x + 3) = 40$$
Шаг 2. Замена переменной. Пусть $t = x^2 - 4x$:
$$t(t + 3) = 40 \\implies t^2 + 3t - 40 = 0$$
Шаг 3. Решаем по формуле дискриминанта:
$$D = 3^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$$
$$t = \\dfrac{-3 \\pm 13}{2} \\implies t_1 = 5, \\quad t_2 = -8$$
Шаг 4. Случай $t = 5$: $x^2 - 4x = 5 \\implies x^2 - 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета (сумма $4$, произведение $-5$): корни $5$ и $-1$.
$$(x - 5)(x + 1) = 0 \\implies x = 5\\text{ или } x = -1$$
Шаг 5. Случай $t = -8$: $x^2 - 4x = -8 \\implies x^2 - 4x + 8 = 0$.
$$D = 16 - 32 = -16 \\lt 0$$
Дискриминант отрицателен, поэтому вещественных корней нет.
Шаг 6. Проверка условия $|x| \\lt 5$:
$x = 5$: $|5| = 5$, неравенство $|x| \\lt 5$ строгое, поэтому не подходит.