`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "у ромба все стороны равны между собой;"],
["б", "если в треугольнике со сторонами $a$, $b$, $c$ выполняется $b^2 + c^2 = a^2$, то треугольник прямоугольный;"],
["в", "в треугольнике может быть два тупых угла;"],
["г", "вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается?"],
],
sol: `Анализ утверждений:
а) верно — свойство ромба;
б) верно — обратная теорема Пифагора;
в) не верно — сумма углов треугольника равна $180^{\\circ}$, а два тупых угла в сумме уже превышают $180^{\\circ}$, что невозможно;
г) верно — теорема о вписанном угле.
Ответ: в)
`
},
{
text: `Найдите значения аргумента, при которых значения функции $y = -7x + 2$ неотрицательны.`,
sol: `Условие: $y \\geq 0$, то есть $-7x + 2 \\geq 0$.
`
},
{
text: `Найдите значение выражения $(3m^5 + 4m^3) : m^2 - 15m^4 : (5m)$ при $m = -5$.`,
sol: `Правило деления многочлена на одночлен: делим каждый член многочлена на этот одночлен. Для степеней: $\\dfrac{a^k}{a^l}=a^{k-l}$. Шаг 1. Сначала упростим выражение, а уже потом подставим число — так считать проще. Шаг 2. Делим первый многочлен на $m^2$ почленно:
$$\\dfrac{3m^5 + 4m^3}{m^2} = \\dfrac{3m^5}{m^2}+\\dfrac{4m^3}{m^2} = 3m^3 + 4m.$$
Шаг 3. Делим второй одночлен:
$$\\dfrac{15m^4}{5m} = 3m^3.$$
Шаг 4. Вычитаем результаты:
$$(3m^3 + 4m) - 3m^3 = 4m.$$
Шаг 5. Подставляем $m=-5$:
$$4 \\cdot (-5) = -20.$$
Ответ: $-20$
`
},
{
text: `$ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $BC = 2$ см, $AD = 4$ см.
Диагональ $AC$ равна $5$ см. Найдите площадь трапеции.`,
sol: `
Свойство равнобедренной трапеции: высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают на большем основании отрезки длины $\\dfrac{AD - BC}{2}$. Теорема Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$. Формула площади трапеции: $S = \\dfrac{a + b}{2} \\cdot h$. Шаг 1. Опускаем высоту $CH$ из $C$ на $AD$.
Так как трапеция равнобедренная,
$$HD = \\dfrac{AD - BC}{2} = \\dfrac{4 - 2}{2} = 1\\text{ см}, \\quad AH = AD - HD = 4 - 1 = 3\\text{ см}.$$
Шаг 2. Находим высоту $h = CH$ из $\\triangle ACH$.
$\\triangle ACH$ прямоугольный (угол $H$ прямой), гипотенуза $AC = 5$, катет $AH = 3$. По теореме Пифагора:
$$h = CH = \\sqrt{AC^2 - AH^2} = \\sqrt{25 - 9} = \\sqrt{16} = 4\\text{ см}.$$
Шаг 3. Находим площадь.
$$S = \\dfrac{AD + BC}{2} \\cdot h = \\dfrac{4 + 2}{2} \\cdot 4 = 12\\text{ см}^2.$$
Ответ: $12$ см²
`
},
{
text: `Решите уравнение $1 + \\dfrac{7}{n^2 - n - 12} = \\dfrac{-1}{n + 3}$.`,
sol: `План решения дробного уравнения: разложить знаменатели на множители, найти ОДЗ, умножить уравнение на общий знаменатель, решить и проверить корни. Шаг 1. Раскладываем знаменатель.
По теореме Виета подбираем числа $-4$ и $3$ (произведение $-12$, сумма $-1$):
$$n^2 - n - 12 = (n - 4)(n + 3).$$
Шаг 2. ОДЗ: $n \\neq 4,\\; n \\neq -3$. Шаг 3. Умножаем обе части на $(n-4)(n+3)$.
$$(n-4)(n+3) + 7 = -(n-4).$$
Шаг 4. Раскрываем скобки.
$n^2 - n - 12 + 7 = -n + 4$;
$n^2 - n - 5 = -n + 4$;
$n^2 = 9$, откуда $n = \\pm 3$. Шаг 5. Проверяем по ОДЗ.
$n = -3$ не входит в ОДЗ — отбрасываем. Остаётся $n = 3$.
Ответ: $n = 3$
`
},
{
text: `Найдите значение выражения $\\dfrac{7}{2-\\sqrt{11}} - \\dfrac{5}{4+\\sqrt{11}}$.
В ответ запишите число, обратное полученному.`,
sol: `Метод рационализации знаменателя: умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Шаг 1. Преобразуем первую дробь. Сопряжённое к $2-\\sqrt{11}$ — это $2+\\sqrt{11}$:
$$\\dfrac{7}{2-\\sqrt{11}} = \\dfrac{7(2+\\sqrt{11})}{(2-\\sqrt{11})(2+\\sqrt{11})} = \\dfrac{7(2+\\sqrt{11})}{4-11} = \\dfrac{7(2+\\sqrt{11})}{-7} = -(2+\\sqrt{11}).$$
Шаг 2. Преобразуем вторую дробь. Сопряжённое к $4+\\sqrt{11}$ — это $4-\\sqrt{11}$:
$$\\dfrac{5}{4+\\sqrt{11}} = \\dfrac{5(4-\\sqrt{11})}{(4+\\sqrt{11})(4-\\sqrt{11})} = \\dfrac{5(4-\\sqrt{11})}{16-11} = \\dfrac{5(4-\\sqrt{11})}{5} = 4-\\sqrt{11}.$$
Шаг 3. Находим разность:
$$-(2+\\sqrt{11}) - (4-\\sqrt{11}) = -2 - \\sqrt{11} - 4 + \\sqrt{11} = -6.$$
Шаг 4. По условию записываем число, обратное полученному:
$$\\dfrac{1}{-6} = -\\dfrac{1}{6}.$$
Ответ: $-\\dfrac{1}{6}$
`
},
{
text: `Плиточник планирует уложить $378$ м² плитки. Если он будет укладывать на $4$ м²
в день больше, чем запланировал, то закончит работу на $6$ дней раньше.
Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?
Успеет ли он выполнить заказ за $21$ рабочий день, если будет работать как запланировал?
Ответ обоснуйте.`,
sol: `Пусть $x$ м²/день — плановая производительность ($x>0$).
Плановое время: $\\dfrac{378}{x}$ дней; ускоренное: $\\dfrac{378}{x+4}$ дней.
Плановая производительность: $14$ м²/день; плановый срок $\\dfrac{378}{14}=27$ дней.
Так как $27 > 21$, работая по плану, плиточник не успеет выполнить заказ за $21$ день.
Ответ: $14$ м²/день; нет, не успеет (закончит за $27$ дней).
`
},
{
text: `В треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 8$, $BC = 10$, $AC = 12$ вписана окружность.
Касательная $MK$ к окружности пересекает стороны $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $K$
так, что $MK$ не параллельна $AB$.
Найдите периметр треугольника $CMK$.`,
sol: `
Шаг 1. Точки касания вписанной окружности.
Окружность касается стороны $BC$ в точке $P$, стороны $AC$ — в точке $Q$, а касательной $MK$ — в точке $T$. Шаг 2. Касательная из вершины $C$.
Полупериметр: $s=\\dfrac{8+10+12}{2}=15$.
По свойству касательных из внешней точки, касательная из $C$ равна $s$ минус противоположная сторона:
$$CP = CQ = s - AB = 15 - 8 = 7\\text{ см.}$$
Шаг 3. Касательные из $M$ и $K$.
Из точки $M$ (на $BC$): $MP = MT$.
Из точки $K$ (на $AC$): $KQ = KT$. Шаг 4. Периметр $\\triangle CMK$.
$$P_{CMK} = CM + MK + KC = CM + MT + TK + KC$$
$$= (CM + MP) + (KQ + KC) = CP + CQ = 7 + 7 = 14\\text{ см.}$$