VARIANTS[43] = { label: "Вариант 43", tasks: [ { text: `Выберите функцию, график которой изображён на рисунке:`, figure: ` x y 0 2 4 2 4 6 (2; 2) `, opts: [ ["а", "$y = (x+2)^2 - 2$"], ["б", "$y = (x+2)^2 + 2$"], ["в", "$y = (x-2)^2 + 3$"], ["г", "$y = (x-2)^2 + 2$"], ["д", "$y = (x-2)^2 - 2$"], ], sol: `Свойство параболы $y=(x-a)^2+b$: вершина находится в точке $(a;\\,b)$, ветви направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положительный).
Шаг 1. По рисунку определяем координаты вершины: $(2;\\,2)$. Значит $a=2$, $b=2$.
Шаг 2. Подставляем в общую формулу: $y=(x-2)^2+2$.
Проверка: при $x=0$ получаем $y=4+2=6$ — точка $(0;\\,6)$ на графике; при $x=4$ получаем $y=4+2=6$ — точка $(4;\\,6)$. Парабола симметрична относительно прямой $x=2$ — это и есть ось симметрии через вершину.
Ответ: г) $y=(x-2)^2+2$
` }, { text: `Результат сокращения дроби $\\dfrac{18ab - 9a}{9ab}$ равен:`, opts: [ ["а", "$\\dfrac{2ab-a}{ab}$"], ["б", "$\\dfrac{2b-1}{b}$"], ["в", "$2b-1$"], ["г", "$\\dfrac{b-1}{b}$"], ["д", "$2ab - 9a$"], ], sol: `Выносим $9a$ за скобку в числителе: $$\\dfrac{18ab-9a}{9ab} = \\dfrac{9a(2b-1)}{9ab} = \\dfrac{2b-1}{b}\\quad(a\\neq0,\\,b\\neq0)$$
Ответ: б) $\\dfrac{2b-1}{b}$
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "в любой треугольник можно вписать окружность;"], ["б", "в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;"], ["в", "если у четырёхугольника все углы прямые, то это прямоугольник;"], ["г", "прямой угол равен $100^{\\circ}$?"], ], sol: `
Ответ: г)
` }, { text: `Найдите количество целых решений системы неравенств $$\\begin{cases} x < -10, \\\\[4pt] x > -15. \\end{cases}$$`, sol: `Система: $-15 < x < -10$. Целые числа в этом промежутке: $$-14,\\;-13,\\;-12,\\;-11$$
Ответ: $4$ целых решения
` }, { text: `Найдите площадь треугольника со сторонами $5$ см, $5$ см и $6$ см.`, sol: `Свойство равнобедренного треугольника: высота, проведённая к основанию, является также медианой (т.е. делит основание пополам).
Формула площади треугольника: $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота к нему.
Шаг 1. У нашего треугольника две стороны по $5$ см и одна $6$ см — он равнобедренный с основанием $6$ см. Высота $CM$, опущенная на основание, делит его пополам: $AM = MB = 3$ см. A B C M 5 5 6 h Шаг 2. Найдём высоту $h = CM$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ACM$: $$AC^2 = AM^2 + CM^2 \\implies 5^2 = 3^2 + h^2$$ $$h^2 = 25 - 9 = 16 \\implies h = \\sqrt{16} = 4\\text{ см}$$ Шаг 3. Считаем площадь: $$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot 4 = 12\\text{ см}^2$$

Альтернативный способ — формула Герона.
Формула Герона: $S = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \\dfrac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$.
Шаг 1. Полупериметр: $p = \\dfrac{5+5+6}{2} = \\dfrac{16}{2} = 8$ см.
Шаг 2. Подставляем в формулу: $$S = \\sqrt{8\\cdot(8-5)\\cdot(8-5)\\cdot(8-6)} = \\sqrt{8\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 2} = \\sqrt{144} = 12\\text{ см}^2$$ Оба способа дают один и тот же ответ.
Ответ: $12$ см²
` }, { text: `Упростите выражение $\\sqrt{7}\\cdot(\\sqrt{64} + \\sqrt{112} - 5\\sqrt{7})\\cdot(-\\sqrt{28})$.`, sol: `Свойство квадратного корня: $\\sqrt{a\\cdot b} = \\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{b}$ (для $a,b\\geq 0$), а также $\\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{a} = a$ (для $a\\geq 0$).
Шаг 1. Упрощаем каждый корень в скобках, вынося полный квадрат из-под корня: $$\\sqrt{64} = 8$$ $$\\sqrt{112} = \\sqrt{16\\cdot 7} = \\sqrt{16}\\cdot\\sqrt{7} = 4\\sqrt{7}$$ $$\\sqrt{28} = \\sqrt{4\\cdot 7} = \\sqrt{4}\\cdot\\sqrt{7} = 2\\sqrt{7}$$ Шаг 2. Подставляем и упрощаем выражение в скобках, приводя подобные слагаемые $4\\sqrt{7}$ и $-5\\sqrt{7}$: $$8 + 4\\sqrt{7} - 5\\sqrt{7} = 8 - \\sqrt{7}$$ Исходное выражение принимает вид: $$\\sqrt{7}\\cdot(8 - \\sqrt{7})\\cdot(-2\\sqrt{7})$$ Шаг 3. Перемножим крайние множители $\\sqrt{7}$ и $-2\\sqrt{7}$: $$\\sqrt{7}\\cdot(-2\\sqrt{7}) = -2\\cdot(\\sqrt{7})^2 = -2\\cdot 7 = -14$$ Шаг 4. Умножаем результат на оставшуюся скобку, раскрывая её: $$-14\\cdot(8 - \\sqrt{7}) = -14\\cdot 8 + 14\\sqrt{7} = -112 + 14\\sqrt{7} = 14(\\sqrt{7} - 8)$$
Ответ: $14(\\sqrt{7}-8)$
` }, { text: `Найдите область определения функции $y = \\sqrt{12 - 6x} - \\dfrac{3}{x^2 - 4}$.`, sol: `Правила нахождения области определения:
1) Подкоренное выражение чётной степени должно быть неотрицательным: $\\sqrt{f(x)}$ определён при $f(x) \\geq 0$.
2) Знаменатель дроби не может равняться нулю: $\\dfrac{1}{g(x)}$ определена при $g(x) \\neq 0$.
В нашей функции присутствуют оба элемента — выписываем оба условия.
Шаг 1. Подкоренное выражение $12 - 6x$ должно быть $\\geq 0$: $$12 - 6x \\geq 0 \\implies 6x \\leq 12 \\implies x \\leq 2$$ Шаг 2. Знаменатель $x^2 - 4$ должен быть $\\neq 0$: $$x^2 - 4 \\neq 0 \\implies x^2 \\neq 4 \\implies x \\neq \\pm 2$$ Шаг 3. Объединяем условия: $x \\leq 2$ и $x \\neq -2$ и $x \\neq 2$.
Условие $x \\leq 2$ с исключением $x = 2$ превращается в $x \\lt 2$. С учётом $x \\neq -2$: $$x \\in (-\\infty;\\,-2)\\cup(-2;\\,2)$$
Ответ: $(-\\infty;\\,-2)\\cup(-2;\\,2)$
` }, { text: `Найдите значение выражения $81x_0$, где $x_0$ — наибольший корень уравнения $$\\dfrac{x^2}{4x^2+4x+1} - \\dfrac{6x}{2x+1} + 5 = 0.$$`, sol: `Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Шаг 1. Замечаем, что $4x^2 + 4x + 1 = (2x)^2 + 2\\cdot 2x\\cdot 1 + 1^2 = (2x + 1)^2$.
Уравнение принимает вид: $$\\dfrac{x^2}{(2x + 1)^2} - \\dfrac{6x}{2x + 1} + 5 = 0$$ ОДЗ: $2x + 1 \\neq 0$, то есть $x \\neq -\\dfrac{1}{2}$.
Шаг 2. Замена переменной. Заметим, что $\\dfrac{x^2}{(2x + 1)^2} = \\left(\\dfrac{x}{2x + 1}\\right)^2$.
Пусть $t = \\dfrac{x}{2x + 1}$. Уравнение становится: $$t^2 - 6t + 5 = 0$$ Шаг 3. По теореме Виета (сумма $6$, произведение $5$): корни $1$ и $5$. $$(t - 1)(t - 5) = 0 \\implies t = 1 \\text{ или } t = 5$$ Шаг 4. Возвращаемся к $x$.
— При $t = 1$: $\\dfrac{x}{2x + 1} = 1 \\implies x = 2x + 1 \\implies -x = 1 \\implies x = -1$.
— При $t = 5$: $\\dfrac{x}{2x + 1} = 5 \\implies x = 5(2x + 1) = 10x + 5 \\implies -9x = 5 \\implies x = -\\dfrac{5}{9}$.
Шаг 5. Проверка ОДЗ. Оба значения $\\neq -\\dfrac{1}{2}$ ✓.
Шаг 6. Сравним корни: $-\\dfrac{5}{9} \\approx -0{,}56$, а $-1$ меньше. Наибольший корень: $$x_0 = -\\dfrac{5}{9}$$ $$81x_0 = 81\\cdot\\left(-\\dfrac{5}{9}\\right) = -\\dfrac{81\\cdot 5}{9} = -9\\cdot 5 = -45$$
Ответ: $-45$
` }, { text: `Найдите площадь описанной равнобедренной трапеции, если точка касания вписанной в неё окружности делит боковую сторону на отрезки, равные $4$ см и $9$ см.`, sol: `Шаг 1. Основания трапеции.
Боковая сторона $= 4+9 = 13$ см. По свойству касательных из одной точки: от каждой вершины оба касательных отрезка равны.
Обозначим: от вершин большего основания — по $9$, от вершин меньшего — по $4$. A D B C O 9 4 9 4 AD = 18 BC = 8 r = 6 $$AD = 9+9 = 18\\text{ см}, \\quad BC = 4+4 = 8\\text{ см}$$ Шаг 2. Высота трапеции.
Горизонтальный выступ ноги: $\\dfrac{AD-BC}{2} = \\dfrac{18-8}{2} = 5$ см. $$h = \\sqrt{13^2-5^2} = \\sqrt{169-25} = \\sqrt{144} = 12\\text{ см}$$ Шаг 3. Площадь. $$S = \\dfrac{AD+BC}{2}\\cdot h = \\dfrac{18+8}{2}\\cdot12 = 13\\cdot12 = 156\\text{ см}^2$$
Ответ: $156$ см²
` }, { text: `В компанию поступил заказ на укладку $240$ м² напольной плитки. Плиточник принял решение укладывать на $10$ м² в день больше, чем запланировал ранее. В результате работа была закончена на $4$ дня раньше установленного срока. Успеет ли плиточник выполнить заказ за $10$ рабочих дней, если будет работать по первоначальному плану? Ответ обоснуйте.`, sol: `Пусть плановая выработка $= x$ м²/день.
По плану: $\\dfrac{240}{x}$ дней. С ускорением: $\\dfrac{240}{x+10}$ дней, на $4$ меньше. $$\\dfrac{240}{x+10} = \\dfrac{240}{x} - 4$$ Умножаем на $x(x+10)$: $$240x = 240(x+10) - 4x(x+10)$$ $$0 = 2400 - 4x^2 - 40x \\implies x^2+10x-600=0$$ $$D = 100+2400 = 2500 = 50^2 \\implies x = \\dfrac{-10+50}{2} = 20\\text{ м²/день}$$ Плановый срок: $\\dfrac{240}{20} = 12$ дней.
Проверка: при $30$ м²/день: $240\\div30=8$ дней, $12-8=4$ ✓
Ответ на вопрос: за $10$ дней при выработке $20$ м²/день плиточник уложит $10\\times20=200$ м² $<240$ м².
Ответ: нет, не успеет — за $10$ дней уложит лишь $200$ м² из $240$ м²
` }, ] };