`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "диагонали любого ромба равны между собой;"],
["б", "центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника;"],
["в", "гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из катетов;"],
["г", "угол, равный $91^{\\circ}$, — тупой?"],
],
sol: `а) Диагонали ромба равны — НЕВЕРНО (равны только в квадрате). б)–г) верно.
`
},
{
text: `График функции $f(x) = a(x-m)^2 + n$ изображён на рисунке.
Используя график функции, найдите $a$, $m$ и $n$.
Запишите формулу функции $y = f(x)$ в виде многочлена.`,
figure: ``,
sol: `Вершинная форма квадратичной функции: $f(x) = a(x - m)^2 + n$ — это парабола с вершиной в точке $(m;\\,n)$. Знак $a$ определяет направление ветвей ($a \\gt 0$ — вверх, $a \\lt 0$ — вниз).
Шаг 1. Снимаем координаты вершины параболы с графика: вершина находится в точке $(3;\\,1)$, значит $m = 3$, $n = 1$.
`
},
{
text: `Найдите сумму целых решений системы неравенств
$$\\begin{cases} 9 - 2x < 0, \\\\[4pt] x^2 - 8x < -7. \\end{cases}$$`,
sol: `Метод решения системы неравенств: решаем каждое неравенство отдельно, затем находим пересечение решений (общую часть).
Шаг 1. Решаем первое неравенство $9 - 2x \\lt 0$:
$$-2x \\lt -9$$
Делим на $-2$ и меняем знак неравенства:
$$x \\gt 4{,}5$$
Шаг 2. Решаем второе неравенство $x^2 - 8x \\lt -7$. Перенесём всё в одну сторону:
$$x^2 - 8x + 7 \\lt 0$$
По теореме Виета разложим: ищем числа с суммой $8$ и произведением $7$ — это $1$ и $7$.
$$(x - 1)(x - 7) \\lt 0$$
Парабола $y = x^2 - 8x + 7$ ветвями вверх; она отрицательна между корнями:
$$1 \\lt x \\lt 7$$
Шаг 3. Пересечение условий $x \\gt 4{,}5$ и $1 \\lt x \\lt 7$:
$$4{,}5 \\lt x \\lt 7$$
Шаг 4. Целые числа в этом промежутке: $x = 5,\\,6$.
$$\\text{Сумма} = 5 + 6 = 11$$
Ответ: $11$
`
},
{
text: `Для перевозки партии щебня массой $880$ т фирма использует самосвал МАЗ-5551.
По плану норма перевозки ежедневно должна увеличиваться на одно и то же число тонн.
Известно, что за первый день было перевезено $30$ т щебня.
Определите, сколько тонн щебня было перевезено за шестой день,
если вся работа была выполнена за $11$ дней.`,
sol: `Метод арифметической прогрессии. По условию норма ежедневно увеличивается на одно и то же число тонн, значит дневные объёмы образуют арифметическую прогрессию.
Формулы арифметической прогрессии: — $n$-й член: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
— Сумма первых $n$ членов: $S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\\cdot n$.
Шаг 1. По условию $a_1 = 30$ т, $n = 11$, $S_{11} = 880$ т. Разность $d$ — неизвестна.
Шаг 2. Подставим в формулу суммы:
$$S_{11} = \\dfrac{2\\cdot 30 + 10d}{2}\\cdot 11 = (60 + 10d)\\cdot\\dfrac{11}{2} = 11\\cdot(30 + 5d)$$
По условию $S_{11} = 880$:
$$11\\cdot(30 + 5d) = 880 \\implies 30 + 5d = 80 \\implies 5d = 50 \\implies d = 10$$
Шаг 3. Находим объём за шестой день:
$$a_6 = a_1 + (6 - 1)\\cdot d = 30 + 5\\cdot 10 = 30 + 50 = 80\\text{ т}$$
Ответ: $80$ т
`
},
{
text: `$ABCD$ — прямоугольник, точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно,
$MK \\| AD$. Диагональ $AC$ пересекает отрезок $MK$ в точке $P$.
$S_{CPK} = 9$ см², $S_{AMP} = 16$ см². Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.`,
sol: `
Идея. Обозначим $AB = a$, $BC = h$ (стороны прямоугольника) и $AM = p$. Тогда $MB = a - p$. Так как $MK\\parallel AD$ ($AD$ — сторона, перпендикулярная $AB$), $MK = h$.
Шаг 1. Диагональ $AC$ идёт от $A$ к $C$. По подобию треугольников ($AMP \\sim ABC$): $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{MP}{BC}$, откуда $MP = \\dfrac{p\\cdot h}{a}$.
Тогда $PK = h - MP = \\dfrac{(a - p)\\cdot h}{a}$.
Шаг 2. Площади прямоугольных треугольников $AMP$ и $CPK$:
$$S_{AMP} = \\dfrac{1}{2}\\cdot AM\\cdot MP = \\dfrac{1}{2}\\cdot p\\cdot\\dfrac{ph}{a} = \\dfrac{p^2 h}{2a} = 16$$
$$S_{CPK} = \\dfrac{1}{2}\\cdot KC\\cdot PK = \\dfrac{1}{2}\\cdot(a - p)\\cdot\\dfrac{(a - p)h}{a} = \\dfrac{(a - p)^2 h}{2a} = 9$$
Шаг 3. Делим равенства:
$$\\dfrac{S_{AMP}}{S_{CPK}} = \\dfrac{p^2}{(a - p)^2} = \\dfrac{16}{9}$$
Извлекаем квадратный корень:
$$\\dfrac{p}{a - p} = \\dfrac{4}{3}$$
Шаг 4. Параметризуем: пусть $p = 4t$, $a - p = 3t$, тогда $a = 7t$.
Шаг 5. Подставим в $S_{AMP} = 16$:
$$\\dfrac{(4t)^2\\cdot h}{2\\cdot 7t} = 16 \\implies \\dfrac{16t^2 h}{14t} = 16 \\implies \\dfrac{8th}{7} = 16 \\implies th = 14$$
Шаг 6. Площадь прямоугольника:
$$S_{ABCD} = a\\cdot h = 7t\\cdot h = 7\\cdot th = 7\\cdot 14 = 98\\text{ см}^2$$
`,
sol: `Вершинная форма квадратичной функции: $f(x) = a(x - m)^2 + n$ — это парабола с вершиной в точке $(m;\\,n)$. Знак $a$ определяет направление ветвей ($a \\gt 0$ — вверх, $a \\lt 0$ — вниз).