VARIANTS[56] = {
label: "Вариант 56",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных выражений НЕ имеет смысла при $n = 0$:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{n}{n+7}$"], ["б", "$19n-4\\sqrt{n}$"], ["в", "$\\dfrac{n-6}{n^2+36}$"],
["г", "$\\dfrac{n+1}{3n}$"], ["д", "$\\dfrac{n}{\\sqrt{n}-1}$"],
],
sol: `Подставим $n=0$ в каждое выражение и проверим, определено ли оно:
а) $\\dfrac{0}{0+7}=\\dfrac{0}{7}=0$ — имеет смысл;
б) $19\\cdot 0-4\\sqrt{0}=0$ — имеет смысл;
в) $\\dfrac{0-6}{0^2+36}=\\dfrac{-6}{36}=-\\dfrac{1}{6}$ — имеет смысл;
г) $\\dfrac{0+1}{3\\cdot 0}=\\dfrac{1}{0}$ — деление на ноль, выражение не определено;
д) $\\dfrac{0}{\\sqrt{0}-1}=\\dfrac{0}{-1}=0$ — имеет смысл.
Ответ: г) $\\dfrac{n+1}{3n}$.
`
},
{
text: `Запись числового выражения $\\dfrac{5^{16} \\cdot 5^4}{5^{18}}$ в виде степени с основанием $5$ имеет вид:`,
opts: [
["а", "$5^1$"], ["б", "$5^2$"], ["в", "$5^{38}$"], ["г", "$5^4$"], ["д", "$5^3$"],
],
sol: `Применяем свойства степеней:
$$\\dfrac{5^{16}\\cdot 5^4}{5^{18}}=\\dfrac{5^{16+4}}{5^{18}}=\\dfrac{5^{20}}{5^{18}}=5^{20-18}=5^2.$$
Ответ: б) $5^2$.
`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "развёрнутый угол равен $180^{\\circ}$;"],
["б", "если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной;"],
["в", "у любого ромба диагонали равны;"],
["г", "диагонали равнобедренной трапеции равны между собой?"],
],
sol: `Проверим каждое утверждение:
а) Развёрнутый угол равен $180^{\\circ}$ — верно.
б) Перпендикуляр — кратчайшее расстояние от точки до прямой, поэтому он меньше любой наклонной — верно.
в) У ромба диагонали вообще говоря не равны между собой (они равны лишь у квадрата — частного случая ромба). Это утверждение НЕВЕРНО.
г) У равнобедренной трапеции диагонали равны — верно.
Ответ: в).
`
},
{
text: `На республиканском субботнике учащиеся высадили кустарники, среди которых — $10$ кустов сирени.
Какое количество кустарников было высажено, если число кустов сирени составило $8\\%$
всех высаженных кустарников?`,
sol: `Пусть всего кустарников $N$. По условию $8\\%$ от $N$ равно $10$:
$$0{,}08\\cdot N=10\\;\\implies\\; N=\\dfrac{10}{0{,}08}=\\dfrac{10\\cdot 100}{8}=\\dfrac{1000}{8}=125.$$
Ответ: $125$ кустарников.
`
},
{
text: `Постройте график функции $y = \\dfrac{4}{x} - 1$.
Определите целое число, которое не принадлежит области значений функции.`,
sol: `График функции $y=\\dfrac{4}{x}-1$ — гипербола, полученная из $y=\\dfrac{4}{x}$
сдвигом вниз на $1$. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная) и $y=-1$ (горизонтальная).
Из равенства $y=-1+\\dfrac{4}{x}$ выразим $\\dfrac{4}{x}=y+1$.
Так как $\\dfrac{4}{x}\\neq 0$, то $y+1\\neq 0$, то есть $y\\neq -1$.
Значит, $E(y)=(-\\infty;-1)\\cup(-1;+\\infty)$.
Целое число, которое не принадлежит области значений, — это $y=-1$.
Ответ: $y=-1$.
`
},
{
text: `В правильный треугольник со стороной $a$ вписана окружность. Найдите радиус окружности.`,
sol: `Формула радиуса вписанной окружности:
$$r = \\dfrac{S}{s},$$
где $S$ — площадь треугольника, $s$ — полупериметр. Шаг 1. В равностороннем треугольнике со стороной $a$ все углы равны $60^{\\circ}$. Шаг 2. Находим площадь.
По формуле площади равностороннего треугольника:
$$S = \\dfrac{\\sqrt{3}}{4}a^2.$$
Шаг 3. Находим полупериметр.
Все три стороны равны $a$, поэтому
$$s = \\dfrac{3a}{2}.$$
Шаг 4. Подставляем в формулу радиуса.
$$r = \\dfrac{S}{s} = \\dfrac{\\dfrac{\\sqrt{3}}{4}a^2}{\\dfrac{3a}{2}} = \\dfrac{\\sqrt{3}\\,a^2}{4} \\cdot \\dfrac{2}{3a} = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}.$$
Ответ: $r=\\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}$.
`
},
{
text: `Решите систему неравенств
$$\\begin{cases} 2 - x > 0, \\\\[4pt] 5x - 2x^2 + 7 \\geq 0 \\end{cases}$$
и определите количество натуральных решений системы.`,
sol: `Первое неравенство: $2-x>0\\;\\implies\\; x<2$. Второе неравенство: $5x-2x^2+7\\geq 0\\;\\Leftrightarrow\\; 2x^2-5x-7\\leq 0$.
Корни уравнения $2x^2-5x-7=0$: $D=25+56=81=9^2$,
$$x=\\dfrac{5\\pm 9}{4}\\;\\implies\\; x_1=\\dfrac{5-9}{4}=-1,\\quad x_2=\\dfrac{5+9}{4}=\\dfrac{14}{4}=\\dfrac{7}{2}.$$
Парабола ветвями вверх, поэтому $2x^2-5x-7\\leq 0$ при $-1\\leq x\\leq \\dfrac{7}{2}$.
Пересечение: $\\left[-1;\\dfrac{7}{2}\\right)\\cap(-\\infty;2)=\\left[-1;2\\right)$.
Натуральные решения (целые $\\geq 1$): $x=1$. Их 1.
`
},
{
text: `Строительный подрядчик планирует купить $3$ т $600$ кг клинкерного кирпича.
Масса одного кирпича — $3{,}6$ кг. Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант
покупки у одного из трёх поставщиков:
Поставщик
Цена, р./шт.
Доставка, р.
Условие
А
2,7
700
—
Б
2,8
600
При заказе свыше 3500 р. — доставка бесплатно
В
2,9
500
При заказе свыше 3600 р. — доставка со скидкой 50%
`,
sol: `Количество кирпичей: $3$ т $600$ кг $=3600$ кг.
$$N=\\dfrac{3600}{3{,}6}=1000\\text{ штук}.$$
Поставщик А: $1000\\cdot 2{,}7+700=2700+700=\\mathbf{3400}$ р. Поставщик Б: стоимость кирпича $1000\\cdot 2{,}8=2800$ р. Так как $2800<3500$,
условие бесплатной доставки не выполнено. Итого $2800+600=\\mathbf{3400}$ р. Поставщик В: $1000\\cdot 2{,}9=2900$ р. Так как $2900<3600$,
скидка на доставку не действует. Итого $2900+500=\\mathbf{3400}$ р.
Все три поставщика дают одинаковую стоимость $3400$ р. Наиболее дешёвый вариант — $3400$ р. (любой из поставщиков).
`
},
{
text: `Основания трапеции равны $7$ см и $14$ см, диагонали трапеции равны $13$ см и $20$ см.
Найдите площадь трапеции.`,
sol: `Пусть в трапеции $ABCD$: $BC=7$, $AD=14$, $AC=13$, $BD=20$. Метод параллельного переноса диагонали. Перенесём диагональ $BD$ параллельно на вектор
$\\overrightarrow{BC}$: точка $B$ перейдёт в $C$, точка $D$ — в новую точку $D'$ на прямой $AD$.
Тогда $CD'=BD=20$ и $DD'=BC=7$, поэтому
$$AD'=AD+DD'=14+7=21.$$
В треугольнике $ACD'$ известны все три стороны: $AC=13$, $CD'=20$, $AD'=21$. Площадь трапеции равна площади треугольника $ACD'$.
По формуле Герона: $p=\\dfrac{13+20+21}{2}=27$,
$$S=\\sqrt{27\\cdot(27-13)\\cdot(27-20)\\cdot(27-21)}=\\sqrt{27\\cdot 14\\cdot 7\\cdot 6}=\\sqrt{15876}=126.$$