`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "около любого треугольника можно описать окружность;"],
["б", "если в треугольнике равны два угла, то треугольник равнобедренный;"],
["в", "если у четырёхугольника два угла прямые, то это всегда прямоугольник;"],
["г", "развёрнутый угол равен $180^{\\circ}$?"],
],
sol: `
а) Около любого треугольника можно описать окружность — верно
б) Два равных угла ⟹ равнобедренный треугольник — верно
в) Четырёхугольник с двумя прямыми углами — это необязательно прямоугольник. Например, прямоугольная трапеция имеет два прямых угла, но не является прямоугольником — НЕВЕРНО
г) Развёрнутый угол $=180°$ — верно
Ответ: в)
`
},
{
text: `Найдите количество целых решений системы неравенств
$$\\begin{cases} x < 10, \\\\[4pt] x > 3. \\end{cases}$$`,
sol: `Система: $3 < x < 10$. Целые числа в этом промежутке:
$$4,\\;5,\\;6,\\;7,\\;8,\\;9$$
Ответ: $6$ целых решений
`
},
{
text: `Найдите площадь треугольника со сторонами $13$ см, $13$ см и $10$ см.`,
sol: `Свойство равнобедренного треугольника: высота, проведённая к основанию, является также медианой (делит основание пополам).
Формула площади треугольника: $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота к нему.
Шаг 1. У нашего треугольника две стороны по $13$ см и одна $10$ см — он равнобедренный с основанием $10$ см. Высота $CM$, опущенная на основание, делит его пополам: $AM = MB = 5$ см.
Шаг 2. Найдём высоту $h = CM$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ACM$:
$$AC^2 = AM^2 + CM^2 \\implies 13^2 = 5^2 + h^2$$
$$h^2 = 169 - 25 = 144 \\implies h = \\sqrt{144} = 12\\text{ см}$$
Шаг 3. Считаем площадь:
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 10\\cdot 12 = 60\\text{ см}^2$$
Альтернативный способ — формула Герона. Формула Герона: $S = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \\dfrac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$.
Шаг 1. Полупериметр: $p = \\dfrac{13+13+10}{2} = \\dfrac{36}{2} = 18$ см.
Шаг 2. Подставляем в формулу:
$$S = \\sqrt{18\\cdot(18-13)\\cdot(18-13)\\cdot(18-10)} = \\sqrt{18\\cdot 5\\cdot 5\\cdot 8} = \\sqrt{3600} = 60\\text{ см}^2$$
Оба способа дают один и тот же ответ.
Ответ: $60$ см²
`
},
{
text: `Упростите выражение $\\sqrt{6}\\cdot(\\sqrt{25} - \\sqrt{96} + 3\\sqrt{6})\\cdot(-\\sqrt{54})$.`,
sol: `Свойство квадратного корня: $\\sqrt{a\\cdot b} = \\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{b}$ (для $a,b\\geq 0$), а также $\\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{a} = a$ (для $a\\geq 0$).
Шаг 1. Упрощаем каждый корень в скобках, вынося полные квадраты из-под корня:
$$\\sqrt{25} = 5$$
$$\\sqrt{96} = \\sqrt{16\\cdot 6} = \\sqrt{16}\\cdot\\sqrt{6} = 4\\sqrt{6}$$
$$\\sqrt{54} = \\sqrt{9\\cdot 6} = \\sqrt{9}\\cdot\\sqrt{6} = 3\\sqrt{6}$$
Шаг 2. Подставляем и приводим подобные слагаемые $-4\\sqrt{6}$ и $3\\sqrt{6}$:
$$5 - 4\\sqrt{6} + 3\\sqrt{6} = 5 - \\sqrt{6}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$\\sqrt{6}\\cdot(5 - \\sqrt{6})\\cdot(-3\\sqrt{6})$$
Шаг 3. Перемножаем крайние множители $\\sqrt{6}$ и $-3\\sqrt{6}$:
$$\\sqrt{6}\\cdot(-3\\sqrt{6}) = -3\\cdot(\\sqrt{6})^2 = -3\\cdot 6 = -18$$
Шаг 4. Умножаем результат на оставшуюся скобку:
$$-18\\cdot(5 - \\sqrt{6}) = -18\\cdot 5 + 18\\sqrt{6} = -90 + 18\\sqrt{6} = 18(\\sqrt{6} - 5)$$
Ответ: $18(\\sqrt{6}-5)$
`
},
{
text: `Найдите область определения функции
$y = \\dfrac{5}{x^2-9} + \\sqrt{24-8x}$.`,
sol: `Правила нахождения области определения: 1) Знаменатель дроби не может равняться нулю: $\\dfrac{1}{g(x)}$ определена при $g(x) \\neq 0$.
2) Подкоренное выражение чётной степени должно быть неотрицательным: $\\sqrt{f(x)}$ определён при $f(x) \\geq 0$.
В функции есть и дробь, и корень — выписываем оба условия.
Шаг 1. Знаменатель $x^2 - 9$ должен быть $\\neq 0$:
$$x^2 - 9 \\neq 0 \\implies x^2 \\neq 9 \\implies x \\neq \\pm 3$$
Шаг 2. Подкоренное выражение $24 - 8x$ должно быть $\\geq 0$:
$$24 - 8x \\geq 0 \\implies 8x \\leq 24 \\implies x \\leq 3$$
Шаг 3. Объединяем: $x \\leq 3$ и $x \\neq -3$ и $x \\neq 3$.
Условие $x \\leq 3$ с исключением $x = 3$ даёт $x \\lt 3$. С учётом $x \\neq -3$:
$$x \\in (-\\infty;\\,-3)\\cup(-3;\\,3)$$
`
},
{
text: `Найдите площадь описанной равнобедренной трапеции, если точка касания вписанной
в неё окружности делит боковую сторону на отрезки, равные $2$ см и $8$ см.`,
sol: `Шаг 1. Основания трапеции. Боковая сторона $= 2+8 = 10$ см. По свойству касательных от каждой вершины оба касательных отрезка равны.
От вершин большего основания — по $8$, от вершин меньшего — по $2$.
$$AD = 8+8 = 16\\text{ см}, \\quad BC = 2+2 = 4\\text{ см}$$
Шаг 2. Высота трапеции. Горизонтальный выступ ноги: $\\dfrac{16-4}{2} = 6$ см.
$$h = \\sqrt{10^2-6^2} = \\sqrt{100-36} = \\sqrt{64} = 8\\text{ см}$$
Шаг 3. Площадь.
$$S = \\dfrac{AD+BC}{2}\\cdot h = \\dfrac{16+4}{2}\\cdot8 = 10\\cdot8 = 80\\text{ см}^2$$
Ответ: $80$ см²
`
},
{
text: `В компанию поступил заказ на укладку $175$ м² напольной плитки.
Плиточник принял решение укладывать на $10$ м² в день больше, чем запланировал ранее.
В результате работа была закончена на $2$ дня раньше установленного срока.
Успеет ли плиточник выполнить заказ за $7$ рабочих дней, если будет работать
по первоначальному плану? Ответ обоснуйте.`,
sol: `Пусть плановая выработка $= x$ м²/день.
По плану: $\\dfrac{175}{x}$ дней. С ускорением: $\\dfrac{175}{x+10}$ дней, на $2$ меньше.
$$\\dfrac{175}{x} - \\dfrac{175}{x+10} = 2$$
Умножаем на $x(x+10)$:
$$175(x+10) - 175x = 2x(x+10)$$
$$1750 = 2x^2+20x \\implies x^2+10x-875=0$$
$$D = 100+3500 = 3600 = 60^2 \\implies x = \\dfrac{-10+60}{2} = 25\\text{ м}^2/\\text{день}$$
Плановый срок: $\\dfrac{175}{25} = 7$ дней.
Проверка: при $35$ м²/день: $175\\div35=5$ дней, $7-5=2$ ✓
Ответ на вопрос: за $7$ дней при выработке $25$ м²/день плиточник уложит $7\\times25=175$ м².
Ответ: да, успеет — уложит ровно $175$ м² за $7$ дней