`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "диагонали ромба взаимно перпендикулярны;"],
["б", "если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, то такие треугольники равны;"],
["в", "хорда окружности, проходящая через её центр, является диаметром;"],
["г", "боковые стороны равнобедренной трапеции равны между собой?"],
],
sol: `
а) Диагонали ромба перпендикулярны — верно
б) «Две стороны равны ⟹ треугольники равны» — НЕВЕРНО. Для равенства треугольников нужно ССС, СУС, УСУ или УУС. Два равных основания — недостаточно.
в) Хорда через центр = диаметр — верно
г) Боковые стороны равнобедренной трапеции равны — верно
Ответ: б)
`
},
{
text: `Решите уравнение $3x^2 + x = 0$.
В ответ запишите среднее арифметическое корней уравнения.`,
sol: `$$x(3x+1)=0 \\implies x_1=0,\\quad x_2=-\\dfrac{1}{3}$$
Среднее арифметическое:
$$\\dfrac{x_1+x_2}{2}=\\dfrac{0+\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right)}{2}=-\\dfrac{1}{6}$$
Ответ: $-\\dfrac{1}{6}$
`
},
{
text: `$ABCD$ — прямоугольник, $O$ — точка пересечения его диагоналей.
Угол $AOB$ равен $46^{\\circ}$. Найдите угол $ADB$.`,
sol: `
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: $OA = OB = OC = OD$.
Треугольник $AOB$ — равнобедренный ($OA=OB$):
$$\\angle OAB = \\angle OBA = \\dfrac{180°-46°}{2} = 67°$$
Углы при $O$: $A,O,C$ лежат на диагонали $AC$, поэтому $\\angle DOA = 180°-46° = 134°$.
Треугольник $DOA$ — равнобедренный ($OD=OA$):
$$\\angle ODA = \\dfrac{180°-134°}{2} = 23°$$
Так как $O$ лежит на отрезке $BD$, то $\\angle ADB = \\angle ODA = 23°$.
`
},
{
text: `При каких целых отрицательных значениях $n$ верно неравенство
$\\dfrac{n+1}{3} - \\dfrac{n+2}{6} < \\dfrac{n+3}{2}$?`,
sol: `Свойство неравенства: при умножении обеих частей неравенства на одно и то же положительное число знак неравенства сохраняется.
Шаг 1. Наименьший общий знаменатель дробей $3,\\,6,\\,2$ равен $6$. Умножаем обе части на $6$:
$$6\\cdot\\dfrac{n+1}{3} - 6\\cdot\\dfrac{n+2}{6} \\lt 6\\cdot\\dfrac{n+3}{2}$$
$$2(n + 1) - (n + 2) \\lt 3(n + 3)$$
Шаг 2. Раскрываем скобки:
$$2n + 2 - n - 2 \\lt 3n + 9$$
$$n \\lt 3n + 9$$
Шаг 3. Переносим $3n$ влево, а $n$ — вправо:
$$n - 3n \\lt 9 \\implies -2n \\lt 9$$
Шаг 4. Делим обе части на $-2$. Важно: при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$$n \\gt -\\dfrac{9}{2} = -4{,}5$$
Шаг 5. Выбираем целые отрицательные числа, большие $-4{,}5$:
$$n \\in \\{-4,\\,-3,\\,-2,\\,-1\\}$$
Ответ: $n\\in\\{-4,\\;-3,\\;-2,\\;-1\\}$
`
},
{
text: `Найдите значение выражения $6(x - y)$, где $(x;\\; y)$ — решение системы уравнений
$$\\begin{cases} 3x + y = 2, \\\\[4pt] y^2 + 6xy + 9x^2 = -y. \\end{cases}$$`,
sol: `Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Шаг 1. Замечаем структуру левой части второго уравнения:
$$y^2 + 6xy + 9x^2 = y^2 + 2\\cdot y\\cdot 3x + (3x)^2 = (y + 3x)^2 = (3x + y)^2$$
Шаг 2. Из первого уравнения системы: $3x + y = 2$. Подставляем во второе:
$$(3x + y)^2 = -y \\implies 2^2 = -y \\implies 4 = -y$$
$$y = -4$$
Шаг 3. Подставляем $y = -4$ в $3x + y = 2$:
$$3x + (-4) = 2 \\implies 3x = 6 \\implies x = 2$$
Проверка: подставим в исходное второе уравнение:
$$(-4)^2 + 6\\cdot 2\\cdot(-4) + 9\\cdot 2^2 = 16 - 48 + 36 = 4$$
$$-y = -(-4) = 4 \\checkmark$$
Шаг 4. Считаем искомое выражение:
$$6(x - y) = 6\\cdot(2 - (-4)) = 6\\cdot 6 = 36$$
Ответ: $36$
`
},
{
text: `При открытии торгов в среду акции компании подорожали на некоторое количество процентов,
а в четверг — подешевели на то же количество процентов.
В результате они стали стоить на $4\\%$ дешевле, чем при открытии торгов в среду.
На сколько процентов подорожали акции в среду?`,
sol: `Метод процентных коэффициентов: увеличение величины на $p\\%$ соответствует умножению на $\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right)$, уменьшение на $p\\%$ — умножению на $\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right)$. Здесь же применяется формула разности квадратов: $(1+a)(1-a) = 1 - a^2$.
Шаг 1. Пусть $P$ — начальная цена акции, а $p$ — искомый процент изменения.
Шаг 2. В среду цена выросла на $p\\%$, значит к концу среды стала равна:
$$P_1 = P\\cdot\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right)$$
Шаг 3. В четверг цена снизилась на $p\\%$ от новой цены $P_1$, значит к концу четверга:
$$P_2 = P_1\\cdot\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right) = P\\cdot\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right)\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right)$$
По формуле разности квадратов:
$$P_2 = P\\cdot\\left(1 - \\dfrac{p^2}{10000}\\right)$$
Шаг 4. По условию итоговая цена на $4\\%$ ниже начальной, то есть $P_2 = 0{,}96\\cdot P$. Получаем:
$$1 - \\dfrac{p^2}{10000} = 0{,}96$$
Шаг 5. Решаем уравнение:
$$\\dfrac{p^2}{10000} = 0{,}04 \\implies p^2 = 400 \\implies p = 20$$
(берём положительный корень, так как $p$ — процент роста).
Ответ: подорожали на $20\\%$
`
},
{
text: `$ABCD$ — вписанная трапеция. Центр $O$ описанной окружности лежит на большем основании $AD$,
$CH$ — высота трапеции. Найдите площадь трапеции, если $AC = 10$ см, $HD = 4{,}5$ см.`,
sol: `Шаг 1. AD — диаметр. Раз центр $O$ лежит на хорде $AD$, значит $AD$ проходит через центр — $AD$ является диаметром.
По теореме Фалеса: $\\angle ACD = 90°$ (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
Шаг 2. Находим $AD$. Из прямоугольного $\\triangle ACD$ (прямой угол при $C$): $AC^2 = AH\\cdot AD$ (свойство высоты прямоугольного треугольника).
$$AH = AD - HD = AD - 4{,}5$$
$$10^2 = (AD-4{,}5)\\cdot AD \\implies AD^2 - 4{,}5\\,AD - 100 = 0$$
$$\\times2:\\quad 2AD^2-9\\,AD-200=0, \\quad D=81+1600=1681=41^2$$
$$AD=\\dfrac{9+41}{4}=\\dfrac{50}{4}=12{,}5\\text{ см}$$
Шаг 3. Высота $CH$.
$$AH = 12{,}5-4{,}5=8, \\quad CH^2=AH\\cdot HD = 8\\cdot4{,}5=36 \\implies CH=6$$
Шаг 4. Основание $BC$. Трапеция равнобедренная (вписанная). По симметрии: расстояние от $B$ до $AD$ = $AH'=4{,}5$ (зеркально).
$$BC = AD - 2\\cdot HD = 12{,}5 - 2\\cdot4{,}5 = 3{,}5\\text{ см}$$
Шаг 5. Площадь.
$$S = \\dfrac{AD+BC}{2}\\cdot CH = \\dfrac{12{,}5+3{,}5}{2}\\cdot6 = 8\\cdot6 = 48\\text{ см}^2$$